nhị thức newton (tiếp)

Dạng 11 Nhị thức Newton và khai triển đa thức... Nhị thức Newton và khai triển đa thức • Dạng 11A.. Dạng 11A Tính hệ số của đa thức... Bài tập tương tựKhi khai triển nhị thức Newton của

Dạng 11 Nhị thức Newton

và khai triển đa thức

Nội dung

 Dạng 11 Nhị thức Newton và khai triển đa thức

• Dạng 11A Tính hệ số của đa thức

• Dạng 11B Tìm hệ số lớn nhất của đa thức

• Dạng 11C Chứng minh hệ thức tổ hợp

Dạng 11A Tính hệ số của đa thức

Bài tập mẫu

Tớnh số hạng khụng chứa x, khi khai triển biết rằng n

thoả món

Giải

Áp dụng cụng thức , ta cú

Ta được giả thiết tương đương với

n

3 2

x



n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3

 

n 3 n 2

15 k





đó

k k 1 k 1

n n n 1



Bài tập mẫu (tt)

Số hạng không chứa x tương ứng với

Số hạng phải tìm là



30 5k

6



6 6 15

C 2 320320

Lưu ý:

 Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của ,ta làm như sau:

 Viết số hạng chứa x tương ứng với g(k) =  ; giải phương trình ta tìm được k Nếu k  N, k  n , hệ số phải tìm là ak; nếu

k  N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x, hệ số phải tìm bằng 0

n

g(k) k

k 0



 

( ) ( ) n

p x  f x

Bài tập tương tự

Khi khai triển nhị thức Newton của , hãy tính hệ số của số hạng chứa

Giải

Hệ thức

Phương trình trên có nghiệm n = -10 (loại), n = 15 (nhận)

Với n = 15, có

Ta được hệ số phải tìm là Đs: -6435

n 3

2

1

x



4! n 4 ! 2! n 2 ! 12 n 2 n 3

     



  1 C7 157  6435

Dạng 11B Tìm hệ số lớn nhất của đa thức

Bài tập mẫu

Hãy tìm hệ số cĩ giá trị lớn nhất của đa thức

Giải

ra Ta được a0 < a1 < a2 < a3 < a4 và a4 > a5 > … > a13

 13 0 13 1 12 13

Gi s P(x)¶ ư  2x 1 a x a x  a

    











13

13 n 13 n

13

n 0

n 13 n n 1 14 n

n 13 n 1 13

n 1 14 n n 13 n

n 1 n 13 13

Xét BPT (v i n s n):

®­ ỵ

4 9

V y :max(a ) aË  C 2 366080

Lưu ý:

Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b)m thành đa một thức, ta làm như sau:

Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT an-1  an với ẩn số n; hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT

trên

Bài tập tương tự

Hãy tìm hệ số cĩ giá trị lớn nhất của đa thức.

Giải

Xét BPT (với ẩn số n):

Do đĩ BĐT an-1  an đúng với n  {1; 2; 3;…; 10} và dấu đẳng thức khơng xảy ra Ta được a0 < a1 < a2 < … a10 và a10 > a11 > … a15.

 15 0 15 1 14 15

Gi s :P(x)¶ ư  x 2 a x a x  a

 

15

15 n 15 n n

15

n 0

n n n 1 n 1

n 15 n 1 15





 





®­ ỵ

 



n 1 n 1 n n

n 1 n 15 15

(n 1)!(16 n)! n!(15 n)!

10 10

n 10 13

V y : max(a ) aË  C 2 292864

Dạng 11C Chứng minh hệ thức tổ hợp

Bài tập mẫu

Chứng minh rằng

Giải

Dễ thấy hệ số của xn trong VT là:

hệ số của xn trong VP = (x + 1)2n là

ã

 0 2  1 2  2 2  n 2

C  C  C   C n

2n

C

 Lưu ý

• Xét đẳng thức (x + 1)n(1 + x)m = (x + 1)n+m Sử dụng nhị thức Newton

để viết cả hai vế thành đa thức đối với x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể viết ra nhiều hệ thức về tổ hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng