ôn tập giới han, tích phân, hàm số, hình học 11

ôn tập giới han, tích phân, hàm số, hình học 11 tham khảo

TÀI LIỆU DẠY PHỤ ĐẠO

MÔN TOÁN KHỐI 11

NĂM HỌC 2016-2017

Chương 4.GIỚI HẠN Chủ đề 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

Đặt u n( )=u n và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

( )u n là cấp số cộng khi và chỉ khi u n+1=u n+d với *

|u | có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nếu u n ≤v n,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0

lim u lim v

lim u lim v

6) Cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân ( )u n có công bội thỏa |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: n u

2 2

2n 2 n 8lim

n 3 n 7 3) →+∞

− +

3 2 n

2n 5n 1lim

n n n

n 1 n 1

n n n

4n 1 (2n 1)lim

= Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì 1

=+ Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì

11000

< thì phải kể từ số hạng thứ mấy trờ đi?

A Không có số hạng nào thỏa mãn B Thứ 101

Caâu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim1 n

n

+ bằng:

lim

3

n n n

+ bằng:

Caâu 20: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

2 2

1 3lim4

n n

Caâu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim( n− n+1) bằng:

A Không có giới hạn khi n→ +∞ B 1−

Caâu 22: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

A

2 2

3

1

n n n

Caâu 23: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

A limsin n

n

π không có giới hạn khi n→ +∞ B

Caâu 24: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

D Cả ba kết quả trên đều sai

Caâu 25: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

A lim 1 4 2 1

1 2

n n

n n

π

=

Caâu 29: Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây lim 7 2

n n

−+ bằng:

A 1

C Không có giới hạn khi n→ +∞ D 0

Caâu 30: Kết quả nào sau đây là đúng?

A Cấp số nhân lùi vô hạn ( )u n có công bội q thì tổng

1

u S

Caâu 32: Cho cấp số nhân ( )u n lùi vô hạn, có u1= −1; q=x với x <1 Tìm tổng S và 3 số hạng đầu

cảu cấp số này Chọn kết quả đúng:

Caâu 33: Cho cấp số nhân ( )u n lùi vô hạn, có u1= −x q; =x2 với x <1 Tìm tổng S và 3 số hạng

đầu cảu cấp số này Chọn kết quả đúng:

1

x S

Chủ đề 2

GIỚI HẠN HÀM SỐ Khi tính giới hạn của một hàm số, ta có thể gặp 1 trong 4 dạng vô định sau (bài toán không cho kết quả trực tiếp), đó là: ; ; ; 0.0

→±∞ với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp

2 Dạng vô định ∞∞∞ – ∞∞∞ : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn

Caâu 37: Tìm các giới hạn sau:

1)

3 2 2 1

1lim

5 3 1

1lim

1

x

x x

Caâu 38: Tính các giới hạn sau:

1)

→

−3 1

3lim

1 2lim

3

x

x x

16lim

4

x

x x

2

x

x x

2

x

x x

2

28

16

22

x x

khi x x

x

khi x x

Caâu 42: Tìm giới hạn của các hàm số tại điểm được chỉ ra:

a)

29

3

x khi x

11

12

x x

khi x x

→+∞ = − với 1

x x

x

x x

−

→

=

Caâu 59: Cho hàm số ( )

( )

cos1

x

f x

x

π π

=+ Chọn kết quả đúng?

A

( )1

π π

( )1

π π

9lim

5lim

25

x

x x

2 Hàm số liên tục trên một khoảng khi hàm số y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] khi hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và

4 • Hàm số đa thức liên tục trên R

• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0 Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0

• Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0

6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = 0

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

1

14

x

khi x x

2

11

( )

4

13

x x

khi x x

=+ liên tục trên toàn bộ tập ℝ

C Hàm số 24

1

x y

x

−

=+ liên tục trên toàn bộ tập ℝ

D Hàm số y=sinx liên tục trên toàn bộ tập ℝ

Caâu 74: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Hàm số y= x− liên tục tại mọi 1 x thuộc tập ℝ

B Hàm số y=cosx liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

C Hàm số 2

1

y= x + liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ khác 1−

D Hàm số y=tanx liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

Caâu 75: Kết quả nào sau đây đúng?

A Hàm số y=tanx liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

B Hàm số y=tanx liên tục tại mọi x khác kπ (k∈Z)

C Hàm số y=tanx liên tục tại mọi x khác ( )

ππ

D Hàm số y=cotx liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

Caâu 76: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

−

=+ liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

f x

x x

 Kết quả nào sau đây là sai?

A y=ax+ liên tục với mọi 2 x≥1

B Tại x=1 hàm số liên tục với a= −3

C Với x<1, ta có ( ) 2

2

f x =x − nên hàm số liên tục

D Hàm số liên tục tại x=1 với mọi a thuộc ℝ

Caâu 85: Với hàm số cho ở câu 84 Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

C Hàm liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

D Phải gán cho f( )4 =8 thì hàm mới liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ

Caâu 89: Cho hàm số ( ) cos2 1

 Kết quả nào sau đây là đúng?

A a=1 B a= −1 C Mọi a thuộc ℝ D Không có giá trị nào của a

Caâu 90: Cho hàm số ( ) cos2 1

f x = x + x− Kết quả nào dưới đây là sai?

A Phương trình f x( )=0 có ít nhất một nghiệm trong (−1;1)

B Phương trình f x( )=0 có ít nhất một nghiệm trong (0;1)

C Phương trình f x( )=0 vô nghiệm trong (0;1)

D Phương trình f x( )=0 có nhiều nhất là 3 nghiệm

Caâu 92: Chọn khẳng định đúng dưới đây.

+ Kết quả nào sau đây là đúng?

A Hàm số có tập xác định với mọi x thuộc ℝ

y= f x =x +x − Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đã cho liên tục trong ℝ

B Phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2)

C Ta có f ( ) ( )−2 f 2 >0 nên phương trình vô nghiệm trên khoảng (−2; 2)

D Phương trình 4 2

2 0

x +x − = có tối đa 4 nghiệm trong ℝ

Caâu 95: Cho phương trình 4

− − Kết quả nào sau đây sai?

A TXĐ của hàm số: D= −∞ − ∪ −( , 1) ( 1, 5) (∪ 5,+∞) B Hàm liên tục tại x=2

C Hàm không liên tục tại x= −5 D Hàm liên tục tại mọi x thuộc tập xác định

Caâu 97: Cho hàm số

( 1) 3

x y

=

− − .Chọn kết quả sai.

A Hàm không liên tục tại x=1,x= 3 B Hàm liên tục tại x=4

C Hàm liên tục tại x=0 D Hàm liên tục tại mọi x∈ −∞( ,1) ( )∪ 1, 3

ĐẠO HÀM

VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

I Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a b; ) và điểm x0∈(a b; )

Đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x0, ký hiệu là: y x'( )0 = f '( )x0 , được tính bằng công thức:

0

0 0

( )

( ) ( )0

π π

2

x y

π π

' 2

u

=(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = – sinx (tanx)’ = 12

cos x

(cotx)’ = – 12

sin x

(sinu)’ = cosu u’

(cosu)’ = – sinu u’

x

+

7 2

=+ là kết quả nào sau đây?

A

( )

2 2

'

1

x x y

1 6'

1

x y

x y

1 2

x y

1 2

x y

1 2'

2 1 2

x y

2'

2 1 2

x y

x y

4'

1 2

x y

x y x

−

=+ có đạo hàm là kết quả nào sau đây?

A

2

2'

1

x y

1

x y

= − thì 'y là kết quả nào sau đây?

Caâu 128: Với hàm số y=2x3−3x2 −5 có 'y = thì 0 x nhận giá trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B x=0 hoặc x=1

Caâu 129: Với hàm số y=4x− x có 'y = thì 0 x nhận giá trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B 1

y= x + , để 'y ≥ thì 0 x nhận các giá trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B (−∞, 0 ]

Caâu 134: Cho hàm số 2

y= x + ; ' 0y ≤ khi x nhận các giá trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B (−∞, 0 )

Caâu 135: Cho hàm số 3

1

y x

xxy

2xy

)x1(

x2xy

)x1(

x2xy

)x1(

xxy

x1

−

Đạo hàm của hàm số f(x) là:

A

3 /

)x1(

)x1(2)x

)x1(x

)x1(2)x(f

)x1(x

)x1(2)x

)x1(2)x(

Caâu 142: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x

=

−d) 1 sin

1 sin

x y

x y

=

sinx cossin cos

x y

32

= thì f '( )x <0 khi x nhận các giá trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B Mọi x

Caâu 152: Với ( )

2 2

11

Caâu 153: Với ( )

2

1 31

Caâu 160: Hàm số y=sin 3x−cos 2x có đạo hàm là:

A ' 3cos3y = x+sin 2x B ' 3cos3y = x−2 sin 2x

C ' 3cos3y = x+2 sin 2x D ' 3cos3y = x+2 cos 2x

y= x có đạo hàm là:

A. ' 2 2

sin

x y

y y

ππ

x

y= thì nghiệm của phương trình 'y = là:0

Caâu 173: Cho hàm số y=sin sin( x) vi phân của hàm số tại x là:

A.dy=cos sin( x dx) B.dy=sin cos( x dx)

C.dy=cos sin( x).cosxdx D dy=cos sin( x).sinxdx

Caâu 174: Cho hàm số y=tan x vi phân của hàm số tại x là:

y= x vi phân của hàm số tại x là:

A.dy=4 cos 2 sin 2x xdx B.dy=2 cos 2 sin 2x xdx

C.dy= −4 cos 2 sin 2x xdx D dy= −2 cos 2 sin 2x xdx

Caâu 176: Cho hàm số

2 2

11

x y x

−

=+ vi phân của hàm số tại x là:

A.

( 2)2

41

C.

( 2)2

1

dx dy

x

−

=+

 Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. f ' 0( )+ = 1 B. f ' 0( )− = 1 C.df ( )0 =dx D Hàm số không có vi phân tại x= 0

Caâu 179: Cho hàm số y =

2

11

x x x

+ +

− Vi phân của hàm số là:

A

2 2

1( 1)

2'' 1 0

x y x

Caâu 184: Giải phương trình f '( )x = với: 0

a) ( )f x =3cosx−4 sinx+5x b) ( )f x =cosx+ 3 sinx+2x− 1

=+ , dự đoán công thức ( )n ( )

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIÊP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

1) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C) có dạng: y = f’(x 0 ).(x – x 0 ) + y 0

Trong đó: x0: gọi là hoành độ tiếp điểm

y0: gọi là tung độ tiếp điểm

f’(x 0 ) = k : gọi là hệ số góc của tiếp tuyến

Chú ý: Đường thẳng (d): y = ax + b là tiếp tuyến của (C)

khi và chỉ khi hệ phương trình ( )

2) Các Bài toán liên quan: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – x 0 ) + y 0

• Bài toán 1: Cho biết hoành độ tiếp điểm x0

+ Tìm y0 và hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0)

+ Phương trình tiếp tuyến

• Bài toán 2: Cho biết hệ số góc tiếp tuyến k = a

+ Tìm hoành độ tiếp điểm x0 bằng cách cho f’(x0) = a

+ Tìm tung độ tiếp điểm y0

+ Viết pttt

• Bài toán 3: Cho biết tung độ tiếp điểm y0

+ Tìm hoành độ tiếp điểm x0 bằng cách cho f(x0) = y0

+ Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0)

+ Viết pttt

Chú ý:

i) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau (a1=a2)

ii) Hai đường thẳng vuông góc có tích hai hệ số góc bằng 1− 2

1

1

a a

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d x: −3y− =6 0

Caâu 198: Cho hàm số y =

1

2 +

x

x

có đồ thị (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x= −2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆:y=4x−2017

Caâu 199: Cho hàm số y = x 4

– 2x 2 – 3 có đồ thị (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x= 2.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng –3

Caâu 200: Cho hàm số y =

2

5 3 2

y= f x = + ; phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M

có hoành độ x0 = −2 là kết quả nào sau đây?

=+ tại M(− −1; 1) là:

Caâu 211: Tiếp tuyến của ( )

3

32:

C tại điểm có hoành độ bằng -2 có hệ số góc bằng :

62:

C tại điểm có tung độ bằng 4 là :

12:

C Tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng

( )d :y=−6x+2017 có phương trình là :

A y=−6x+47; y=−6x+17 B y=−6x+10; y=−6x+17

C y=−6x+45; y=−6x+12 D y=−6x+35; y=−6x+30

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO BÀI TOÁN VẬT LÝ

Caâu 217: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động 1 2

2

S= gt , trong đó 2

9, 8m/s

g= và t tính bằng giây ( )s Vận tốc của vật tại thời điểm t= 5s bằng:

Caâu 218: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 1( 4 2)

3 2

S= t − t , trong đó t tính bằng giây ( )s và S được tính bằng mét ( )m Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= 4s bằng:

Caâu 219: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình 3 2

S=t − t + t, trong đó t tính bằng giây ( )s và S được tính bằng mét ( )m Gia tốc của chất điểm lúc t= 2s bằng:

Khi đó: ∃! m, n, p ∈R: x m a n b p c

3 Tích vô hướng của hai vectơ

CT 6) Góc giữa hai vectơ trong không gian:

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a≠0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d

2 Góc giữa hai đường thẳng:

• a′//a, b′//b ⇒ (a b, ) (= a b', '); • Nếu a//b hoặc a ≡ b thì ( ) 0

Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại / / ( )

/ /( );

Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) ((P)không chứa a) cùng vuông góc với một đường thẳng thì

chúng song song với nhau / /( )

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho

trước Như vậy, mọi đường thẳng đi qua A và vuông góc với a đều nằm trong mp này

Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với một mp cho trước

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn

thẳng Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một mp trung trực, đó là mp vuông góc với đoạn thẳng tại

trung điểm của đoạn thẳng

B BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 222: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF

a) Chứng minh: IA IB IC ID+ + + =0

b) Chứng minh: MA MB MC MD+ + + =4MI, với M tuỳ ý

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho: MA+MB MC+ +MD nhỏ nhất

Câu 223: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M sao

cho MS= −2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 1

Câu 224: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE,

CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH

a) Chứng minh ba vectơ MN FH PQ đồng phẳng., ,

b) CM ba vectơ IL JK AH, , đồng phẳng HD: a) MN FH PQ cĩ giá cùng song song với (ABCD) , ,

b) IL JK AH, , cĩ giá cùng song song với (BDG)

Câu 225: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.

a) Xác định gĩc giữa các cặp vectơ: AB và A C , ' ' AB và A D , ' ' AC và BD '

b) Tính các tích vơ hướng của các cặp vectơ: AB và A C , ' ' AB và A D , ' ' AC và BD '

Câu 226: Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ SA = SB = SC và ASB BSC CSA= = Chứng minh rằng

SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB HD: Chứng minh SA BC = 0

Câu 227: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD.

a) Chứng minh AO vuơng gĩc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính gĩc giữa AC và BM

Câu 228: Cho hình chĩp SABCD, cĩ đáy là hình vuơng tâm O SA ⊥ (ABCD)

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB, SC, SD

a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b) CMR: AH, AK cùng vuơng gĩc với SC

Từ đĩ suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng

c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ đĩ suy ra HK ⊥ AI

Câu 229: Cho hình chĩp SABCD, cĩ đáy hình vuơng cạnh a, mặt bên SBC vuơng tại

B, mặt bên SCD vuơng tại D cĩ SD = a 5

a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) và tính SA

b) Đường thẳng qua A và vuơng gĩc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là hình chiếu của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ)

c) CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD) Tính diện tích tứ giác AKHL

Câu 230: Cho tứ diện SABC, cĩ đáy là tam giác đều cạnh a; SA ⊥ (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng (P)

qua B và vuơng gĩc với SC Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này

Câu 231: Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B; SA ⊥ (ABC).

a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC

Câu 232: Cho hình chĩp SABCD, cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC CMR: IJ ⊥ (SBD)

Câu 233: Cho tứ diện ABCD cĩ ABC và DBC là 2 tam giác đều Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: BC ⊥ (AID)

b) Vẽ đường cao AH của ∆AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)