giới hạn dãy số hay đầy đủ

Chứng minh rằng un có giới hạn và tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng dãy u1 n có giới hạn.. Tìm giới hạn đó... Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.. Chứng minh rằng dã

Giới hạn dãy số

1) Tính các giới hạn

a)

2

2

lim

3

2 lim

n

3n 1 - n - 1 lim

n



b) lim

2

n 3n 5

3n - n 1



lim

5

2n 3n - 7

n - 6n



n 3n -2 4n - n 1





c) lim

1 n n

3 n

3 3





lim ( 1)( 2)

1 n 3 n n











2) Tính các giới hạn

a) lim(1n2 n43n1) lim( n 2  5 - n 2  1) lim3n - 2n - n 3 2 

b) Lim(3 n3 n2 n) lim n  1 - n lim n  1 n  2 - n

c)

2

2

n 1 n lim

n n - n

 



3

1 lim

1

 

lim n3n 3  n - n2  3) Tính các giới hạn

a)

1

lim

n n

n n





1

lim

n n





2

2

n n

b) lim

n 1 n 1

3.2 3



(- 2) 3 (-2)  3 





4) Tính các giới hạn

lim

2

n 3cos3n - 1

2n - 6n 1



2n.sinn lim

n  1

3

3

n

 

lim nsin n1  n cos n1

a) lim 1 1 1

1.2 2.3 n n( 1)



c) lim(1 12)(1 12) (1 12)

d) lim 12 32 52 2n21



e) lim 1 32 53 2n - 1n

f)

3

1 2 3 n

lim

g) lim n 1 2 2 3 2n

3n n - 2



h) lim1 - 2 3 - 4 (2n - 1) - 2n

2n 1



i)

2 1 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1

k) lim1.3.5.7 (2 1)

2.4.6 (2 )

n n



l)

4

n

m)

lim

n n

n n

5) Cho dãy số xác định bởi:

1

1

1

3 2

n n

u u

u 











(n > 1 ) Tìm lim un

6) Cho dãy số xác định bởi:

1

1

3

4 3

n n

u u

u 











(n > 1 ) Tìm lim un

7) Cho dãy xác định bởi:

2

u u u 4

1 u

n 2 n 1 n 1





















4

3 u

u và 4

1 u 0

n

1 n

Tìm lim un ĐS: lim un = 0

8) Cho dãy xác định bởi: .

1

n

u u

2

1 u

n 1 n

1





















2

1 u

u và u

0

n

1 n

Tìm lim un ĐS: lim un = 0

9) Cho dãy xác định bởi:

u u

10 u

n 1 n

1















CMR: với mọi n thì u -1;

2

1 -u và 1

10) Cho dãy số:

1

n

u



lim

n i i

u



11) CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:



















































n

1 k 2 n

n 1

n 1

n

n 1

n

1

2 2 2 2 2 d)

; k

1 u c)

; u 2 u

2 u b)

; u 2

u u

1

u

a)

12) Cho dãy số:  u n với n = 1, 2, 3….xác định như sau:

1

2

1

1

2008

n

u

u

u  u











Tìm giới hạn: 1 2

n

n





NX: Bài toán trên có thể thay 2008 bằng số bất kỳ

13) Cho dãy số (un) xác định bởi: 1

1

u







 



( n >1)

Đặt

1

1

n n

k k

S

u



 Tìm limS n

Giới hạn dãy số

14) Tính các giới hạn của dãy (un)

a) u  n 2 2 2

4

c) u0u11, u n1 u n  u n1

15) Chứng minh dãy 1 1

n n

u

n

  

  có giới hạn

16) Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn

n

u

n

n

c) 1 12 12 12

n

u

n

n

u

n

e) u1 2,u n1 2u n

2

u  u   u 

17) Cho dãy (un) xác định bởi công thức

2

1

1, 3 2

n n

u

u   u  Chứng minh rằng (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó

18) Giả sử x  và 0 y n y n1(2xy n1) Chứng minh rằng , nếu mọi y  thì dãy (y i 0 n) hội tụ và

