nhị thức Newton

• Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị.. Số chỉnh hợp là • k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó... Bài tập mẫuCó bao

Nhị thức Newton

Dạng 10 Công thức tổ hợp và nhị thức

Newton

Nội dung

 Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp

• Dạng 10 Công thức tổ hợp và nhị thức Newton

- Tóm tắt lý thuyết

- Dạng 10A Một số bài tập sử dụng công thức

- Dạng 10B Nhị thức Newton

- Dạng 10C Bài toán về tập hợp con

C C  C 



 

Tóm tắt lý thuyết

Trong bài này ta quy ước sử dụng kí hiệu n, k là các số tự nhiên với n  1;

k  n

Cho một tập hợp A gồm n phần tử

• Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị Số

hoán vị của n phần tử là Pn = n!

• k phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó Số chỉnh hợp là

• k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó Số tổ hợp là





k n

n!

n k !

k

n

A n!

C

k! k! n k !

 



Tóm tắt lý thuyết (tt)

• Công thức khai triển nhị thức Newton

• Các công thức thường dùng:

 

n

n

k 0











Dạng 10A Một số bài tập sử dụng công thức



C C C

Bài tập mẫu: Chứng minh rằng

Giải

a/ Áp dụng công thức

a / C 2C C C

b / C 3C 3C C C







 

        

         

    

C C C ta c :

C 2C C C C C C C C C

b / Ta c : C 3C 3C C C C 2 C C C C

C 2C C C C C

ã

ã

   

C C C C

Lưu ý:

 Các công thức sau đây rất hay gặp trong các bài tập về biến đổi theo công thức tổ hợp:

k k 1 k 1

k k 1 k 2 k 2







Bài tập tương tự

Rút gọn biểu thức

Giải

Áp dụng công thức và lưu ý:

 050  150  502  350   3550

S C C C C C

0 0

50 49

50 49 49 49 49 49 49 49

C C 1 Ta c

ã :



Bài tập tổng quát

Rút gọn biểu thức

Giải

Với k < n, áp dụng công thức và lưu ý , ta có

Lưu ý Nhiều bạn đã mắc sai lầm khi viết

Phải xét hai trường hợp đối với k như trong lời giải trên

S C  C C  C  ( 1) C V i k n,n 1  í  



0 0

n n 1



        

 

          

k k

S C C C C C ( 1) C C

V y S ( 1) C

N u k n th S C C C C ( 1) C (1 1) 0

Ë

Õ ×

S C  C C  C  ( 1) C   (1 1) 0 (!)



 

C C C

Dạng 10B Nhị thức Newton

Bài tập mẫu

Có bao nhiêu cách chia n đồ vật khác nhau cho hai người, sao cho mỗi

người được ít nhất một đồ vật

Giải

Giả sử người thứ nhất được k đồ vật, người thứ hai được n-k đồ vật Vì mỗi người được ít nhất một đồ vật nên 1 k  n - 1 Số cách chọn k trong n đồ vật khác nhau cho người thứ nhất là Cho k lần lượt nhận giá trị 1, 2, , n-1, theo quy tắc cộng, ta được số cách chia là

Đáp số: S = 2n - 2



 1n  2n  3n   n 1n   n    n 

k n

C

Lưu ý:

 Khi chia một tập hợp ra thành hai nhóm, ta chỉ cần tính số cách chia cho nhóm thứ nhất

 Số cách chia một tập hợp gồm n phần tử ra hai nhóm thì số cách chia là

 0n  1n  n2   nn   n  n

S C C C C 1 1 2

Bài tập tương tự

Tính số tập hợp con của một tập hợp gồm n phần tử

Giải

Số tập con của A có k phần tử là Cho k lần lượt nhận giá trị 0,1, 2, , n, theo quy tắc cộng, ta được số tập con là

Đáp số: S = 2n

Lưu ý Số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử là 2n

k n

C

 

 0n  1n  2n   nn   n   n

Dạng 10C Bài toán về tập hợp con

Bài tập mẫu

Cho tập hợp A = {0; 1; 2; …20} Có bao nhiêu tập hợp con của A mà trong đó có

ít nhất một số chia hết cho 3.

Giải

Gọi B là tập con của A gồm tất cả các số chia hết cho 3

Ta có B = {0; 3; 6; …; 18} Tập hợp A có 21 phần tử, tập B có 7 phần tử.

Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là thoả mãn bài toán.

Số tập con của A là 2 21 Số tập con của A mà không có phần tử nào của B là 2 14 Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là 2 21 – 2 14 =

2080768

Đáp số: Số tập con phải tính là 2 21 – 2 14 = 2080768

Lưu ý:

Cho tập hợp A có n phần tử, B là tập con của A có m phần tử

Số tập con của A mà mỗi tập con có ít nhất một phần tử của B là 2n – 2n-m

Bài tập tương tự

Cho tập hợp A cú 4n phần tử Tớnh số tập con của A, mà mỗi tập con đú gồm một số lẻ phần tử và cú khụng quỏ một nửa số phần tử của A

Giải

Số tập con của A gồm k phần tử là Theo giả thiết k là một số lẻ, khụng vượt quỏ 2n nờn k  {1 ; 3 ; 5 ; ; 2n -1} Cho k lần lượt nhận tất cả cỏc giỏ trị của tập hợp trờn và theo quy tắc cộng, ta được số tập con phải tỡm là:

k 4n

C







1 3 5 2n 1

4n 4n 4n 4n

k n k

n n

1 4n 1 3 4n 3 2n 1 2n 1 4n 4n 4n 4n 4n 4n

4n 1 4n 3 2n 1 4n 4n 4n

1 3 5 4n 1 4n 1 4n 2 4n 4n 4n 4n

S C C C C

d ng c ng th c: C C

Tac : C C , C C , , C C

Ta c :S C C C

Do : 2S C C C C 2 S 2

p s

ó

đư ợ

đó

Đá ố : S 2 4n 2

Áp