Giới hạn của dãy số 1.. Định nghĩa: Ta nói rằng d y sốuncó giới hạn 0, kí hiệulim u n=0haylim un =0, nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của d y số, kể từ số
Trang 1GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
1
Giới hạn
A Kiến thức sách giáo khoa
I Giới hạn của dãy số
1 Dãy số có giới hạn 0
a Định nghĩa: Ta nói rằng d y số(un)có giới hạn 0, kí hiệulim u( n)=0(haylim un =0), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của d y số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó
lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1
n= nα = α > = <
c Định lí: Cho hai d y số
n
| u | v
lim v 0
≤
=
2 Dãy số có giới hạn hữu hạn
a Định nghĩa: Ta nói rằng d y số (un)có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim un =L, nếu lim u( nưL)=0
lim u =L⇔lim u ưL =0
b Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, ∀n : lim un=c
• limun = L n 3
3 n
lim | u | | L |
lim u L
=
⇒
=
n
lim u v L M; lim u v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)
•
n
v u w , n
lim u L lim v lim w L L
=
• D y (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
D y (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn (3)
c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
•
n
1 q
S u u q u q u q u ;
1 q
ư
•
n
u
1 q
S u u q u q u q lim S lim u ;
1 q 1 q
3 Dãy số có giới hạn vô cực
a D#y số có giới hạn +∞
Ta nói rằng d y (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của d y số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó
lim n= +∞; lim n= +∞; lim n= +∞
b D#y số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng d y (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của d y số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
lim u lim v n lim u v( n n) lim u n lim v n lim u v( n n)
• Quy tắc chia
n
lim u =L≠0 có dấu lim vn =0, vn ≠0 có dấu n
n
u lim v
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn hữu hạn
a Giới hạn hữu hạn
Cho x0∈(a; b) và f là hàm số xác định trên tập (a; b \ x) { }0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
( )
0
xlim f xx L
→
= , khi x dần đến x (hoặc tại điểm 0 x ), nếu với mọi d y số 0 (xn) trong tập (a; b \ x) { }0 mà lim xn =x0, ta
đều có lim f x( n)=L
Trang 2GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
b Giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→ = +∞nếu mọi d y (xn) trong tập (a; b \ x) { }0 mà lim xn =x0 thì lim f x( n)= +∞
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +∞ Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến )
+∞, kí hiệu ( )
xlim f x L
→+∞ = , nếu với mọi d y số (xn) trong khoảng (a; +∞ mà ) lim x = +∞ , ta đều có n lim f x( n)=L
3 Các định lí
a Định lí 1: Giả sử ( )
0
xlim f xx L
0
xlim g xx M L, M
• ( ) ( )
0
xlim f xx g x L M
0
xlim f x g xx L.M
→ =
0
xlim k.f xx k.L k
0
x x
f x L
g x M
→
b Định lí 2: Giả sử ( )
0
xlim f xx L
→
= Khi đó:
• ( )
0
xlim | f x | | L |x
0
3
3
xlimx f x L
• Nếu f x( )≥0 với mọi x∈J \ x{ }0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì L0 ≥0 và ( )
0
xlimx f x L
c Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x{ }0 Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
4 Giới hạn một bên
a Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (x ; b , x ∈ ằ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến 0 ) 0
x0, kí hiệu: ( )
0
