NHỊ THỨC NEWTON
**Công thức Newton: cho n là số tự nhiên và a,b là hai số tuỳ ý
(a + b)n =
n
0 k
k k n k
na b
n 1
1 n 1 n 0 n 0
na b C a b C a b
1.Khai triển các biểu thức sau
a) (2x – 1)5 b) (x – 2)4 c) (x – )7 d) (x + 2 + y)4
e)(1 – 2x + y)5
2.Cho biểu thức (x3 + )10.Tìm các số hạng sau:
a)số hạng thứ 5 b)số hạng đứng giữa c)không chứa x d)chứa x3
3.Cho biểu thức (x2 + )15.Tìm các số hạng sau:
a)số hạng thứ 4 b) hai số hạng đứng giữa
c)không chứa x d)chứa x9
4.Cho biểu thức (x2 – )16.Tìm các số hạng sau:
a)số hạng đứng giữa b) chứa x2 c)chứa x6 d)chứa x17
5.Khai triển và rút gọn biểu thức (1 + x)9 +(1 + x)10 + +(1 + x)14
ta được đa thức P(x) = A0 +A1x +A2x2 + + A14x14 Tìm A9
6.Khai triển và rút gọn biểu thức (2 + x)2 + (2 – x)3 + (2x + 1)4 + (2x –
1)5
ta được đa thức P(x) = A0 +A1x +A2x2 + + A5x5 Tìm A3
7.Tìm số hạng không chứa x của biểu thức
()10+()12 + ()16
8.Cho nhị thức (x + )n Biết hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ
số của số hạng thứ hai là 35.Tìm số hạng không chứa x
.Tìm số hạng không chứa x của biểu thức
7 4
3 x
1
x
với x > 0
9.Cho nhị thức (x – )n Biết tổng các hệ số của 3 số hạng đầu tiên
là 28.Tìm số hạng chứa x3
10.Cho nhị thức (x3 + )n Biết hệ số của số hạng thứ tư bằng 12 lần
hệ số của số hạng thứ hai Tìm số hạng chứa x14 và số hạng đứng giữa
11.Tìm số hạng chứa xyz2 trong biểu thức (x + y + z)4
12.Tìm số hạng chứa x6y5z4 trong biểu thức (2x – 5y + z)15
13.Tìm số hạng chứa x5y2 của biểu thức (1 – 2x + y)10
14.Tìm số hạng chứa x3 của biểu thức (1 + 2x + 3x2)10
x 2 1 x
) 2 2 (
n
3
n 5C
tư bằng 20n Tìm n và x
16.Khai triển ,rút gọn biểu thức (x– 2)100 ta được
(x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + + a100x100
a)Tính a97
b)Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + a3 + + a100
c)Tính tổng M = a1 + 2a2 + 3a3 + + 100a100
28
3 x x )
x (
ta có
n 1 n n
n
18.Biết rằng C C2 55
n
1
của biểu thức ( 7 8 3 5 ) n
17.Tìm số hạng hữu tỉ(nếu có) của các khai triển sau:
a) ( – )6 b) ( + )10
3
7
) b
a a
b
a.b.Hãy tìm số hạng đó .Trong khai triển nhị thức
21 3 3
a
b b
a
a và b bằng nhau .Trong khai triển (x)10 thành đa thức
ao + a1x + a2x2 + …+ a9x9 + a10x10 ,hãy tìm hệ số ak lớn nhất
20.Chứng minh rằng :
n 2 n n 2
1 n 2 0
n) (C ) (C ) C C
n
3 n
2 n
1
n 2C 3C nC n.2
n
4 n
3 n
2
n 3.2.C 4.3.C n(n 1)C n(n 1)2 C
1
n
4 n 4 n 3 n 3 n 2 n 2 n 1
n 1
n C 2.2 C 3.2 C 4.2 C nC n.3
n 2 3
n 2 2 n 2 1 n
2001 2000 4
2001 4 2 2001 2 0
2001 3 C 3 C 3 C
C = 22000(22001– 1)
n 4
4 n 2 2 n
0
2004 2004 2002 2004 2002 4
2004 4 2 2004 2 0
2004 2 C 2 C 2 C 2 C
C =
21.Tính tích phân
1
0
n dx ) x 1
1 n
1 2 C 1 n
1
C 3
1 C 2
1
n
2 n
1 n
22.Tính tích phân
2
0
n dx ) x 1
Trang 2
1 n
1 3 C 1 n
2
C 3
2 C 2
2
C
2
1 n n n
1 n 2
n
3 1 n
2
0
n
23.Tính tích phân
1
0
n dx ) x 2 1
) 1 n ( 2
1 3 C 1 n
2
C 4
2 C 3
2 C
2
2
1
1 n n n
n 3
n
3 2 n
2 1
n
24.Tính tích phân
1
0
n
2 ) dx x 1
) 1 n 2 (
7 5 3 1
n 2
8 6 4 2 C
1 n
) 1 (
C 7
1 C 5
1 C
3
1
n
n 3
n
2 n
1
n
1
0
n
2 ) dx x 1 (
2 n
) 1 (
C 8
1 C 6
1 C
4
1
C
2
n
n 3
n 2 n 1
n 0
n
n 3
3 n 2
2 n
1 n
0
1 n
1
2 C 4
1 2 C 3
1 2 C 2
1 C
25.a)Tìm số dư khi chia 100100 cho 11
b)Chứng minh rằng [(1 + )100 – ( 1 – )100 ] là số nguyên
26 a) Tính tích phân I =
1
0
19 dx ) x 1 ( x
b)Áp dụng kết quả trên,tính tổng:
19
18 19
2 19
1 19
0
21
1 C 20
1
C 4
1 C 3
1
C
2
1
27 a) Tính tích phân I =
0
n dx ) x 1
n 1 n 2
n 3 1 n
1 n
1 C 3 3
1 C 3 2
1
n n n
k n k k
2 n 2 1 n
1 n
1 ) 1 (
C 2 1 k
1 ) 1 (
C 2 3
1 C 2 2
1 1
28.Tính các tổng sau:
n
3 n
2 n
1
n 2C 3C nC
n 1 n 4
n
3 n
2 n
1
n 2C 3C 4C ( 1) nC
n n 3
n 3 2 n 2 1
n 2 C 2 C 2 C
C
n n n 3
n 3 2 n 2 1
n 2 C 2 C ( 1) 2 C
C
2
n
5 n
3 n
1
n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
1 2
C 3
1 2 C 2
1 2 C
29.Tìm số nguyên dương n sao cho :
2005 C
2 ) 1 n 2 (
C 2 4 C
2 3 C
2 2
1 n n 4
1 n 3 3
1 n 2 2
1 n
1 1