Bài giảng phương pháp tính

Giả sử ta có hàm một biến y  f x  mà f x không thể cho dưới dạng biểu thức  giải tích, nhưng bằng cách nào khác ta có thể nhận được các giá trị của y tại các giá trị khác nhau của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

-

BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HUỲNH HỮU DINH

Email: hhdinh19@gmail.com

TP HỒ CHÍ MINH 9/2012

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

 

f x là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình (*) cũng không thật sự

cần thiết Do đó, chúng ta cần quan tâm đến những phương pháp giải gần đúng, nhất là những phương pháp có thể dùng máy tính hỗ trợ

Để giải gần đúng phương trình (*), ta tiến hành các bước sau:

Thứ nhất là tách nghiệm, nghĩa là tìm một khoảng a b đủ nhỏ sao cho phương trình (*) có ; nghiệm duy nhất x*a b; 

Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến độ chính xác cần thiết

Cơ sở để tách nghiệm là những kết quả mà bạn có thể bắt gặp ở bất kì cuốn sách Giải tích nào

Định lí 1.1.1 Giả sử f x liên tục trên   a b và ;  f a f b  Khi đó phương trình     0

f x  tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng a b ; 

Định lí 1.1.2 Nếu f x liên tục trên   a b và ;  f a f b  , hơn nữa, hàm số     0 f x có đạo  

hàm f x  liên tục trên đoạn a b và ;  f x  không đổi dấu trên a b thì nghiệm nói trên là duy ; 

nhất

Hình 1.1.1 Hình 1.1.2

Các hình 1.1.1 và 1.1.2 cho ta một cách nhìn trực giác về tính đúng đắn của định lí 1.1.2

Bước tách (li) nghiệm thường được tiến hành nhờ phương pháp chia đôi hoặc phương pháp đồ thị

Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau:

Xác định f a f b  , sau đó chia đôi đoạn     0 a b và gọi ;  a b là một trong hai nữa ở trên 1; 1

sao cho f a f b  Lại chia đôi đoạn    1 1 0 a b và gọi 1; 1 a b là một trong hai đoạn con mà 2; 2

Từ hình vẽ ta nhận thấy phương trình trên có một

khoảng li nghiệm là khoảng 2, 2;2, 4 

Ví dụ 1.1.2: Xét phương trình x2 cos x Ta vẽ

đồ thị của hai hàm số y x2 và y  cos x Từ hình vẽ

ta nhận thấy phương trình x2  cos x có hai khoảng li

Ví dụ 1.1.3: Tìm các khoảng li nghiệm của phương trình arctan2x   2 x x2  bằng 0phương pháp đồ thị

Giải

Phương trình đã cho tương đương với arctan2x 2 x2  x

Ta vẽ đồ thị hai hàm số y  arctan2x (đường màu đỏ) và 2 y x2 (đường màu x

xanh) Từ hình vẽ ta tìm được hai khoảng li nghiệm của phương trình là  1; 0, 5 và 1, 5;2 

Hình 1.1.5

Sau khi đã tách được nghiệm thì công việc tiếp theo là chính xác hóa nghiệm đến độ chính xác cần thiết Để thực hiện bước này, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: phương pháp lặp, phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến, phương pháp Muller,…Tất cả phương pháp được nêu chúng ta đều có thể lập trình bằng ngôn ngữ Maple

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

Tiếp theo, ta tìm hiểu một số điều kiện để dãy  x n n 0, hội tụ

Định lí 1.2.1 Giả sử hàm số y  x khả vi liên tục trên a b và với mọi ;  x a b;  thì

Nhận xét 1.2.1: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước

tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy  x n n 0, vẫn hội tụ đến x , tất nhiên chỉ một vài *bước sai và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn

yx

 

y x

Ta mô phỏng nhận xét này bằng hình vẽ như sau

Hình 1.2.2

Nhận xét 1.2.2: Một tính chất đặc biệt của phương pháp lặp là có thể đánh giá ngay từ đầu số

bước lặp mà ta cần phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu Thật vậy, từ biểu thức

*1

n n

kí hiệu   chỉ phần nguyên trên của số  Ví dụ 2, 6   3; 4,1  5; 2,1   2

Nhận xét 1.2.3: Trên đây ta nhắc đến việc chuyển từ (*) sang dạng tương đương (**) sao cho