x x
lim f x L
+
→
= , nếu với mọi d y số (xn) trong khoảng (x ; b mà 0 ) lim xn =x0, ta đều có lim f x( n)=L
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (a; x0), x ∈ ằ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến 0
x0, kí hiệu: ( )
0
x x
lim f x L
ư
→
= , nếu với mọi d y số (xn) trong khoảng (a; x0) mà lim xn =x0, ta đều có lim f x( n)=L
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
= +∞ = ư∞ = +∞ = ư∞ được phát biểu tương tự như trên
b Định lí:
0
xlim f xx+ xlim f xxư L lim f x L
→
• ( )
( )
1 lim | f x | lim 0
f x
5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→
( )
0
xlim g xx L 0
có dấu
( ) ( )
0
xlim f x g xx
→
0
xlim f xx L 0
có dấu
( )
0
xlim g xx 0
g(x) có dấu
( ) ( )
0
x x
f x lim
g x
→
6 Các dạng vô định
Khi tìm ( )
f x
lim , lim f x g x , lim f x g x
khi x→x ; x0 →x ; x0+ →x ; x0ư → +∞; x→ ư∞ ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu 0, , 0 ,
0
∞
∞ ∞ ư ∞
∞ , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đ biết gọi là phép khử các dạng vô định
B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dy số
Ví dụ 1: Tìm:
2 3 2
8n 3n lim
n
ư Giải:
Trang 3GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
3
2
3
2
n n
ư
Ví dụ 2: Tìm:
2 2
2n 3n 1 lim
n 2
ư ư
ư + Giải:
2
2
3 1 2
n
ư ư
ư ư
ư
Ví dụ 3: Tìm: ( 2 )
lim n 1ư ư n +1
Giải:
2
2
ư + +
Dạng 2: Chứng minh lim un =0
Phương pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai d y số
n
| u | v
lim v 0
≤
=
=
n
v u w , n
lim u L lim v lim w L L
Ví dụ: Chứng minh: ( )n
1 cos n
n
ư
= Giải:
Ta có: ( )n
1 cos n 1
ư
≤ và lim 1 0
n = nên ( )n
1 cos n
n
ư
= Dạng 3: Chứng minh lim u tồn tại n
Phương pháp giải: Sử dụng định lí
D y (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
D y (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Ví dụ: Chứng minh d y số (un) cho bởi
n
1 u
n n 1
= + có giới hạn
Giải:
Ta có
n 1
n
n n 1
+ + + Do đó d y (un) giảm
Ngoài ra,
* n
1
n n 1
+
ằ nêu d y (un) bị chặn dưới Vậy d y (un) có giới hạn Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u1
S ,| q | 1
1 q
= <
ư
Ví dụ: Tính tổng S 1 1 12 1n
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1
2
= < và u1=1 Vậy: u1 1
1
1 q 1
2
ư
ư Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3 2
2n 4n 3 lim
3n 1
+ Giải:
Cách 1:
Trang 4GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
Ta có:
2
3
4 3 2
3 1 3n 1
n n
ư + ư
=
Lại có lim 2 42 33 2 0, lim 3 12 0
n
3
3 1
0 n
n+n > ∀ ∈ ằ nên suy ra:
2
3
2
3 1 3n 1
n n
ư + ư
+
+ Cách 2:
Ta có:
3
2
2
2 2
1 1
n 3
n n
+ +
Lại có
3
2
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1 lim x.sin
x
→
Giải:
Xét d y (xn) mà xn≠0, n∀ và lim xn =0 Ta có: ( n) n n
n
1
f x x sin | x |
x
Vì lim | x | 0n = ⇒lim f x( n)=0 Do đó
x 0
1 lim x.sin 0
x
→
=
Ví dụ 2: Tính: ( 2 )
xlim x x 1 x
Giải:
2
1 1
2
1 1
x x
+
Ví dụ 3: Tính: ( 2 )
xlim x 3x 1 x
Giải:
2
2
3 1
1
x x x
+
ư (Chú ý: khi x → ư∞ là ta xét x < 0, nên 2
x= ư x ) Dạng 7: Chứng minh ( )
0
xlim f xx 0
→ = (Hoặc bằng L) Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0 J \ x{ }0 Khi đó:
0
x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
Ví dụ: Chứng minh:
2 4 x
x sin x
1 x
+ Giải:
Trang 5GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
5
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số ( )
3 2
f x
=
với với Tìm ( )
xlim f x1
→ư
Giải:
Ta có:
lim f x lim 2x 3 2 1 3 1
( )
3
lim f xư lim xư 1
= = ư (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( )
xlim f x1 1
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi khi
>
+
=
ư
+
a Tìm ( )
x 2
lim f x
→
b Tìm ( )
x 1
lim f x
→
Giải:
a ( )
lim f x lim
x 1 3
+
b ( )
x 1
lim f x
→
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
ư
x 1
lim f x
→
(Chú ý: ( )
0
xlim f xx
→ tồn tại khi và chỉ khi ( ) ( )
xlim f xx+ xlim f xxư L
0
xlim f xx L
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính 2
xlim 4x 1
→ư∞
ư Giải:
lim 4x 1 lim x 4 lim | x | 4
Vì
xlim | x |
→ư∞
2
1
x
Dạng 10: Khử dạng vô định
Phương pháp giải
1 Khi tìm giới hạn dạng ( )
( )
0
x x
P x lim
Q x
xlim P xx xlim Q xx 0
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho xưx0
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14 lim
x 2
→
ư Giải:
2
x 2 x 7
x 9x 14
Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2 lim
4x
→
+ ư Giải:
4 x 2 4 x 2
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2 lim
x 1
→
+ ư
ư
Trang 6GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
Giải:
2
3 3
x 7 2 x 7 2 x 7 4
lim
12
x 7 2 x 7 4
→
Ví dụ 4: Tìm:
x 2
2x 5 3 lim
x 2 2
→
+ ư + ư Giải:
3
+ ư
Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
x 3x 2 lim
x 1
→
ư Giải:
3
2 2 3x 2 1
x 1 3x 2 1
ư +
Ví dụ 6: Tìm:
4 3
x 1
x 2 1 lim
x 2 1
→ư
+ ư + ư Giải:
t= x+2⇒ + =x 2 t ⇔x=t ư2, khi đó x→ ư1 thì t→1 Do đó:
2
4
3
t 1 t t 1
4
x 2 1
+ ư
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 1
x 7 x 3 lim
x 1
→
ư Giải:
3
3 2
2
lim
x 1 x 3 2
x 1 x 7 2 x 7 4
lim
12 4 6
x 3 2
x 7 2 x 7 4
→
→
2 Khi tìm giới hạn dạng ( )
( )
x
P x lim
Q x
→±∞ , ta lưu ý:
• Đặt m
x (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả:
x
1
xα
→∞ = ( với α >0)
Ví dụ 1: Tìm:
2 2 x
3x 4x 1 lim
2x x 1
→+∞
Giải:
2
2
4 1 3
x x
ư +
ư + +
Trang 7GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi
7
VÝ dô 2: T×m:
2 x
x x 1 3x lim
2 3x
→−∞
+ + −
−
Gi¶i:
1 1
2
x
VÝ dô 3: T×m:
2 x
8x 3x 1 x lim
4x x 2 3x
→−∞
− + + Gi¶i:
3
2
2
3 1
x x
− + +
C Bµi tËp tù luËn
1 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1.
2
2
x 3
x 5x 6
lim
x 8x 15
→
− +
2 2 1 x 2
8x 1 lim
6x 5x 1
→
−
2
x 3
x 4x 4x 3 lim
x 3x
→
− 4.
x 1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1
→
3 4
x 1
x 3x 2 lim
x 4x 3
→
− +
x 2
x 2x 4x 8 lim
x 8x 16
→
7.
3
5
x 1
x 2x 1
lim
x 2x 1
→
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 lim
x
→
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim
x
→
2 T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau:
1
x 2
x 2
lim
3 x 7
→
−
x 1
2x 7 3 lim
x 3 2
→
+ −
2
x 0
1 x 1 lim
x
→
x 2
x 7 3
lim
x 4
→
+ −
3
x 2
4x 2 lim
x 2
→
−
2
x 0
1 x 1 lim
x
→
7
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1
→
−
8
3
x 0
x 1 lim
x 1
→
−
x 2
x 2 x 7 5 lim
x 2
→
− 10
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
2
x 1
lim
x 3x 2
→
− +
12
x 1
2x 2 3x 1 lim
x 1
→
− 13
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3
→
x 0
x 9 x 16 7 lim
x
→
15
3 2 3
2
x 1
lim
x 1
→
−
3 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1 3 2
x 1
x 7 x 3
lim
x 3x 2
→
3
x 0
2 1 x 8 x lim
x
→
3
3
x 0
1 x 1 x lim
x
→
+ − −
x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2
→−
x 1
lim
x 1
→
x 1
x 7 5 x lim
x 1
→
+ − −
− 7.
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
→
8.
