on tap gioi han

Lời nói đầuTrong chơng trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của giới hạn là một phần rất quan trọng mà thờng xuyên học sinh phải sử dụng.. Nhng trong đề thi đại học

Lời nói đầu

Trong chơng trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của

giới hạn là một phần rất quan trọng mà thờng xuyên học sinh phải sử dụng

Tuy nhiên giới hạn dãy số thờng khó với học sinh khá và học sinh trung bình

Nhng trong đề thi đại học thờng chỉ có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên khi các em gặp thờng các em làm khá tốt

Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích đa ra các phơng pháp tính giới hạn

cơ bản và thờng đợc sử dụng rộng dãi nhất ; để các thầy cô và các em có thể

tham khảo và cũng là góp ý cho tác giả

Rất mong quý thầy cô và các em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện hơn

Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản

Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số

III/ Giới hạn dạng:  1

iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit

V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN

Phần iII : ứng dụng của giới hạn

A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số:

B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục

Phần iV Giới thiệu một số đề thi

Phần I giới hạn của dãy số.

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) Định nghĩa

Dãy số  u có giới hạn là a nếu với mọi số dơng  cho trớc n

( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì u n  a  Ta viết limn u n a

   hoặc viết limu n a

2 Các định lý.

+) Định lý 1

Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn

+) Định lý 2 Các phép toán trên các giới hạn của dãy số

v nu nw n với n  N*và v w n a

n n

2 1

B - Giới hạn dãy số

Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản

Phơng pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp

+) Sử dụng các định lý về giới hạn

+) Sử dụng các tổng cơ bản

Lu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học

thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính các bài toán bám sát đề thi

đại học và thờng sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn

n n n

+) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số

Để xác định số hạng tổng quát ta thờng sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phơng

pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phơng trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút

gọn đơn giản

Cho dãy số (un) xác định bởi:

1 1

1

15

15

u u    

 .Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:

Gi¶i Ta cã d·y sè  u chÝnh lµ d·y n n 2 2 2 2

12009

22009

n n

1 2

2 1

n n

u

u u

1 0

n n x x

n x

3 2

1 2

3

1 1 )(

2

1 1 (

Phần ii : Giới hạn hàm số

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm aK Ta nói hàm số

f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số

  x n x nK x, n   a n N* sao cho khi limx n  thì a lim f x n L

Định lý 2:Nếu hàm số cú giới hạn thỡ giới hạn đú là duy nhất

Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cựng xỏc định trong khoảng K chứa a và

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lxa xa  thỡ lim f (x) Lx a

ax a x

 

2 2

¬ng ph¸p : Trong ph¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ híng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph¬ng

ph¸p sö dông c¸c c«ng thøc lîng gi¸c ; thªm bít ;nhuÇn nhuyÔn ; ®ua vÒ d¹ng (*)

VÝ dô 1 T×m c¸c giíi h¹n sau :

Gi¶i : Ta cã

2 2

( Cã thÓ nh©n liªn hîp víi 1+cosx )

VÝ dô 2 T×m c¸c giíi h¹n sau : 2

0

cos coslim

1 coslim

x

x A

x







1 cos3 cos cos 2

1 cos (1 cos 2 )coslim

VÝ dô 4 T×m giíi h¹n sau :

2 2

4lim

cos4

x

x D

1 2cos

x

x E

1 cos x 1 1 sin x cosx xcosx x

x xsin 2x 2 1 sin x cos x 2sin xcos

2 sin(x 1) sin x cosx

1

x

x x

¬ng ph¸p : Trong ph¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ híng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph¬ng

ph¸p sö dông c¸c biÓu thøc liªn hîp ; thªm bít nh©n liªn hîp chøa c¨n bËc 2;3 lµ chñ yÕu (cã thÓ lµm b»ng c¸ch kh¸c)

VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau : 2

1 cos

x

x x





 0

1 cos23/ lim

1 cos

x

x x







2 1

sin5/ lim

2

x

x x

sin sin 2

x

x x

¬ng ph¸p : Trong ph¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ híng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph¬ng

ph¸p sö dông c¸c biÕn phô

VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau :

1

cos2lim

1

x

x A

sin2

2) NÕu A 1 vµ B  th× ta cã ngay kÕt qu¶

x

x

x A

coslimcos2

x x

x B

cos cos 2 cos 2

2sin

1 2 cos sin

e x

coslim

x x

VÝ dô 5 T×m giíi h¹n : lim0ln cos  ; 0

a E b

x 0

x 2

8) x

2

Bài toán: Tính giới hạn  

0 , rồi ta áp dụng 1 trong 3 dạng trên.

Để tính giới hạn cụ thể ta làm các bớc sau :

B1/ Xét hàm số  f x phù hợp với biểu thức bài toán

B2/ Tính  f a =? Và  f x ' ? Và  f a ' ?

B3/ Viết biểu thức theo công thức tính đạo hàm.

B4/ Kết quả

2)Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 : Tính giới hạn sau

( ) (0) '(0)0

x

f x f

f x

VÝ dô 4: TÝnh giíi h¹n

0

1 sin 1lim

x

x D

x





Gi¶i:

XÐt f x   1 sin x  vµ f(0)=0 ; f’(x)=1 cos

2 1 sin

x x

 f’(0)=1/2 ¸p dông c«ng thøc ' 0  lim0    0

VÝ dô 6: TÝnh giíi h¹n  

2

2 0

lim

1

x x

F x

5 3lim

x x

x D



 



2)

2

3 2 0

1 cos3lim

Phần iII : ứng dụng của giới hạn

A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số:

 Tiệm cận ngang, xiờn:

+ Deg(P(x)) < Deg (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0+ Deg(P(x)) = Deg(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của

x

x x x

2 lim

1

x

x x

Giải :Gọi tiệm cân xiên là y=ax+b

+) Tiệm cận xiên bên phải :

Vậy tiệm cận xiên bên phải là y=2x-2

+) Tiệm cận xiên bên trái

Bài 3 Xác định m để đồ thị hàm số: 2 3 2

x y

a Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm A (4;  3)

b Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol y  x2 tại hai điểm phân biệt

B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục

*Hàm số f(x) gọi là liờn tục trờn đoạn [a;b] nếu nú liờn tục trờn khoảng [a;b]

và x alim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)x b

nhất một số c  (a;b) sao cho f(c) = 0

Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0

thỡ phương trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm trờn khoảng (a;b)

1) Ph ơng pháp

+) Sử dụng định nghĩa và các định lý

+) Tại x0 mà f(x) không liên tục gọi là gián đoạn nếu vi phạm một trong các

điều kiện sau :

11

2x

1

x khi 4 x 3

x 2

tại xo = 1 3.Tỡm a để cỏc hàm số sau liờn tục tại x0

4 Chứng minh rằng cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm:

a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0

c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0

5 Chứng minh rằng phương trỡnh

a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cú 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)

b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cú 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)

Lời tác giả: Giới hạn là phần rất quan trọng trong toán phổ thông nên nó có rất nhiều các

ứng dụng trong các lĩnh vực toán học cũng nh các môn học khác (Tính đạo hàm ; tính tích phân bằng định nghĩa ; hay trong vật lý ….) Song do thời lợng của chuyên đề tác giả chỉ đa

ra hai ứng dụng quan trọng trên rất mong sự góp ý ; trao đổi bổ xung của các thầy cô giáo và các em học sinh để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn

Phần iV Giới thiệu một số đề thi

Lời tác giả:Trong phần này tôi xin đa ra một số đề thi năm trớc và các cách giải khác

nhau để các thầy cô và các em tham khảo

Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau

2 3

2 0

1lim

ln 1

x x

2 3

x x

y y

1 2cos

x

x E

1 2cos

x

x E

1 2cos

3

x

x x E

x x

Chuyên đề này còn tiếp tục đợc bổ sung và sửa chữa

Chuyên đề có thể cha đầy đủ và còn những sai sót trong quá trình làm nên rất mong sự trao

đổi góp ý của các thầy cô và các em học sinh

Tác giả

Hoàng quý