điều kiện  x    L 1, x a b;  được thỏa mãn Về vấn đề này có mấy nhận xét sau:

Giả sử 0m  f x M (với trường hợp M f x m  ta làm tương tự) 0 Ta có thể chuyển từ (*) sang dạng tương đương sau:

M

  (***) Ta thấy rằng

Tóm tắt thuật toán tìm nghiệm gần đúng phương trình (1) với khoảng li nghiệm a b ; 

bằng phương pháp lặp

Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng x  x với  x L  với mọi 1 x a b; 

Bước 2: Xây dựng dãy  x n n 0, thông qua các hệ thức

x0 a b;  (thông thường ta lấy x là trung điểm của đoạn 0 a b ) ; 

12, 60269012.61026812.61082412.610865

x x x x

Chọn x 0 0, 75 Ta xây dựng dãy lặp theo công thức 1  

19 20

0, 705667

0, 675065

0, 619079

0, 619072

x x

x x







Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x Ta có 20

Ta có f x 2 cos 2x4 sin 2x x2x Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm 2

số y  f x  Có nhiều phương pháp để tìm các giá trị này, ở đây ta dùng phương pháp đồ thị với sự

3, 717656

3, 721257

3, 721950

x x x

Bài 3 PHƯƠNG PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN)

Trong mục này, ta xét lại phương trình f x    0

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng a b , đồng ; 

thời f x f x ,   liên tục và không đổi dấu trên đoạn a b Khi đó, với ;  x là xấp xỉ ban đầu được 0

chọn, ta xây dựng dãy  x n n 0, theo công thức  

f x f x  liên tục và không đổi đấu trên đoạn a b , với ;  x0 a b;  sao cho f x f   0  x0  0

( x ,được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một trong hai đầu mút a hoặc b) Khi đó dãy 0

 x n n 0, xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm * x của phương trình f x  và ta có ước lượng   0

Tóm tắt thuật toán tìm nghiệm gần đúng phương trình f x  với khoảng li nghiệm   0

a b bằng phương pháp tiếp tuyến ; 

Bước 1: Chứng tỏ f x f ,  x không đổi dấu trên a b ; 

Bước 2: Xây dựng dãy  x n n 0, như sau

Nếu f a f a    thì chọn 0 x0  , ngược lại chọn a x0  b







Tiếp theo ta đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x Ta có 4

Ví dụ 1.3.2: Giả sử bạn vay một người bạn 100 (triệu VND) với thỏa thuận là sẽ trả cho anh

ta trong 5 năm, mỗi năm một lần, các khoản tiền 21, 22,23, 24, 25 Lợi suất R của dòng tiền tệ này 

là nghiệm thực (duy nhất) của phương trình

2 3 4 5 6 7

1, 3645601,178500

x x

Ví dụ 1.3.3: Xây dựng một thuật toán tính gần đúng số a , với sai số  tùy ý cho trước,

trong đó a không là bình phương của một số hữu tỉ nào

Giải

Ta xây dựng thuật toán cho trường hợp a  , trường hợp tổng quát làm tương tự 2

Ta thấy 2 là nghiệm dương duy nhất của phương trình x   2 2 0

Phương trình trên có khoảng li nghiệm là 1;2 chứa nghiệm 2 









Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng x Ta có 4 2 12

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

2.1.1 Chuẩn trong  và k M  k 

Định nghĩa

Trước hết ta tìm hiểu lại các ký hiệu  và k M  k 

1 2

: , , ,

k

k k

x x

i k k i i

1

maxmax

k ij

i k j k ij

j k i

Sau đây ta nêu một số tính chất cơ bản của chuẩn  (trong  và k M  ) k 

1 x      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0, x k x 0k

2  x    x , x k,  

3 x y   x  y ,x y,   k

4 A   0, A M k  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A 0k

5  A   A, A M k  ,  

pháp lặp xác định theo hệ thức (2.1.2) để giải hệ phương trình (*) được gọi là phương pháp lặp đơn

Định lí 2.1.2 Giả sử ma trận A a ij k thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