3 2
x 0
1 2x 1 3x lim
x
→
4 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3
→−∞
2 2 x
x x 1 lim
2x x 1
→+∞
+ −
x
2x 3 4x 7 lim
3x 1 10x 9
→+∞
50 x
2x 3 3x 2
lim
2x 1
→−∞
+
5
2 2 x
x 2x 3x lim
4x 1 x 2
→−∞
+ − +
6
x
5x 3 1 x lim
1 x
→−∞
−
5 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
→−∞
+ + − − +
xlim 2x 5 4x 4x 1
→+∞
→+∞
xlim x x 1 x
→+∞
+ −
xlim x 4x 9 2x
→−∞
x
lim x 3x 5 3x 2
→∞
→+∞
xlim x 4x 5 8x 1
→+∞
D Bµi tËp tr¾c nghiÖm D·y sè cã giíi h¹n 0
Trang 8GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
1 D y số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
n
+
d cos n n
2 D y số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a
n
5
3
n
1 3
n
5 3
−
n
4 3
−
3 D y số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a (0, 909)n b (−1, 012)n c (1, 013)n d (−1, 901)n
4 D y số nào sau đây không có giới hạn?
a ( )n
1
0, 99
0,89
−
5 Gọi ( )n
1
L lim
n 4
−
=
+ Khi đó L bằng
a 1
5
4
6 D y số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a 1
n
4 3
n
− Dãy số có giới giạn hữu hạn
7 Cho un 1 4n
5n
−
= Khi đó un bằng
a 3
5
5
−
8 Cho
n n
2 5
u
5
+
= Khi đó limun bằng
5
9 Gọi L lim 9 cos 2n
n
= − thì L bằng số nào sau đây?
10 Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )n 1
n
1
1 1 1 , , , , ,
+
−
3
3
−
11 Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )n 1
n
1
1 1 1 , , , , ,
+
−
a 1
12 Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )n 1
n 1
1
1 1 1 , , , , ,
2 6 18 2.3
+
−
−
a 8
8
13 Tổng của cấp số nhân vô hạn: ( )n 1
n 1
1
1 1 1
1, , , , , ,
+
−
−
a 2
3
Dãy số có giới hạn vô cực
14 Kết quả ( 3)
L=lim 5n 3n− là
15 Biết ( 2 )
L=lim 3n +5n 3− thì L bằng
16 ( 3 2 )
lim −3n +2n −5 bằng
Trang 9GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi
9
17 lim 2 3
4n 2n 1
−
− + b»ng
4
18 lim 4 2
5n −2n 1+ b»ng
a 2
19
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1
+ + b»ng
7
20
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5
− +
+ + bằng
11
21
4
5n 3n
lim
4n 2n 1
−
+ + b»ng
a 3
4
4
22
3
2
2n 3n
lim
4n 2n 1
+
+ + b»ng
a 3
23 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞ ?
n
n
n
n
u =3n −n
24 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
n
n
n
n
u = −n +4n
25
2
4n 5 n 4
lim
2n 1
− b»ng
26 KÕt qu¶ lim( n 10+ − n) lµ
27 KÕt qu¶
2 2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3
+ − lµ
3
−
28 NÕu lim un =L th× lim un+9 b»ng
29 NÕu lim un=L th×
3 n
1 lim
u +8 b»ng bao nhiªu?
a 1
3
1
L 8+
30 lim 2n 3
2n 5
+
+ b»ng
a 5
31
4
4
10 n
lim
10 +2n b»ng bao nhiªu?
32 lim1 2 3 n2
2n
+ + + +
b»ng bao nhiªu?
Trang 10GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi
33
3 3
n n
lim
6n 2
+
+ b»ng
a 1
32
lim n n + −1 n −3 b»ng bao nhiªu?
35 limn sin 2n
n 5
+
+ b»ng sè nµo sau ®©y?
a 2
36 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a
2
n 2n
u
5n 3n
−
=
5n 3n
−
2 2
1 2n 5n 3n
−
2
n 2 u
5n 3n
−
= +
37 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
a
2
n 2n
u
5n 5n
−
=
5n 5n
+
2 n
1 n u 5n 5
+
=
2
n 2 u
5n 5n
−
= +
38 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?
a
2
9n 7n
u
n n
+
=
+ b un 2007 2008n
n 1
+
=
n
u =2008n−2007n d 2
n
u =n +1
39 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
a
2
3
2n 3
lim
2n 4
−
2 2
2n 3 lim 2n 1
−
2
2n 3 lim
2n 2n
−
3 2
2n 3 lim 2n 1
−
40 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
a
2
3
2n 3
lim
2n 4
−
3 2
2n 3n lim 2n 1
−
3 2
2n 3n lim
2n n
−
3 2
3 2n lim 2n 1
+
−
41 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ +∞ ?
a
2
3
2n 3
lim
n 4
+
2 2
2n 3n lim 2n 1
−
3 2
2n 3n lim
2n n
−
3 2
3 2n lim 2n 1
+
−
42 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 1
5?
a
2
n 2n
u
5n 5n
−
=
5n 5
−
=
2 n
1 2n u
5n 5
−
= + d un 1 2n2
5n 5n
−
= +
L=lim n n +2− n −4
L=lim n n +2− n −4
45
2
4n 1 n 2
lim
2n 3
+ − +
− b»ng
46 lim cos 2n 9
3n + b»ng
lim n +2n− n −2n cã kÕt qu¶ lµ
50 D y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n 1
3
− ?
a
n 3n
u
9n n 1
−
=
2
2n n u
3n 5
− +
=
n 2n 1 u
3n 2n 1
=
2
n 2n 5 u
3n 4n 2
=
Giíi h¹n cña hµm sè
Trang 11GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cò Nòi
11
51 ( 2 )
xlim x1 x 7
→− − + b»ng
xlim 3x2 3x 8
→− − − b»ng
53
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +
− b»ng
54
3 2
x 1
3x x 2
lim
x 2
→−
− +
− b»ng
3
−
55
x 1
3x 2x
lim
5x 3x 1
→
−
+ + b»ng
a 1
5
3
−
56
2 5
4
x 1
3x x
lim
x x 5
→−
−
+ + b»ng
a 4
7
57
2 3
2
x 2
x x
lim
x x 3
→−
−
− + b»ng
a 4
9
58
x 1
x 2x
lim
2x 3x 2
→
−
+ + b»ng
a 1
12
7
7
59
3
2
x 2
x x
lim
x x 1
→−
+
− + b»ng
a 10
7
3
60 3
xlim 4x1 2x 3
→− − − b»ng
61
3
3 2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
b»ng
4 2
−
3
−
62
4 x
lim
x 2x
→+∞
63
4
4
x
3x 2x 3
lim
5x 3x 1
→+∞
− +
+ + b»ng
64
4
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ + b»ng
a 2
5
65
x
3x 2x
lim
5x 3x 2
→+∞
−
+ + b»ng
5
Trang 12GV: Hoàng Trọng Nam - Trường THPT Cũ Nũi
66
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4
→+∞
+ + bằng
3
67
2
x 2
x 4x 3
lim
7x 9x 1
→−
+ − bằng
a 1
68
2
x 1
x 4x 3x
lim
x 16x 1
→−
+ − bằng
a 1
Giới hạn một bên
69
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
− bằng
a 1
70
3
2
x 1
1 x
lim
3x x
−
→
−
+ bằng
71
x 1
x 2
lim
x 1
−
→
+
− bằng
a 1
2
72
2
x 1
x 1
lim
x 1
+
→
+
− là
73
3
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2x
−
→−
− +
+ bằng
8
74
x 0
2x x
lim
5x x
+
→
+
− là
75
2
x 1
x 4x 3
lim
x x
+
→−
+
là
76 Cho hàm số: ( )
2
f x
=
với với Khi đó ( )
xlim f x2−
→ bằng:
77 Cho hàm số ( )
3 3
f x
với với
=
Khi đó x 1 ( )
lim f x
−
→ bằng
78 Cho hàm số ( ) 2
2 x 3
x 1
x 1
y f x
1
khi x 1 8
khi
− +
≠
−
=
Khi đó ( )
xlim f x1−
→ bằng
a 1
8