1

limy n

x



19) Cho dãy (xn) xác định như sau 0

1

1 1,

1

n

n

x

1 lim

1x n

20) Xét dãy số nguyên dương (an) thỏa điều kiện *

a a a   n N Tính giới hạn

2

n

21) Cho dãy (un) thỏa điều kiện u n1 u n  u n1,u0 u1 Chứng minh rằng dãy (u1 n) có giới hạn Tìm giới hạn đó

22) Cho

2

cos

n

k

k





 Tính limS2n

n

23) Cho dãy số (xn) thỏa 0 ( 0), k 1 k 12

k

x

    Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương

, A

 sao cho limx n

A n





24) Cho dãy (xn) xác định theo công thức x n  f x( n1)  Giả sử n 2 x n[ , ]a b  n N và f là hàm tăng trên [a.b] Chứng minh rằng

a) Nếu x1 ≤ x2 thì (xn) là dãy tăng

b) Nếu x1 ≥ x2 thì (xn) là dãy giảm

c) Nếu f bị chặn thì (xn) hội tụ

1

1

2

n

a

x





Chứng minh rằng dãy

trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy

1

1

3

n

a

x





Chứng minh rằng

dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy

27) Xác định x1 để dãy (xn) xác định như sau là dãy hội tụ : x n x n123x n11 (n2)

28) Cho dãy (xn) với 0x n và 1 1(1 ) 1

4

x  x  Chứng minh rằng lim 1

2

n

x 

29) Cho dãy số (yn) xác định theo công thức n 1 (1 ) n 1 x

x n

Ax

y

     với A0, 0x1,y0 0

Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó

30) Cho a1 = a, an+1=an(an – 1) Hỏi với giá trị nào của a thì dãy (an) hội tụ

31) Cho

1

n

n

S

n





Tính limSn

32) Cho dãy (un) và (vn) được xác định như sau u1 = a, u2 = b, 1 1, 1( 2)

Chứng minh rằng 2( )(1 11)

u a b a   , 2( )(1 1 1)

v a b a  

33) Cho dãy (an) và (bn) được xác định như sau a1 = a > 0, v1 = b > 0, 1 1

2

n

2

( 2)

n

a  b



Chứng minh rằng lima nlimb n  ab

34) Các dãy (xn) và (yn) được xác định như sau x1 = a > 0, y1 = b > 0, 1 1,

2

n



y  x  y  n chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau

35) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau x1=a, y1 = b, z1 = c, 1 1

2

n

x   

2

n

2

n

 Chứng minh rằng các dãy số này đều hội tụ và

3

Giới hạn dãy số

36) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau x1= a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, x n  y n1z n1

, y n  z n1x n1 , z n  x n1y n1 Chứng minh rằng limx n limy n limz n 3abc

37) Xét dãy số (xn) được xác định bởi 1 1 1

1

n

n

x

x

 , x0 = 1 Chứng minh rằng limx  n 2 38) Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên [0,∞) Giả sử rằng hệ phương trình

      có nghiệm duy nhất   l Chứng minh rằng dãy số dương

x   f x với x0 > 0 cho trước hội tụ tới l

39) Xét dãy số (xn) được xác định bởi 1 1 2 , 0 0

1

n

n

x

 .Khảo sát sự hội tụ của dãy (xn)

40) Cho a ≠ 1 Xét dãy (xn) được xác định bởi

2

,

n n n

n

x x

x





 Chứng minh rằng dãy (yn)

={(a – 1)xn} có giới hạn và xác định giới hạn đó

41) Xét dãy (xn) được xác định bởi n 1 2 32, 0 1

    Chứng minh rằng (xn) không có giới hạn hữu hạn

42) Cho dãy hàm f x n( )dương trên R+ thỏa các điều kiện f x0( )x,

2

f  x  x  f x  n N xR Chứng minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn điệu tăng (xn) thỏa mãn f x n( n)2x n và limx  n 4

43) Xét 2 dãy (an) , (bn) xác định bởi a1 = 3, b1 = 2 và an+1 = an2 + 2bn2, bn+1 = 2anbn Tính lim2n

n

b

và 2

1 2

n

a a a

44)