Khi đó luôn có thể đưa về hệ phương trình (1) về dạng (2) với điều kiện B   (với điều 1

kiện a.) hoặc B  (với điều kiện b.) 1 1

k k

i k

i j ii j

a B

Trường hợp 2: Điều kiện b được thỏa

Ta viết lại phương trình (*) dưới dạng

i j ii j

12 1

2 11

k kk k kk

a B

Đặt  0

1, 4

1, 21,1

b Gọi n là số bước lặp nhỏ nhất thỏa x n x* 106

Áp dụng công thức ước lượng sai số ta có

ln

15ln

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP SEIDEL

Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu cách giải gần đúng hệ phương trình Ax  (*) b

Giả sử (*) được đưa về dạng x Bx  (2.2.1) g

x   được xây dựng theo thuật toán trên được gọi là dãy xấp xỉ xây dựng theo thuật

toán Seidel (hoặc phương pháp Seidel) Ta sẽ xem xét điều kiện của ma trận B để dãy trên hội tụ về

nghiệm duy nhất *x của hệ phương trình (*)

Vấn đề đưa hệ phương trình (*) về dạng (2.2.1) với ma trận B thỏa mãn điều kiện B   1

ta đã xem xét trong phương pháp lặp đơn Ở đây, ta sẽ nhắc lại kết quả này

Định lí 2.4.2 Giả sử ma trận A a ij k thỏa mãn điều kiện

luôn có thể đưa được hệ (*) về dạng (2.2.1) với điều kiện B   và 1 b ii  0,i1,k

Ví dụ 2.2.1: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Seidel qua ba bước (đánh giá

sai số ở bước ba)

n n

Chương 3 ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 1 MỞ ĐẦU

Thông thường, một hàm số có hai cách biểu diễn Dạng thứ nhất bằng biểu thức giải tích với các kết hợp khác nhau của hàm sơ cấp Dạng thứ hai thì hàm số được cho như một bảng số Ta chú ý đến dạng thứ hai Giả sử ta có hàm một biến y  f x  mà f x không thể cho dưới dạng biểu thức  giải tích, nhưng bằng cách nào khác ta có thể nhận được các giá trị của y tại các giá trị khác nhau của

x (chẳng hạn bằng đo đạc hay quan trắc hoặc ghi chép thống kê) và ta lập được bảng số dạng

Một vấn đề thực tiễn thường nảy sinh là nếu có ta có hàm số ở dạng bảng thì bằng cách nào ta

có thể xác định giá trị của y tại một giá trị x nào đó không trùng với một giá trị nào trong các giá trị

0, , ,1 n

x x x Thuật toán tìm giá trị y như vậy được gọi là phép nội suy (nếu x x x0; n) hoặc ngoại suy (nếu x x x0; n) Vì vậy có thể gọi phép nội suy là phép “chèn” hay phép liên tục hóa các giá trị của hàm số cho dưới dạng bảng tại các giá trị của biến số không trùng với các mốc

Trên đây chúng ta nói về phép nội suy và ngoại suy cho hàm một biến số Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể mở rộng cho hàm số nhiều biến, nghĩa là ta có thể nội suy hoặc ngoại suy đối với bảng nhiều chiều, chẳng hạn với độ nhớt của chất lỏng theo hai biến áp suất và nhiệt độ

Chúng ta không chỉ cần tính giá trị của hàm số y  f x  tại các giá trị trung gian của biến số

mà đôi khi cần phải tính đạo hàm của hàm số f x ở bậc bất kì nào đó hoặc tính tích phân của nó  trên một khoảng xác định Những phép phân tích như vậy giúp chúng ta phát hiện ra các qui luật tổng quát chi phối mối quan hệ của các yếu tố tham gia xác định một quá trình hay hiện tượng vật lý

Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm cho trước bằng một hàm số khác nhằm mục đích đơn giản hóa cách tính giá trị của hàm đã cho Ta hình dung trường hợp sau: trong một thuật toán nào đó ta phải tính nhiều lần giá trị của một hàm số với một biểu thức rất phức tạp ở nhiều giá trị khác nhau của biến số Để tiết kiệm thời gian tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác

đã đặt ra, ta sẽ chủ động chia miền biến đổi của biến số bằng n  mốc kể cả các điểm biên và tiến 1hành tính các giá trị của hàm số tại các mốc đó để có được một bảng số Khi đó để tính giá trị của hàm đã cho tại các giá trị khác nhau của biến số ta sẽ sử dụng phép nội suy với số phép tính ít hơn nhiều lần so với cách tính trực tiếp mà độ chính xác vẫn đảm bảo

