Nhị Thức Newton

Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhị thức Bài 1.. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển... Tìm n biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển 2 n x  x theo thứ

NHỊ THỨC NEWTON

BÀI TẬP CƠ BẢN

I Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhị thức

Bài 1 Khai triển các nhị thức sau :

5) (x 1)6

x

y

7) (2x 1)5

x

x



Bài 2 Tìm số hạng trong khai triển

3) (x 1)7

x

2

x x

 chứa x4

5) (2x 1)8

x

3

x x

 chứa x4

7) (x 22)6

x

x

 chứa x31

9) (3x3 22)5

x

x  chứa x24

11) (14 x7 10)

2 20

2

x  chứa x10

Bài 3 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1) (x y )7 chứa x y4 3

2) (2x y )13 chứa x y6 7

3) (x3 xy)15 chứa x y25 10

4) (2x 3 )y 200 chứa x101 99y

Bài 4 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1) (x x 2) chứa x9 2) (x x 3 10) chứa x20

3) ( 2 x2 10)

3 3 14

x

 chứa x6

Bài 5 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

1) (x 1)12

x

x



3) (x 12)12

x

x



x



7) ( 1 x2 20)

10 3

1

x 

4

1

16

1

2

x x

x



11) (2 x33x)20 12) (3 21 4 3 17x )

x 

Bài 6 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1) [1x2(1x) ]7 chứa x6 2) (1 )(1 )8

2

x x

  chứa x3

Bài 7 Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển 3 21

3

Bài 8 Tìm n biết rằng hệ số của x n 2 trong khai triển ( 1)

4 n

x  bằng 31

Bài 9 Tính A , biết rằng số hạng số thứ 5 trong khai triển n2 (3x 1)n

x

 không phụ thuộc vào x

Bài 10 Tìm n và x trong khai triển (2x21 2 )3x n

 biết số hạng thứ tư bằng 20n và C n3 5C1n

Bài 11 Tìm n biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển

2

n

x  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

Bài 12 Trong khai triển (x 1)n

x

 , biết hiệu hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 2 là 35 Tìm số hạng

không chứa x trong khai triển trên.

Bài 13 Trong khai triển (x2 13)n

x

 , biết hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng

thứ hai là 35 đơn vị Tìm n và số hạng không chứa x trong khai triển trên

Bài 14 Tổng các hệ số trong khai triển của (1 x3)n

x (n N *) bằng 1024 Tìm hệ số của x 6

Bài 15 Tổng các hệ số trong khai triển của 3

(1 ) n x

 bằng 64 Tìm số hạng không chứa x trong

2

1

2

n nx

nx

Bài 16 Số hạng thứ 3 trong khai triển (2x 12)n

x

 không chứa x Với giá trị nào của x thì số

hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển (1x3 30)

Bài 17 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1) (x3 12)n

x

 chứa x , biết 2 C n0 C n1 C n2 11

2) (13 5)n

x  chứa x , biết 19 C n35  C n34 8(n3)

3) (13 x5)n

x  chứa x , biết 8

1

4

1

( x )n

2 1 2 1 2n 1 2 1

C   C    C    (ĐH_A_06)

Bài 18 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

1) (x x x3  2815)n biết C n nC n n1C n n2 79

2) (3x 2 )n

x

 biết C n6 3C n7 3C n8 C n9 2C n82

Bài 19 Tìm hệ số của các số hạng chứa x và 2 x trong khai triển 3 (x1)5(x 2)7

Bài 20 Khai triển P x( ) ( x2)(x1)10 thành dạng P x( )x11 a x1 10 a x2 9 a x a10  11 Hãy tìm hệ số a trong khai triển.5

Bài 21 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển sau thành đa thức :5

f x( ) (2 x1)4 (2x1)5(2x1)6 (2x1)7

Bài 22 Cho P x( ) (1 x)8(1x)9 (1x)10 (1x)11(1x)12

Khai triển và rút gọn, ta được đa thức P x( ) a0 a x a x1  2 2 a x12 12 Tính hệ số a 8

Bài 23 Cho P x( ) (1 x)9 (1x)10(1x)11(1x)12(1x)13(1x)14

Khai triển và rút gọn, ta được đa thức P x( ) a0 a x a x1  2 2 a x14 14 Tính hệ số a 9

Bài 24 Giả sử n là số nguyên dương và (1x)n a0a x a x1  2 2  a x k k  a x n n Biết rằng tồn tại k nguyên (1k n  1) sao cho 1 1

  Hãy tính n

Bài 25 Cho A (x 12)20 (x3 1x)10

x

Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng

II Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng khai triển Newton

Bài 26 Cho n là số nguyên dương Hãy tính :

1) S1 C50 2C51 22 2C5  2 5 5C5

2) S2 C50  2C5122 2C5  2 5 5C5

3) S3 36 0C6 35 1C6 34 2C6  C66

4) S4 C201  C202 C203  C2019

5) S5 C n0 C1nC n2C n3  C n n

6) S6 C n0 2C n1 22 2C n  2 n n C n

7) S7 3n C n0 3n1 1C n 3 C n n1 C n n

8) S8 3C1n 33 3C n 35 5C n 3n1C n n1

9) S9 C n0  C1n C n2  C n3 ( 1)  n n C n

10) S10 C20n  C21n C22n C23n  C22n n

Bài 27 Khai triển (1x)7, từ đó tính :

1) T C 70C17 C72  C76 C77 2) S C 70C72 C74 C76

Bài 28 Tính các tổng sau :

1) S1 C106 C107 C108 C109 C1010 2) S2 C116 C117 C118 C119 C1110C1111

Bài 29 Cho (x 2)100 a0 a x a x1  2 2  a x100 100

1) Tính hệ số a97 2) Tính T a 0 a1 a2  a100

Bài 30 Khai triển (3x  1)16, từ đó chứng minh : 316 0C16  315 1C16 314 2C16  3 C1615 C1616 216

Bài 31 Khai triển (1x)2n, từ đó :

1) Chứng minh : C20n C22n C22n n C21n C23n C22 1n n

2) Tính : S C 22nC24n C26n C22n n

Bài 32 Rút gọn : 3 [ 0 13 1 12 2 ( 1) 1 ]

Bài 33 Chứng minh : C20n C22n32 C24n34 C22n n32n 22 1 2n (2 n 1)

Bài 34 Chứng minh : C n0 2C1n 22 2C n 2n n C n 4n C n0 4n1 1C n 4n2C n n2 ( 1)n n C n

Bài 35 Chứng minh : C C m n0 k C C1m n k1 C C m n m k m C m n k



Bài 36 Tính tổng

n

S

n

Bài 37 Tính tổng

n

S



     Biết rằng C n0C1nC n2 221

III Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng công thức tổ hợp và chỉnh hợp

Bài 38 Chứng minh :

1) C n k C n k1 C n k11



2) C n k 2C n k1 C n k2 C n k 2



3) C n k 3C n k1 3C n k2 C n k3 C n k 2



4) C n k 4C n k1 6C n k2 4C n k3 C n k4 C n k 4



5) C C50 n k C C51 n k1 C C52 n k2 C n k5 C n k 5



Bài 39 Chứng minh :

1) An k n2 An k n1 k A2 n k n

Bài 40 Chứng minh :

1) P n (n 1) (P n 1 P n 2)

n

n n



Bài 41 Cho hai số nguyên dương n và m thỏa mãn 0 n m  Chứng minh :

1) mC n m nC n m11



 2) C n m C n m m1 C n m21 C m m1 C m m11

Bài 42 Tính giá trị của 4 1 3 3

( 1)!

M

n

 



 , biết rằng : C n21 2C n22 2C n23C n24 149

IV Phương trình và bất phương trình chứa hệ số tổ hợp và chỉnh hợp

Bài 43 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện :

1) A n3 20n

2) A n5 18A n4

3) A n2  A n1 3

2n 20 n

2

3 An  42  An

6) 2. n 1 3. 42 120

Bài 44 Tìm nguyên dương n sao cho

1) C n0 2C n1 4C n2  2 n n C n 243

2) C40n2C42n2  C42n n2 256

3) C21n 1 C2 13n C2 12 1n n 1024

      

4) C C n n2 n2 2C C n n2 3C C n n3 n3 100

Bài 45 Giải phương trình :

1) A C2x x x1 48 2) A x3C x x2 14x

3) A3x 2C x2 16x 4) Ax3 5 Ax2  2( x  15)

5) C x x12 2C3x 1 7(x 1)

     6) 6C x26C3x 7x2  7x

7) C1x C2x C x3 72x 8) C1x 6C2x 6C x3 9x2  14x

9) A3x  2C4x 3A x2 10) A10x A x9 9A x8

1 3 2

13) P A x 2x 72 6( A x22 )P x 14) A x3 2C x x11 3C x x13 3x2 P6 159

Bài 46 Giải phương trình :

1)

2

x x x

x

P

Bài 47 Tìm n k N ,  sao cho 5 15. k 4. 4

Bài 48 Tìm n sao cho

1)

4

4

1

15 ( 2)!

n

n

A







5 2

   

Bài 49 Giải bất phương trình :

1) A3x 5A x2 21x 2) Cx41 Cx31  Ax21

3)

4

1

3 3

1

14

x

x

x

A

P C







2A x  A x x C x 

Bài 50 Giải bất phương trình : ( !). n. 2n. 3n 720

Bài 51 Giải bất phương trình : C22x C24x  C22x x 22003 1

Trong đó C2k x (k 2, 4, 6, , 2 )x là tổ chập k của 2x phần tử.

Bài 52 Giải bất phương trình : 5 60 32

( )!

k n

n

P

A

n k











Bài 53 Giải hệ phương trình :

y y

x x

y y

x x





y y

x x

y y

x x







Bài 54 Giải hệ phương trình :

: : ( ) 21: 60 :10

V Nâng Cao

Bài 55 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1) [1x2(1x)]7 chứa x6 2) [1x2(1 x)]8 chứa x8

3) (1 2 x 33x)4 chứa x 4) (1 2 x3 )x2 10chứa x 3

5) (1 1 x3 10)

x

x

  không chứa x

Bài 56 Tìm k {0;1; 2; ; 2005} sao cho C2005k đạt giá trị lớn nhất

Bài 57 Tùy theo n chẳn hay lẻ, hãy xác định số lớn nhất trong các số : 0, 1, 2, , n

Bài 58 Khai triển P x( ) (1 2 )  x12 thành dạng P x( ) a0 a x a x1  2 2 a x12 12

Tìm max { , , ,a a0 1 a12}

Bài 59 Khai triển ( ) ( 2)14

2 3

x

P x   thành dạng P x( )a0 a x a x1  2 2  a x10 10 Tìm max { , , ,a a0 1 a10}

Bài 60 Khai triển ( ) (1 2 )10

x

P x   thành dạng P x( ) a0 a x a x1  2 2 a x10 10 Tìm max { , , ,a a0 1 a10}

Bài 61 Tìm số hạng nguyên trong khai triển ( 332)9

Bài 62 Cho khai triển (3xy2  xy)12 Tìm số hạng chứa x và y với số mũ nguyên dương.

Bài 63 Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số C C230 , 231 , ,C 2323

Bài 64 Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển (x21) (n x2)n Tìm n để a3n3 26n

Bài 65 Biết rằng trong khai triển (x 1)n

x

 có tổng của hệ số của hai số hạng đầu tiên là 24

Chứng minh rằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x là số chính phương.

Bài 66 Cho khai triển (2x2 2x 5)n a0a x a x1  2 2  a x n 2n

Tính tổng các số hệ trong khai triển

Bài 67 Chứng minh : C2002 20020 C2001 C2002 20011 C2000 C2002 2002k C2001k k C2002 12001 0C 1001.22002



Bài 68 Chứng minh : C2006 20060 C2005 C12006 2005C2004 C2006 2006k C2005k k C2006 12005 0C 1003.22006



Bài 69 Chứng minh : ( )C n0 2 ( )C1 2n ( )C n2 2  ( C n n)2 C2n n

Bài 70 Chứng minh :

1) C2n n k C2n n k (C2n n)2 với 0 k n 

2) C2001k C2001k1 C10002001 C20011001 với 0k2000

Bài 71 Cho n2,n N Chứng minh rằng : 1 2 1

1

2

k

