I Giới hạn dãy số
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2
lim 2
2 1 lim
n
+
3 2 3
lim
4
n
+ d) lim 4 2
( 1)(2 )( 1)
n
2 4
1 lim
n
+
4 2
3 2
lim
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim1 3
4 3
n n
+
1 4.3 7 lim
2.5 7
n n
n n
+
+
1 2
lim
5 8
n n
n n
+ d) lim2 5 1
1 5
n n
n
+
+
1 2.3 7 lim
5 2.7
n n
n n
1 2.3 6 lim
2 (3 5)
n n
n n+
−
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
2
lim
4 1
2 2
lim
2
+ − −
3
1 lim
1
+ +
2
4 1 2 lim
4 1
+ +
(2 1)( 3) lim
( 1)( 2)
2
lim
+ +
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) lim1.3 3.51 + 1 + +(2n 1)(21 n 1)÷
1.3 2.4 n n( 2)
c) lim 1 12 1 12 1 12
1.2 2.3 n n( 1)
e) lim1 2 2
3
n
+ + +
2 2
1 2 2 2 lim
1 3 3 3
n n
+ + + +
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim n2+2n n− −1÷ b) lim n2+ −n n2+2÷ c) lim 32n n− 3+ −n 1÷ d) lim 1 +n2− n4+3n+1÷
e) lim n( 2− −n n) f) lim n2 21 n2 4
2
lim
4 1
3
1 lim
1
2
lim
+ −
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a) lim2 cos2 2
1
n
2 ( 1) sin(3 ) lim
3 1
n n n n
2 2 cos lim
3 1
n
− + d) lim3sin6 25cos (2 1)
1
n
2 3 2 2
3sin ( 2) lim
2 3
n
+ +
2
lim (3cos 2)
+
Bài 7: Cho dãy số (u n ) với u n = 1 12 1 12 1 12
, với ∀ n ≥ 2.
Trang 2Bài 8: a) Chứng minh: 1 1 1
n n+ + +n n = n − n+ (∀n ∈ N
*)
b) Rút gọn: u n = 1 1 1
1 2 2 1 2 3 3 2+ + + + +n n+ + +1 (n 1) n.
c) Tìm lim u n
Bài 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1
1
1
1 ( 1) 2
u
=
a) Đặt v n = u n+1 – u n Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n b) Tính u n theo n c) Tìm lim u n
Bài 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 2
2 1
0; 1
2 n n n, ( 1)
a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1
2u n
− + , ∀n ≥ 1 b) Đặt vn = u n – 2
3 Tính v n theo n Từ đó tìm lim u n.
II Gi ới hạn c ủa hàm số:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
0
1
lim
1
x
x
→
2 1
lim
1
x
x
→−
+ −
2
sin
4 lim
x
x x
→
−
π
π
1
1 lim
3
x
x
→−
−
2 2
1 lim
1
x
x
→
− +
2 1
2 3 lim
1
x
x
→
+ g)
1
8 3 lim
2
x
x
x
→
+ −
3 2 2
lim
1
x
x
→
2 0
1 lim sin
2
x x
→
2
lim ( 5 1)
0
lim( 5 10 1)
2
1 sin 5cos lim
1 sin cos
x
π
→
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a) 32 2
1
1 lim
3 2
x
→
4
3 2 1
1 lim
2
x
x
+
→
−
5 3 1
1 lim
1
x
x x
→−
+ + d) 3 4 2 2
3
lim
x
→
5 6 2 1
lim
(1 )
x
x
→
1 lim
1
m n x
x x
→
−
− g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
→
1
lim
1
n x
x
→
4
3 2 2
16 lim
2
x
x
→−
− + k) 22
1
2 3 lim
x
→
3 0
(1 ) 1 lim
x
x x
→
1
1 lim
1
x
x
→
− + −
− n) 3 4 2 2
1
lim
x
→
3 2 2
2 4 lim
2
x
→−
3 2 3
3 3 lim
3
x
x x
→−
+
−
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2
4 1 3 lim
4
x
x x
→
+ −
3 3 1
1
4 4 2
x
x x
→
−
2 0
lim
x
x x
→
Trang 3d)
2
2 2 lim
7 3
x
x
x
→
+ −
lim
1
x
x
→
2
0 2
1 1 lim
16 4
x
x x
→
+ −
g) 3
0
lim
x
x x
→
+ −
3 2 lim
3
x
→−
lim
x
x
→
k)
2 2
4
lim
7 3
x
x x
→
−
5 lim
5
x
x x
→
−
2 lim
4 1 3
x
x
→
+ − o) lim 1 ( ) 1
0
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
0
lim
x
