Nhị thức New ton

Nhị thức New ton - đại số tổ hợp

ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V

NHỊ THỨC NEWTON (phần 1)

Nhị thức Newton có dạng :

(a + b)n = C a0 nb0 + an-1b1 + … + a0bn

n C = n k n k k (n = 0, 1, 2, …)

n

k 0

C a b−

=

∑

Các hệ số của các lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, … được sắp thành từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal :

k n C

(a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 1

1

1

5

1

4

1

3 + 10

1

2

6

1

3

10

1

4

1

5

1

1

Các tính chất của tam giác Pascal :

(i) 0 = = 1 : các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1

n

n C (ii) k = (0 k n) : các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau

n

n

n

n

n 1

C + + ≤ ≤ n – 1) : tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng số hạng ở giữa 2 số hạng đó ở hàng dưới

(iv) 0 + … + = (1 + 1)n = 2n

n

n

n C

Các tính chất của nhị thức Newton :

(i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1

(ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n (iii) Số hạng thứ k + 1 là C ak n – k bk

n

Dạng 1:

TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

1 Khai triển (ax + b) n với a, b = ± 1, ± 2, ± 3 …

Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh được đẳng thức về 0 , …,

n

n

n

C Hai kết quả thường dùng

n

n

n

n

n

k 0

C x

=

∑

n

C – 1

n

n

n

n

k 0

( 1) C x

=

−

∑

• Ví dụ : Chứng minh a) 0 + … + = 2n

n

n

n C

n

n

n

n C

Giải

a) Viết lại đẳng thức (1) chọn x = 1 ta được điều phải chứng minh

b) Viết lại đẳng thức (2) chọn x = 1 ta được điều phải chứng minh

2 Tìm số hạng đứng trước x i (i đã cho) trong khai triển nhị thức Newton của

một biểu thức cho sẵn

• Ví dụ : Giả sử số hạng thứ k + 1 của (a + b)n là an – k bk Tính số hạng thứ 13 trong khai triển (3 – x)15

k n C

Giải

Ta có :

(3 – x)15 = 0 315 – 314x + … + 315 – k .(–x)k + … + – x15

15

15

15

15 C

Do k = 0 ứng với số hạng thứ nhất nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13

Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là :

3

12 15

C 3(–x)12 = 27x12 15!

12!3! = 12.285x

12

3 Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức (a + b) n

(a, b chứa x), ta làm như sau :

- Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :

an – k bk =cm xm

k n C

- Số hạng độc lập với x có tính chất : m = 0 và 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N Giải phương trình này ta được k = k0 Suy ra, số hạng độc lập với x là k 0

n

C an k − 0 bk0

• Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức

18

x 4

2 x

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :

18 k k

18

x C 2

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

k 4 x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

18

C 2 − 2 x − x− = k 3k 18 18 2k

18

Số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức có tính chất :

Vậy, số hạng cần tìm là : 9 29

18 C

4 Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức (a + b) n với a,

b chứa căn, ta làm như sau :

– Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :

= K

k n k k n

C a − b

m n

p q

c d với c, d ∈¤

– Số hạng hữu tỷ có tính chất : m

p ∈ N và n

q ∈ N và 0 ≤ k ≤ n, k N ∈ Giải hệ trên, ta tìm được k = k0 Suy ra số hạng cần tìm là :

k n k k n

• Ví dụ : Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhị thức ( )7

3

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :

7 k 1

7

C 16

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

k 1 2 3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ = k 7 k3 k2

7

− Số hạng hữu tỷ trong khai triển có tính chất :

7 k

N 3

k

N

2

0 k 7, k N

−

⎧ ∈

⎪

⎪

⎪ ∈

⎨

⎪

≤ ≤ ∈

⎪

⎪⎩

⇔

− =

⎧

⎪

⎨

⎪ ≤ ≤

⎩

7 k 3m

k chẵn

0 k 7

⇔

k 7 3m (m Z)

k chẵn

0 k 7

= − ∈

⎧

⎪

⎨

⎪ ≤ ≤

⎩

⇔ k = 4

Vậy, số hạng cần tìm là : 4 2

17

C 16.3

Bài 120 Khai triển (3x – 1)16

16

Đại học Bách khoa Hà Nội 1998

Giải

Ta có : (3x – 1)16 = 16 16 i i i

16

i 0

(3x) −( 1) C

=

−

∑

= 0 (3x)16 – (3x)15 + (3x)14 + … + 16

Chọn x = 1 ta được :

