Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Bài giảng số 10 NHI THUC NEWTON

Các bài toán tổ hợp nói chung và nhị thức Newton nói riêng lễ một trong các

cấu thành của các để thi môn Toán trong các kì thi tuyên sinh vào Đại học, Cao

đẳng những năm gần đây từ 2002-2009

Bài giảng này dành để trình bày các phương pháp giải các bài toán liên quan

đến nhị thức Newton Có hai loại bài toán chính được xét đến ở đây:

- Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển nhị thức Newton

- Các bài toán tính tổng có sử dụng đến nhị thức Newton

§1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ TRONG KHAI TRIEN

NH] THUC NEWTON

Như đã biết nhị thức Newton có đạng:

n

(a+b)"=S CRa"°bY.(1)

k=0 Trong đó về phải của (1) là tống n+1 số hạng Số C*a"”°bÈ là số hạng thứ

k+1 của tổng ấy, (k = 0,1,2, ,n) Các bài toán thuộc chủ để này là một dạng toán

hay gap trong cac ki thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những

năm gần đây Nó thường có dạng sau: “Tìm điều kiện để hệ số của khai triển (1)

thỏa mãn một điều kiện nào day”

Phương pháp giải các bài toán này thường được tiễn hành như sau:

- Viết khai triển Newton (1) với a, b được chọn từ đầu bài Trong một so

trường hợp có thể phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương

trình có liên quan đến số tổ hợp)

- Từ (1) str dung sé hang thir k+1: Cha "PK của khai triển và yêu cầu đề bài

dé thiết lập nên một phương trình (mà ân của nó thường là k)

- Từ nghiệm tìm được sẽ cho ta kết quả cần tìm

Trong quá trình giải toán ta thường dùng các kết quả đặc biệt sau:

(1+x)" “rc F =CP +Cix+C2x?+ +CDx",

n - -

(1=x)" =) (-1)* Chxk =f = Cyx + C2x” — + (-1)" Chx”

k=0 Dac biét hon, ta co: c +Cl +C? + 4+C8 =2";

Cô —Ca +C2— +(—I)” C? =0

186

Các dạng toán cơ bản:

Loại 1: Tìm hệ số của XÈ trong một khai triển nhị thức Newton:

Thi dul: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối B — 2007)

Tìm hệ số của x'” trong khai triển nhị thức (2+x)" biết rằng:

3"C0 —2n-LCÍ + 3972C2 —3"3C2 + +(—1)” Cả =2048

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

n

2" =(3-1)" = 5 ck3k (1)

k=0

=3"C§ —37!C¡ +3" 2C2 ~3"4Có + +(~1)” Cá

Vì thế, từ giả thiết ta có: 2"= 2048 = 2"! = n= II

Lại áp dụng công thức khai triên nhị thức Newton ta có:

a

(2+x)"=)ch2*x R0)

k=0

Từ (1) suy ra hệ số của x! "ứng với k= I, và đó là số : Ch, 2! =22

Nhận xét:

Thí dụ trên là một minh họa đầy đủ cho phương pháp giải mà chúng ta đã

trình bày trong phần mở đầu

Thí dụ 2: (Đề thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2006)

Tim hé so của số hạng x” trong khai triển nhị thức Newton của

mì]

atx

x

Biét rang Chay + Cong, tot Cong = 277-1

Giai

Trước hết xác định n từ giả thiết đã cho như sau:

Theo tính chất của số tô hợp, ta có:

`

1 Chaat = Cina

2 _ meni

Cane = Const

n+]

Const = C2n~i :

Tir do ta cO: Conay t Congr t+ Cong) = Conar + Const t+ Cones CD)

Từ (1) ta có:

Cons + (Chaat + Const to Cant ) + (Citas + Cons t+ Const ) + Cà

= 2+2(Cz„„ +Cš„„, + .+ Ca 1 2 n ) (2)

Vì về trái của (2) bằng 2, nên từ (2) và giả thiết ta có:

2"! =2+2(279~1]=2?' © n=10,

187

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

_= =(x~ +X n =>Ch[x Ỷ (x 7) = 2.Ciox

Ta cé 70 - 11k =26 >k=4 Vậy số hạng chứa x? ° ứng với k= 4 Từ đó suy

Nhận xét: Một lần nữa ta thấy các bước giải của các loại toán trong mục này

tuân theo phương pháp đã trình bày trong phần mở đầu

Thí dụ 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2004)

7

Tim các sô hạng không chứa x trong khai triên lt x+ x} „ VỚI X> (,

Xx

Giai

Xét phương trình 7?k— 21 =0 © k=3

Vậy số hạng không chứa x là số hạng ứng với k = 3 Đó là số Cÿ =35

Chú ÿ: Đề thi tuyển sinh Cao đăng khối A, B — 2008 có dạng tương tự: Tìm số

7 hạng không chứa x trong khai triển |2x+~—— |

gang ° ( 1

Đáp số: 6528

Thí dụ 4: (Dé thi Dai hoc khối A — 2003) ;

Tìm hệ sô của só hạng chứa xổ trong khai triển nhị thức Newton

S + ý) , biết rằng: cml ~Ch,; =7(n +3)

Giải Trước hết ta tìm n từ hệ thức:

(n+3)!

(n+ 1)!2!

<> (n+2)(n+3) =14(n +3) < (nt2)=14 © n=12 (do n+3>0)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

ref fond) dawn) fae?

Tir phuong trinh os =8=k=4

Cha Chaz = 7(n +3) <> CRE +C8,3-C8,, =7(n +3) © =7(n+3)

188

Vậy số hạng chứa xỶ trong khai triển tương ứng với k = 4, do đó hệ số của nó

la Cj =495

Nhận xét: Với các thí dụ 1, 2, 3, 4 việc tính hệ số của các số hạng chứa x" được

tính trực tiếp

Trong các thí dụ sau đây, việc tính hệ số của số hạng x* không tính được trực tiệp mà nó phải qua bước trung gian Ta hãy xét các thí dụ đó:

Thí dụ 5: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2007)

Tìm hệ số của xŸ trong khai triển của biểu thức: P = x(1- 2x) +x (1+ 3x)”

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

P=x SẺ Cš(-2x)Š + x29) CR (3x)* ()

Từ (1) suy ra số hạng chứa x” của P là:

xC$ (-2x)" + x?Cjp (3x) = xŸ(I6Cš + 27C

Vậy hệ số của x” trong khai triển là 16.5+27.120 = 3320

Thí dụ 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A - 2004) _

Tìm hệ số của x’ trong khai triển thành đa thức của biéu thuc:

8

p=[1+x?(I-x)|

Theo công thức khai triên Newton ta có:

P=Š-cl[x'(t=x x)J -Ychx 2k (

+ Với k= 5, 6, 7, 8 thì x"q —x)* chứa lay thừa bậc thấp nhất là 2k > 10, vậy mọi số hạng của nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

+ Với k=0, 1, 2 thi x“q—} chứa lũy thừa bậc cao nhất là 3k < 6, vậy mọi

số hạng của nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

Vậy chỉ xét khi k=3, k=4

- Vi k = 3, xét sd hang C3x® (I -x?) =Cgx®(1-3x+3x? —x°)

Sé hang chira x* & đây là 3C¿ xỶ

- Voi k = 4 xét số hạng: C¿xỶ (1 — x') Số hạng chứa xỶ là: C‡ xỶ

Vậy hệ số chứa lũy thừa x* trong khai triển của P là: 3CÿC; =238

Thi du 7:

Cho da thức, P(x) = (1 +x) + 2(1 + x"+3(1+x)'+ + 20(1 + x}” Tìm hệ

số của số hạng x'” trong khai triển thành đa thức của P(x)

Giải

P(x)=[(I+x)+2(1+x} + +14(1+ x)]

Viết lại:

189

asf ck x ‘} rps Chex tÌ-+s| Šc#] (1)

k=0

Từ đó suy ra hệ số của số hạng chứa x”là

ais =15C1š +16C1¿ +17Cj2 +18C]š +19C]Š + 20Clỗ = 400995

Loại 2: Tìm hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Newton:

Bài toán này có dạng sau: Trong một khai triên thành đa thức

P(x) = ag + ajX + ax? + + a,x"

(ở đây sử dụng công thức khai trién nhi thirc Newton) Hay tim hé s6 Ién nhat

trong các hệ số ao, aI, , An

Phương pháp giải loại toán này như sau:

- Xét bất phương trình ay, < ay.¡ và nghiệm của nó thường có dạng k < ky

do k nguyén nén k = 0, 1, 2, ,ko-1

- Từ đó suy ra bât phương trình ay > ay.¡ có nghiệm dạng k > ko

Đên đây ta có hai khả năng:

, + Néu a = aa: © k = ko

Khi do ta c6: ap<aj<ap< < a, = Ay 4) > Ay p> > Ana > an

Lúc này có hai hệ số nhận giá trị lớn nhất là a, và a, „,

+ Nếu ay = a¿.¡ vô nghiệm

Khi đó ta có: ap<a)<a< Ay -¡ <8, <ây ¿¡>-.->âu

Lúc này có duy nhất hệ số a,, nhận giá trị lớn nhất

Thí dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2008)

Giả sử P(x) = (1 + 2x)”= ao + aix + a;x”+ + anx" thỏa mãn hệ thức:

n

422404552),

aj t+— t+ +

22 2n

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ sô {ao, ai, aạ, , an}

Giải Theo công thức khai triển Newton ta có:

P(x)=(I+2x)" =S C2 cÝ =Cl +2Cnx+22C2x?+ +2"CPx",

Tir dé do P(x) = (1 + 2x)"= ao+ aix + a;X”+ + a,x" ta có:

=e

a, =2C! => 1 =C}

2

ay =2C2 > 2 =C?

2

a, =2°Ch 22 ="

2

Vi thé: a, + —* + ~# + +? =C? +C, +C? + +C? =2", 2 2“ n n n n n

190

Do dé tir gia thiét suy ra: 2" =2!* >n=12

12

Xét khai triển: (i+ 2x)” = S°Ch2*x*

k=0

Từ đó a, =Ch2* (k=0, 1, ,12)

Xét bat phuong trinh: ay < Ake]

© Chak <chlat o

© k†tl<24-2k © k “= <> k=0, 1, 2, ,7 (do k nguyên)

Tir dé suy ra: a, > ary <S ko k = 8,9, 10, 11

Phương trinh a, = ay.) <> k= =

© vô nghiệm do k nguyên

Như thê ta có: ao < ai < aạ< < 4; < as> ao> aio> aii > aj

Vậy max {âu, ãi; ; Äi2}= ag=2° ch =126720

Xét khai trién Gx+2 = ao† aix+ aax?+ + aox” Tìm hệ số lớn nhất trong các

hệ số {ao; ai; Ao}

Giải

9 3 ‹ k ‹ oo ok ok

Ta có: (3x+2)” = Ð) Có (3x) 2°* = 342” *Chx8

Vay a, =3*2”*C‡ (k=0, I,2, ,9)

Xét bắt phương trình: ay<ay.\

© 3'2?”*C} <3*''2**C#!' © 2 KI(9—k)! `” (K+1)!(8 —k)! 9! <3 9!

o 2 <2 eke k =0, 1, 2, 3, 4 (do k nguyên)

9-k k+l!

Vay a> ay @kS SO k = 6, 7, 8

Mat khac a, = ay 2 k=5

Vi thé ta cO: ap < a; <a < a3 < ay < &5 = Ag > a7 > Ag> Ao

Từ đó: a; = ag = max{ag; aj; ;a9}=2C3 = 252

Thi du 3

Xét khai triển (x+2)°=ao +aix+a;x?+ +a,x", Tìm n để maxƒag;ä; ân}=ao

Từ giả thiết ag<a¡< <as<aio>aii>âi2> >ân

Vậy ta có hệ:

Ay > Ay (2)

191

Theo khai triển nhị thức Newton, thì

n

(x +2)" = Chxk2rk

k=0

Vay a, =Ch2"* voi k=0, 1,2

Cl02n-I0 +c? 2n-9

Từ đó (1), (2) ©

ch 2n-10 > cl 2n-l 1

——————-—- >———

= 29 <n <32

<© n=30 hoặc n = 31

Loại 3: Các bài toán tìm hệ số và các số hạng trong khai triển nhị thức

Newton thỏa mãn các điều kiện cho trước:

Thí dụ 1 (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2003)

Với n là sô nguyên dương, gọi aan.; là hệ số của x?"3 trong khai triển thành đa

thức của (x”+2)"+ (x+2)" Tìm n để có as;s=26n

192

Giải

Vị n nguyên dương nên n> Ì — 3n-3> 0

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

(14x?) =C§ +Clx? + Cậx? CBN? (1)

(24x) =2"Cÿ +2n"-!C! x +2"~2C2x? + +CPx" (2)

1/Néun=1 = 3n-3=0 SỐ

Trong trường hợp này, ta có: (x? + 1)" (x +2)" = (x? + I)(x +2)

Từ đó suy ra ao = 2 Mặt khac 26n = 26 => a3,.3 #26n

Loại khả năng này

2/Nếun=2 (lập luận tương tự như trường hợp I cũng loại khả năng này)

3/Nếu n >3, từ (1) (2) suy ra:

tụy =C¡(2°Cÿ7)+€7 '€?') =2! mi hâm

Theo bài ra ta có phương trình:

4n{n-I)(n-2

meer), 2n? =26n <> n=5(don> 3)

Vay n= 51a giá trị duy nhất cần tìm của n

Thi du 2:

Tìm các số hạng nguyên trong khai triên (v3 +32 )

Theo công thức khai triên nhị thức Newton, ta có:,

(J3 +92)’ [2] =S ca: 322 3 (1)

C322 3 là nguyên © 4(9-k):3 k=0 và k=6

0<k<9

Vậy trong khai triển trên có hai số hạng nguyên đó là:

C¿3°2°=8 và C?3)2' =4536

Thí dụ 2: ;

Trong khai triên nhị thức Newton:

21

| 4 b

tìm hệ số của số hạng có số mũ của a và b là bằng nhau

Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: -

EB) Cos

Từ (1) suy ra xét hệ phương trình sau:

ke?) kK gay

số

Vậy hệ số cần tìm là: Cy = 293930 (đó là hệ số của số hạng chứa a2b2)

Tìm số nguyên đương bé nhật n sao cho trong khai triển (l + x)” có hai hệ số

oA oh oar A qs 7

liên tiếp có tỉ số là 3"

Giải

Ta có: (1+x)" = Ss Ckx* <> hé sé-ca hai sé hang liên tiếp là: CR;CR”!,

k=0

193

Ta có:

k

Sr oF gs k‡l_ 7 ` Jn=22k+15 cn=3k+2+K*1,

k+1

DonkeZ > _x *t>k= 7t-1 => n=22t-1 (1)

Do k> 0 nên 7t-] >0 —> t> 22)

Từ (1) và (2) do t nguyên nên n nhận giá trị bé nhất bằng 21 khi t = 1 Vậy

n= 21 1a gid trị bé nhât của n thỏa mãn yêu cầu đầu bài

§2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP, HOẶC

TINH TONG BANG CACH SU DUNG NHI THUC NEWTON

Đề có thê giải các bài toán thuộc loại này, người ta thường giải nó theo các

bước sau:

1/ Trước hết chọn một hàm số thích hợp với đầu bài Các hàm số này thường

là nhìn thấy ngay dạng của nó (dựa vào các biểu thức cho trong đầu bài)

2/ Dùng các phép biến đổi đại số, hoặc kết hợp với phép tính đạo hàm, tích

phan dé giải bài toán ban đầu

Loại 1: Các bài toán kết hợp việc sử dụng phép tính đạo hàm và tích phân:

Với loại bài tập này, sau khi chọn được hàm số f{x) thích hợp ta tiến hành lấy

đạo hàm (hoặc tích phân) hàm số đã chọn theo hai cách:

- Lay đạo hàm (hoặc tích phân) trực tiếp hàm số đã cho

- Lay dao ham (hoặc tích phân) sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton

hàm số f(x) đã chọn (dĩ nhiên ở đây f{x) có dạng có thể dùng công thức khai triển

nhi thitc Newton)

- Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào

hai biểu thức và tính đạo hàm Với phép lấy tích phân thì chọn hai cận tích phân

thích hợp Các giá trị này cũng thường thấy ngay từ đầu bài

Thí dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A4 — 2007)

Cho n là số nguyên dương, chứng minh:

Giải

(I—x x)" -C} ax +C3,x? -C3,x° + +C5"x 2n (2)

194

2n _ (1 _ x)"

Tir (1) (2) (3) suy ra: f(x) = Coax +C3,x° + C3,x9 + C22 1x29 (4)

i

1 _4 i ((l£+xƒ -(I-x) 2n 2n _ 1} (1+x) 2n+l (1-x) 2n+l _2°-1 5 2n

Từ (4) lại có: ff (x)dx =C), [xdx +C3, JrPdx + + C301 fx? lax

=2 Cạn +5 —C3 n + Cổn +: "+ G2 (6)

Tu 16) (6) > dpem

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A — 2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho:

C?n,¡ —2.2C2n¿¡ +3.27C3n,¡ —4.22C2n¿¡ + +(2n +1)22 C2"?! = 2005, 2n+] —

Xét hàm số: f(x)=(l+ xy" => f'(x)=(2n+1)(1+ x)" (1)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

'2n+l

= X Cặn,¡xŸ =C Coast + Coy XtCh yx + at Cann X on

=> (x) = Congr + 203g 1X + 3Cộn 1X? + + (2m +1) C32 2n (2) 2n+IX

Đồng thời thay x=2 vào (1) và (2) ta có:

2n+l=C;,.,~2.2C¿.„¡ +3.27Cj,„¡ —4.22C2.„, + +(2n 2n+l + 1)2?"C?""! (3) 2n+l

Từ giả thiết và (3) suy ra 2n+l =2005 = n= 1002

Thi du 3: (Dé thi tuyển sinh Đại hoc khéi B — 2003)

Cho n là số nguyên dương Tính tổng:

27 3 n+l

eo +2 log 42

n n

Giải

len

n

S=C?+

n+]

Xét ham sé f(x) = (1+x)" Ta cé:

=~ J(2n=1)(cos't)ét= f(2n-t)(cos?rJar (1)

Theo công thức khai triển Newton, ta cd:

f(x)=C? +C¿x+Cÿx?+ +C"x"

195