Trên đây chúng ta nói đến hai ứng dụng chủ yếu của phép nội suy và ngoại suy Trong trường hợp thứ nhất thì hàm số được cho ở dạng rời rạc hóa vì không biết biểu thức giải tích của nó, còn trong trường hợp thứ hai thì hàm được cho ở dạng giải tích nhưng rất phức tạp cho việc tính toán nên

ta phải rời rạc hóa nó trước khi dung phép nội suy Sau đây chúng ta sẽ đi vào một số phép nội suy thông dụng

Bài 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Đa thức là một lớp hàm “đẹp”, có đạo hàm ở mọi bậc, cách tính giá trị của nó cũng như tính đạo hàm, tích phân rất đơn giản Ngoài ra, các công trình của nhà toán học Weirstrass cho thấy, nếu hàm số f x liên tục trên đoạn   a b thì với mọi số  dương tùy ý có thể tìm được một đa thức ;  P x  

bậc n (phụ thuộc vào  ) sao cho f x P x    , x a b; 

Những lí do trên là cơ sở tốt để người ta chọn đa thức làm hàm xấp xỉ của phép nội suy Định

lý Weirstrass cũng cho thấy, bậc đa thức càng cao thì độ chính xác của xấp xỉ càng tăng Tuy nhiên, với ý nghĩa ứng dụng thực tế thì điều đó không phải là như vậy, vì đa thức bậc cao cũng mất rất nhiều thời gian tính toán

3.2.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Xét hàm số y  f x  với x a b; 

Cho x i a b i; ,  0,n thỏa x i x j nếu i  và j x0 a x; n  Đặt b y i  f x i ,i 0,n,

ta sẽ tiến hành xây dựng một đa thức L x thỏa mãn hai điều kiện sau n 

  Ta thấy L x thỏa cả hai điều kiện trong (3.2.1) n 

Đa thức L x xây dựng như trên được gọi là đa thức nội suy Lagrange n 

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng sự tồn tại của đa thức  

   Điều này chứng tỏ  x là một đa thức có bậc nhỏ hơn n đồng thời có ít

nhấtn  nghiệm, ta suy ra 1  x  hay 0 L x n Q x  (đpcm)

Đồ thị của các đa thức  i x (trường hợp n 4 và x i i i, 0, 4)

số y  f x  tại những điểm đặc biệt





Ước lượng sai số

Bây giờ ta cần đánh giá sai số của phép nội suy theo Lagrange ở giá trị x bất kì

Ví dụ 3.2.3: Cho hàm số y  sin 2 x có bảng giá trị

8

16

14

12

a Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số f x  

sin7

3.2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Bây giờ ta thêm giả thiết là các mốc x x0, , ,1 x cách đều trong n a b , tức là ; 

Ta thực hiện phép đổi biến x x0 ht Khi đó ta được

i i

Ước lượng sai số

Theo phần ước lượng sai số của đa thức nội suy Lagrange ta có

y  f x  e dt Bảng sau đây cho ta biết một vài giá trị của hàm

số tại một số mốc đặc biệt

x 0,25 0,50 0,75 1,00

a Xây dựng đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều của hàm số f x cho bởi bảng trên  

b Tính f 0, 7, đánh giá sai số kết quả trên

i i

Bài 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

3.3.1 Đa thức nội suy Newton với mốc bất kì

hàm số y  f x  tại các mốc x x i, i1, ,x i k với i 0,n và được kí hiệu là k f x x i; i1; ;x i k 

Ta qui ước các giá trị ,y i i 0,n là các tỷ sai phân cấp 0

Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton của hàm số trên và tính gần đúng f2, 5

Ước lượng sai số

Dựa vào kết quả vừa tìm được ta thấy đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton chỉ khác nhau về cách thức xây dựng, còn biểu thức cuối cùng thì như nhau nên ta có thể lấy phần ước lượng sai số của đa thức nội suy Lagrange cho đa thức nội suy Newton Tức ở đây ta có