x
→
2 2
lim
3 2
x
→
3 0
lim
x
x
→
0
1 4 1 6
lim
x
x
→
2 2
lim
x
→
3
3 2 2 1
lim
1
x
x
→
− g)
0
1 4 1 6 1
lim
x
x
→
0
1 2 1 4 1 lim
x
x
→
0
1 1 lim
x
x
→
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 22 1
x
x
→+∞
+
2
lim
2
x
x
→±∞
− +
2
3 2
lim
x
x
→+∞
+
2
2 3 4 1 lim
4 1 2
x
→±∞
2 2
lim
x
→±∞
1 lim
1
x
x x
→+∞
+ + +
2
lim
5
x
→−∞
2 2
2 3 lim
x
→+∞
2 5 2 lim
x
x
→−∞
+
Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
a) xlim x2 x x
→+∞
2 lim 2 1 4 4 3
→+∞
3
→+∞
d) lim
→+∞
g) lim1 11 3 3
1
−
lim
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
15 lim
2
x
x
x
+
→
−
15 lim
2
x
x x
−
→
−
2 3
1 3 2 lim
3
x
x
+
→
−
2
4 lim
2
x
x x
+
→
−
2 lim
x
x
+
→
−
2 lim
x
x
−
→
−
Bài 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
Trang 4a) 3
2
x
khi x
+ −
b)
2
x khi x
x khi x
−
c)
2 3 4
8
2
x
x
>
−
−
−
d)
2 2
1
1 2
x
>
e)
2
2
2
1
khi x
f) f x( )= 5x−−5x tại x = 5
Bài 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
−
2 2
khi x
0
0 3
khi x x
≥
d) f x( )= +x x2 3m x m 3 khi x khi x< −11tại x= −1
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) lim01 sin 2 cos 2
1 sin 2 cos 2
x
→
2 0
1 cos 2 lim
sin
x
x
→
3
sin 3 lim
1 2cos
x
x x
π
d) 0 2
1 cos5 cos 7
lim
sin 11
x
x
→
−
e) lim0cos12 cos10
cos8 cos 6
x
→
−
2
sin 2
x
→
g) lim1 3 2
tan( 1)
x
x
→
+ −
− h) lim tan 2 tanx 4 4
π
π
→
2 0
cos sin 1 lim
1 1
x
x
→
+ −
98 1 cos3 cos5 cos 7 lim
x
x
→
sin(sin ) lim
x
x x
0
lim
sin
x
x
→
0
cos cos lim
sin
x
x
→
0
1 lim sin
x x
x
→
1- cosx cos2x lim
x q) lim 1 cos 2
0 1 cos
x
−
1 cos cos 2
−
→ − + z) lim 1 x tgx 1( ) x 2;( )
2
→
π
−
π
III Hàm số liên tục:
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
khi x
+
b)
1
4
x
khi x
≠
−
c)
2 3 2
khi x
d)
2
Trang 5e) f x( )= −1 cosx 1x khi x khi x≤00 tại x=0
Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) f x( )=2x mx2 3 khi x khi x<11 tại x=1
3 2 2 2 1
− + −
0 6
( 3)
3
x x
− −
−
=
d)
2
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
=
b)
c)
khi x
= +
d)
khi x
≠
= −
Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)
2
b)
c)
− + −
d) f x( )= 2x2mx−3 khi x khi x<≥11
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3−3x+ =1 0 b) x3+6x2+9x+ =1 0 c) 2x+6 13 − =x 3
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x5−3x+ =3 0 b) x5+ − =x 1 0 c) x4+x3−3x2+ + =x 1 0
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x5−5x3+4x− =1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2)
Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x( −1) (3 x− +2) 2x− =3 0 b) x4+mx2−2mx− =2 0
c) (a x b x c b x c x a c x a x b− )( − +) ( − )( − +) ( − )( − =) 0 d) (1−m x2)( +1)3+x2− − =x 3 0 e) cosx m+ cos2x=0 f) (2cosm x− 2) 2sin 5= x+1
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax2+bx c+ =0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2+bx c+ =0 với a + 2b + 5c = 0
Trang 6Bài 10: Chứng minh rằng phương trình: ax2+bx c+ =0 luôn có nghiệm x ∈ 0;13 với a ≠ 0 và 2a + 6b + 19c = 0