216 = 0 316 – 315 + 314 – … +

16

Bài 121 Chứng minh :

2 C +2 −C +2 − C + + C =3

3 C −3 − C +3 − C + + − ( 1) C =2

Giải

C x +C x − + + Cn

n

n

n

)

Chọn x = 2 ta được :

C 2 +C 2 − + + C

C x −C x − + + − ( 1) C Chọn x = 3 ta được :

3 C −3 − C +3 − C + + − ( 1) C

Bài 122 Chứng minh : n 1 k n 1 ;

n

−

−

=

n

=

Đại học Lâm nghiệp 2000

Giải

k 0

=

Chọn x = 1 ta được

k 0

=

n n

∑

2n =

1 C+ +C + + C − +1

2n – 2 =

n

k 1 C

−

=

∑

Trong biểu thức (*) chọn x = – 1 ta được 0 = n k k

n

k 0

C ( 1)

=

−

Bài 123 Chứng minh : 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n

Đại học Hàng hải 2000

Giải

Lấy (1) + (2) ta được :

Chọn x = 3 ta được :

2

C +C 3 + + C 32n

C +C 3 + + C 32n

Bài 124 Tìm hệ số đứng trước x5 trong khai triển biểu thức sau đây thành đa thức : f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7

Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998

Giải

Ta có : (2x + 1)4 = 4 i 4

4

i 0

C (2x) −i

=

5

i 0

C (2x) −i

=

∑

6

i 0

C (2x) −i

=

7

i 0

C (2x) −i

=

∑

Vậy số hạng chứa x5 của (2x + 1)4 là 0

số hạng chứa x5 của (2x + 1)5 là 0 5

5

C (2x) số hạng chứa x5 của (2x + 1)6 là 1 5

6

C (2x) số hạng chứa x5 của (2x + 1)7 là 2 5

7

C (2x)

5

C 2 C 216 5 C 227 5

Bài 125 Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

n 5 3

1 x x

⎜

⎞

⎟ +

+

biết rằng = 7(n + 3)

n 4 n 3

C ++ −C

Tuyển sinh Đại học khối A 2003

Giải

n 4 n 3

⇔

(n 4)! (n 3)!

3! n 1 ! 3!n!

−

⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42

⇔ (n2+ 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42

⇔ n = 12

Ta có :

36 i

3

1

x

− +

Yêu cầu bài toán ⇔ –36 + 11i

2 = 8 (với i ∈ N và 0 ≤ i 12) ≤

2 = 44 ⇔ i = 8 (thỏa điều kiện)

Vậy số hạng chứa x8 là

8

8 8 12

12!x

C x

8!4!

x

4 3 2

× × ×

Bài 126 Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2 + 1)n bằng 1024 Hãy tìm hệ số a

của số hạng ax12 trong khai triển đó

Đại học Sư phạm Hà Nội 2000

Giải

C (x ) +C (x ) − + + C (x ) − + + Cn Theo giả thiết bài toán, ta được

= 1024

C +C + + C + + Cn

n

2n = 1024 = 210

Để tìm hệ số a đứng trước x12 ta phải có

Vậy a = 4

10

C

× × ×

Bài 127 Tìm hệ số đứng trước x4 trong khai triển (1 + x + 3x2)10

Giải

Ta có :

(1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10

C +C x(1 3x) C x (1 3x)+ + + +C x (1 3x)+ +

C x (1 3x)+ + + C (1 3x)+

đó là :

10

10

C x (1 3x)+

10

C x (1 3x)+

= 405 + 1080 + 210 = 1695

Bài 128 Tìm hệ số của x8 trong khai triển [1 + x2(1 – x

Tuyển sinh Đại học khối A 2004

Giải

+

+

Vậy hệ số của x8 là : + = 238

Bài 129 Cho

)]8

Ta có :

C +C x (1 x) C x (1 x)− + −

8

8

C x (1 x)− đó là 3 6 2

8

C x 3x và 4

8

C x8 3 8

8 C n

x

x 1

3 2

2 2

+

⎝ ⎠ =

−

+ … +

x 1

⎝ ⎠

C 2 2 C 2

−

+

⎝ ⎠

Tuyển sinh Đại học khối A 2002

(điều kiện n

⎝ ⎠

Giải

⇔

( n! ) =5( n!)!

6

3! n 3 !− n 1−

n2 – 3n

(loại do n 3)

Ta có : a4 = 20n = 140

⇔

3

x 1

7

C 2 2

⎛ ⎞

2

⎜ ⎟

− = 140

2x – 2 = 22

Bài 130 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 1

x

Đại học Kinh tế Quốc dân 1997

Giải

Ta có :

12 1 x x

i

−

1 x Để số hạng không chứa x ta phải có

i

12 i 1

x

x

− ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ = x0 ⇔ x12 – 2i = x0 ⇔ 12 – 2i = 0 ⇔ i = 6

Vậy số hạng cần tìm là : 6

12

C

× × × × ×

Bài 131 Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển

7 3

4

1 x x

⎛ + ⎞

Tuyển sinh Đại học khối D 2004

Giải

Ta có :

7 3

4

1 x x

7

x x−

+

C (x ) +C (x ) (x− ) C (x )+ + −(x− ) + + C (x−14)7 Để tìm số hạng không chứa x ta phải có

Vậy số hạng không chứa x là C = 4

7

35

× ×

×

Bài 132 Trong khai triển

n 28

x x x−

⎛ +

⎜

⎞

⎟

9

hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết rằng Cnn + Cn 1n− + Cn 2n− = 7

Đại học sư phạm Hà Nội 2 năm 2000

Giải

Ta có : Cnn + Cn 1n− + Cn 2n− = 9 7

⇔

( n! ) ( n! )

n 1 ! 2! n 2 !

n n 1

2

−

n 2 + n – 156 = 0

Do n ∈ N nên n = 12

Ta có :

⎞

⎟

⎠

=

12 i

4 28

−

⎛ ⎞

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ 6 16i

5

Yêu cầu bài toán ⇔ 16 – 16i 0

5 = ⇔ i = 5 Vậy số hạng cần tìm 5

12

12!

5!7!

Bài 133. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ: ( )124

4

3− 5

Giải

124 k

124

124

k 0

−

=

⎛ ⎞

−

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

=

k k

k k 2 4 124

k 0

( 1) C 3 − .5

=

−

∑

Số hạng thứ k là hữu tỉ

2

k N

4

k N

0 k 124

⎧ − ∈

⎪

⎪

⎪ ∈

⎨

⎪

∈

⎪

⎪ ≤ ≤

⎩

⇔

≤ ≤

⎧

⎪

⎨ ∈

⎪⎩

0 k 124

k N 4

⇔

∈

⎧

⎪ ≤ ≤

⎨

⎪ =

⎩

i N

0 k 124

k 4i

⇔

i N

0 i 31

k 4i

∈

⎧

⎪ ≤ ≤

⎨

⎪ =

⎩

⇔ i ∈ {0,1, ,31}

Do đó trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ

Bài 134∗. Gọi a3n -3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của

(x2 + 1) n .(x + 2)n Tìm n để a3n-3 = 26n

Tuyển sinh Đại học khối D 2003

Giải

Ta có : ( x2 + 1 )n (x + 2)n =

n

i 2 n n

i 0

C (x ) −i

=

∑

n

k n k k n

k 0

C x − .2

=

∑

=

n n

i k k 3n 2i k

n n

i 0 k 0

C C 2 x − −

= =

∑ ∑

Do yêu cầu bài toán nên 3n – 3 = 3n – (2i + k)

⇒ 2i + k = 3

Do i, k ∈ N và i, k ∈ [0, n] nên i 0

k 3

=

⎧

⎨ =

k 1

=

⎧

⎨ =

⎩

n n

n n

C C 2

⇔

(n! )

3! n 3 !− + 2n2 = 26n

3n(n – 1)(n – 2) + 2n

2 = 26n

2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39

n = 5 n =

2

Bài 135* Trong khai triển

10

3 3

a0 + a1x + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) Hãy tìm số hạng ak lớn nhất

Đại học Sư phạm Hà Nội 2001

Giải

Ta có :

10

3 3

10

10

10 10

k 0

Do đó : ak = k k

10 10

3

a a

a a

1 1

− +

≥

⎧

⎨ ≥

k k k 1 k 1

k k k 1 k 1

⎪

⎨

≥

⎪⎩

k! 10 k ! (k 1)! 11 k !

k! 10 k ! (k 1)! 9 k !

−

+

⎧

≥

⎪

⎨

⎩ ⇔

k 11 k

10 k k 1

⎧ ≥

⎨

⎩

Do k ∈ N và k ∈ [0, 10] nên k = 7.Hiển nhiên ak tăng khi k ∈ [0, 7], và ak giảm khi k ∈ [7, 10]

Vậy max ak = a7 = 7 7

10 10

2 C

(còn tiếp)

PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG

(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn)