Hiểu và vận dụng các định lý, các qui tắc để tính các giới hạn của dãy số có giới hạn vô cực.. Về kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, nắm được cách tìm giới hạn của dãy
Trang 1§3 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Người soạn : Nguyễn Lê Ngự Giao
Giáo viên HD : Vũ Trường Giang
1. Về kiến thức :
Giúp học sinh nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn −∞ à+ ∞.
Hiểu và vận dụng các định lý, các qui tắc để tính các giới hạn của dãy số có giới hạn vô cực
2 Về kĩ năng :
Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, nắm được cách tìm giới hạn của dãy số
có giới hạn vô cực
Áp dụng định lý, các qui tắc để làm thành thạo các bài tập cơ bản của dãy số có giợi hạn vô cực
3 Về tư duy thái độ:
Có tinh thần tự giác, hợp tác
Tích cực tham gia làm bài tập trong tiết học, rèn luyện khả năng tuy duy
B Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Chuẩn bị của giáo viên: giáo án, các phiếu học tập, bảng phụ
Chuẩn bị của học sinh: học bài cũ ở nhà và đọc trước bài mới, chuẩn bị các câu
hỏi về bài mới khi thắc mắc ở nhà mà khi lên lớp học vẫn chưa nắm rõ được
C Phương pháp dạy học :
Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt đông nhóm (nếu có) để giải các bài tập rèn luyện
kĩ năng và kiến thức về dãy số có giới hạn vô cực
D Tiến trình bài học :
1 Ổn định lớp học.(1’)
2 Kiểm tra bài cũ (5’)
Tìm lim 2 24 5 1
+ −
− + + .
3 Vào bài mới : (35’)
Nội dung bài học Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
1 Dãy số có giới hạn +∞.
Định nghĩa: ta nói rằng dãy số
(un) có giới hạn là +∞ nếu với
mỗi số dương lớn tùy ý cho
trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ một số hạng nào đó trở đi,
đều lớn hơn số dương đó
Cho dãy số (un) xác định bởi :
n
u = n+
.?.Nếu cho n ngày càng tăng
có thể là tăng lên đến vô hạn thì có nhận xét gì về un ?
Trình bày: vậy thì khi đó ta thấy rằng khi n tăng thì un lớn
Quan sát ví dụ và lắng nghe câu hỏi của giáo viên Trả lời: un ngày càng lớn khi n tăng lên đến vô hạn
Trang 2Khi đó ta viết:
( )
lim u n = +∞hoặc
limu n = +∞ hoặc u n → +∞.
Dùng định nghĩa trên có thể
chứng minh rằng:
3
à lim
= +∞ = +∞
= +∞
2 Dãy số có giới hạn −∞.
Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
(un) có giới hạn là −∞ nếu với
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ một
số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ
hơn số âm đó
Khi đó ta viết:
( )
lim u n = −∞hoặc
limu n = −∞ hoặc u n → −∞.
Từ đó ta dễ dàng thấy rằng:
limu n = −∞ ⇔lim(−u n)= +∞
CHÚ Ý: Các dãy số có giới hạn
là +∞và−∞ được gọi chung là
các dãy số có giới hạn vô cực
hay dần đến vô cực
Nhận xét: (Đọc SGK)
Định lý:
Nếulim n ì lim 1 0.
n
u
= +∞ =
bao nhiêu cũng được miễn là
n đủ lớn Hay nói một cách khác là mọi số hạng của dãy
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn một số dương lớn tùy ý cho trước
Giả sử cho số dương 109 kể từ
số hạng 8
5.10 10 1 10
u = + > ,
các số hạng liền sau cũng lớn hơn 109
Đưa định nghĩa tổng quát
Xét dãy số (un); u n = − −2n 1. .?.Khi n tăng lên thì nhận xét
gì về un
Cũng tương tự như trên ta có nhận xét là: với mỗi số âm nhỏ tùy ý cho trước, ta cũng
có mọi số hạng của dãy số kể
từ một số hạng nào đó trở đi đều nhỏ hơn số âm đó
Nêu chú ý cho học sinh
Nhận xét limu n = +∞ thì u n
trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn(theo định nghĩa ở trên)
Vậy thì 1 1
n n
u = u trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là
n đủ lớn
.?.Có nhận xét gì về lim 1
n
u ?