3.3.2 Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều

Bây giờ ta thêm giả thiết là các mốc x x0, , ,1 x cách đều trong n a b , tức là ; 

Hiệu số y i1 được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số y i y  f x  tại mốc x với i i 0,n 1

Chúng ta lập luận tương tự như trong tính chất của tỷ sai phân, xin dành cho bạn đọc

3.3.2.2 Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều

Đa thức nội suy ở đầu bảng (dạng tiến): Giả sử x0 x1  x n và x i1x i  với h

mọi i  0,n Ta tìm đa thức nội suy 1 L x ở dạng: n 

Cho x lần lượt bằng x x0, , ,1 x và chú ý rằng n L x n i  f x i y i i, 0,n ta thu được các

2 !

Bài 4 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Giả sử chúng ta có hai đại lượng x và y với các giá trị thực nghiệm (do quan sát hoặc làm thí nghiệm) thu được dưới dạng bảng như sau

x x 1 x 2  x n

y y 1 y 2  y n

Chúng ta muốn xây dựng công thức cho hàm số y  f x  dựa trên giá trị thực nghiệm này

Rõ ràng, ta có thể sử dụng đa thức nội suy Lagrange hoặc Newton Điều này xem ra không phải lúc nào cũng hợp lí, ít nhất là do hai nguyên nhân sau Nguyên nhân thứ nhất là, khi các mốc nội suy khá lớn, các điểm nút lại quá sát nhau (đây là một đặc trưng tiêu biểu cho các bảng số nhận được bằng cách phép đo lặp lại nhiều lần) thì việc sử dụng đa thức bậc cao hoặc bậc nhỏ để nội suy từng khúc cũng trở nên rất phức tạp, số lượng tính toán rất lớn cho việc ứng dụng thực tế, nhất là các ứng dụng mang tính chất tổng hợp

Nguyên nhân thứ hai, quan trọng hơn, nằm ở chỗ các số liệu cho trong bảng số không phải lúc nào cũng chính xác, đặc biệt trong trường hợp đo đạc trong phòng thí nghiệm hay quan trắc ngoại hiện trường Chẳng hạn khi ta đo đạc độ ẩm của không khí tại một địa điểm cố định nào đó theo thời gian trong năm để tìm ra qui luật biến động của độ ẩm theo tháng hay theo mùa thì các số đo không phải tuyệt đối chính xác, nhất là chúng không phải như nhau trong các năm khác nhau Ngoài ra, trong nhiều phép đo, không chỉ yếu tố phụ thuộc có sai số mà yếu tố độc lập (biến số) cũng chịu sai

số Chẳng hạn khi đo độ nhớt của một chất lỏng ở cùng nhiệt độ nhưng dưới áp suất khác nhau thì không chỉ riêng gì độ nhớt có sai số mà cả nhiệt độ lẫn áp suất đều có sai số Do đó, yêu cầu hàm xấp

xỉ phải nhận đúng giá trị đã cho tại các mốc nội suy trở nên vô nghĩa

Để khắc phục khó khăn trên, người ta đưa ra khái niệm xấp xỉ bình phương bé nhất Phương pháp bình phương bé nhất khác với phương pháp nội suy truyền thống ở chỗ phương pháp bình phương bé nhất không yêu cầu hàm xấp xỉ (thường là đa thức) phải đi qua các mốc nội suy một cách chính xác và hàm mà nó dùng để xấp xỉ là một và chỉ một cho cả miền cần xấp xỉ, cho dù miền đó có lớn đến đâu chăng nữa

Nội dung phương pháp

Trong mặt phẳng Oxy xét tập hợp các điểm  i i; i  1,

i n

A x y

 với ,x y được cho trong bảng giá i i

trị trên Thay vì xây dựng một hàm đi qua các điểm đã cho, chúng ta sẽ tìm một hàm f x “ càng  đơn giản càng tốt” sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của tập hợp điểm  i i; i  1,

Vì các cặp số x y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác i; i

định nghiệm đúng của phương trình y ax  b

i

S

y b ax x a

S

y b ax b

Từ hệ bảng trên ta được hệ phương trình sau:

Đặt Y  ln ,y A và b B lna thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng Y  Ax B

Vậy bài toán xác định các hệ số ,a b của hàm số y ae bx được chuyển về bài toán xác định

bx

yae