Gọi học sinh trả lời câu hỏi và đưa ra định lý cho học sinh
Xem và phân tích ví dụ Trả lời: n càng tăng thì
un càng nhỏ đi
Học sinh tiếp thu kiến thức
và ghi nhận
Nhớ các định nghĩa
Chú ý lắng nghe giáo viên giảng bài
Lắng nghe nhận xét và trả lời câu hỏi của giáo viên
Trả lời: lim 1
n
u =0 do định
nghĩa dãy số có giới hạn bằng 0
Chú ý nghe giáo viên
Trang 33.Một vài qui tắc tìm giới hạn
vô cực.
a)Quy tắc 1
Nếu limu n = ±∞và limv n = ±∞
thì lim(u v được cho như n n)
trong bảng sau:
limu n limv n lim( )u v n n
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Ví dụ: Tìm 2
lim n
Vì n2 =n nv à limn= +∞
Nên lim n2 = +∞
Mở rộng cho mọi số nguyên
dương k, ta có lim n k = +∞
b)Quy tắc 2
Nếu limu n = ±∞và limv n = ≠L 0
thì lim(u v được cho như n n)
trong bảng sau:
limu n Dấucủa
L
lim( )u v n n
+∞
+∞
−∞
−∞
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Ví dụ 1: Tìm
2
2
)lim(3 10 51)
5
b
− −
−
− −
Vì +∞và−∞ không phải là những số thực nên ta không thể áp dụng được các định lý trong bài trước cho các dãy số
có giới hạn vô cực được mà người ta đã đưa ra các qui tắc
để tìm các giới hạn vô cực như sau đây:
Trước hết ta đi tìm giới hạn của dãy số là tích của 2 dãy số đều có giới hạn là vô cực
Cho ví dụ và làm mẫu cho học sinh tiếp thu quy tắc 1
Mở rộng công thức limn
Như vậy khi mà ta có tích của
2 dãy số, 1 dãy có giới hạn vô hạn, 1 dãy có giới hạn hữu hạn thì ta sẽ tính như thế nào thì chúng ta đi vào phần quy tắc 2
Làm bài mẫu cho học sinh:
a)Ta có
2
10 51
− − = − −
mà lim n2 = +∞ và
2
10 51
− − =
lim(3n −10n−51)= +∞
b)vì lim 3n2−10n−51 = +∞
3n 10n 51
− −
giảng bài tiếp thu kiến thức
Chú ý ghi nhận kiến thức
về quy tắc 1 và nắm được cách tìm giới hạn vô cực bằng quy tắc 1
Chú ý các quy tắc tính giới hạn của tích 2 dãy số có giới hạn dần ra vô cực
Theo dõi bài mẫu và tiếp thu kiến thức
Làm hoạt động 1 SGK
HĐ1 a) lim(nsinn-2n3)
Ta có
3 3
2
sin
n
mà lim n3 = +∞
vàlim(sin2n 2) 2
n − = −
nên
3
lim( sinn n−2 )n = −∞
Trang 4c)Quy tắc 3:
Nếu limu n = ≠L 0; limv n =0
vàv n >0hoặcv n <0 kể từ một
số hạng nào đó trở đi thì lim n
n
u v
được cho trong bảng sau:
Dấu của
L
Dấu của
n
n
u v
+
+
−
−
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Ví dụ 2:(HĐ 2 SGK)
Tìm
3
2
lim
n
− +
−
Ví dụ 3 ( BT 12 SGK)
Cho học sinh làm HĐ1 SGK
Gọi học sinh khác nhận xét bài làm của bạn và sửa chữa bài làm của học sinh (nếu có)
Trong một số trường hợp tính giới hạn ta hay gặp thì có trường hợp phân số mà giới hạng tử hữu hạn còn giới hạn
ở mẫu bằng 0, các trường hợp này ta sẽ được biết ở quy tắc 3 sau đây
Trình bày quy tắc 3 cho học sinh nắm rõ Sau đó cho ví dụ cho học sinh làm quen với các quy tắc tính giới hạn vô cực
Gọi học sinh trình bày bài làm
Cho học sinh khác nhận xét Chỉnh sửa bài làm của học sinh (nếu có)
sin 2
vì lim sinn n−2n3 = +∞
sin 2
−
Hiểu và vận dụng được kiến thức vào bài tập ví dụ của giáo viên
Học sinh lên bảng làm HĐ2 :
Ta có
2 3
1 2 2
n
− +
− + =
màlim( 2 12) 2 0
n
− + = − <
2 3
2 3
− =
− > ∀
nên
3
2 lim
n
− + = −∞
−
E Củng cố dặn dò: (4’)
Phát biểu lại định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực
Nêu lại các quy tắc tìm giới hạn vô cực mà hay gặp phải trong khi làm bài tập, nhắc nhở học sinh chú ý các dạng vô định
Dặn dò học sinh về nhà làm các bài tập trong sách và làm thêm bài tập trong sách bài tập để nắm rõ hơn kiến thức