Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 06

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí MinhKhoa Toán-Tin Chủ Đề 6 MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA CHUỖI SỐ HỘI TỤ.. BÀI TOÁN 6MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC

Trang 1

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Khoa Toán-Tin

Chủ Đề 6

MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA

CHUỖI SỐ HỘI TỤ.

GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU.

Sinh Viên:

Nguyễn Minh Thành

Nguyễn Thị Thùy Phương

Bùi Văn Long

Bùi Thị Thu

Trang 2

BÀI TOÁN 6

MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH SAI SỐ KHI LẤY TỔNG RIÊNG THAY CHO TỔNG CỦA

CHUỖI SỐ HỘI TỤ.

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Về lý thuyết, ta có một số phương pháp để xác định một chuỗi số hội tụ hay không, và dĩ nhiên nếu chuỗi hội tụ thì giá trị của chuỗi là một số thực nào đó Trong thực tế, những con số người ta cần không phải là những con số thực mà đơn giản là những số thập phân con người có khả năng chạm đến qua các phương pháp đo đạc

Do đó, có những chuỗi hội tụ không tính được giá trị chính xác (hoặc không cần thiết phải tính giá trị chính xác) thì ta sẽ dùng tổng riêng S thay thế cho n

giá trị chính xác xem như một giá trị gần đúng Về mặt kỹ thuật, giá trị gần đúng chỉ có ý nghĩa khi đi kèm với một sai số, ở đây là sai số phương pháp

Nội dung đề tài này thảo luận về một số phương pháp xác định sai số khi lấy tổng riêng làm giá trị gần đúng của một chuỗi số đã được chứng minh là hội tụ

B NỘI DUNG:

1 Tổng quan:

Cho chuỗi số:

n

u u u

hội tụ về giá trị S.

Đặt

1

n

i

S u



 : tổng riêng thứ n

1

i n

R  u

 

 : phần dư thứ n (xem như sai số ứng với tổng riêng S ) n

Ta có:

1

lim

i

u S S

R S S



 



   



Nghĩa là với một sai số  cho trước, ta luôn tìm được số tự nhiên nnhỏ nhất sao cho R n  Khi đó tổng riêng S là giá trị gần đúng của chuỗi n

với sai số 

Sau đây ta sẽ xét một số công thức xác định sai số R của một số dạng n

chuỗi hội tụ

Trang 3

2 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d’Alembert:

a Cơ sở toán học

Cho chuỗi số dương hội tụ:

1

i i

u







trong đó limi i 1 1

i

u D u



    Theo định nghĩa giới hạn, ta có:

u u D  q u i n q D  q

Như vậy:

2

1

i

u q u

u q u q u

u q u

u

q

















Với sai số  cho trước, ta chọn m sao cho 1 1

(1 )

m

u q





Chọn n0 max{ , }n m ta sẽ có 0

4

n

R  là sai số phương pháp ứng với tổng riêng S n0

b Thuật toán:

 Cho chuỗi

1

i i

u





 , sai số 

 Tính limi i 1

i

u D

u



 



 Chọn q( ;1)D

 Tìm n sao cho i 1

i

u

i n q

u



 Tìm m sao cho 1

(1 ) 4

m

q

u   

 Chọn n0 max{ , }n m

 Tính u u1*, , ,2* u , sai số làm tròn *n0

0

4n





 Khi đó tổng S là giá trị gần đúng với sai số n*0 0 1

n

u q

 





Trang 4

c Ví dụ:

Tính giá trị gần đúng của chuỗi số:

1 2i

i







với sai số không quá 10 2

Giải

1 1

1

2

i

i u

i



 



      

4

q

i

u

3 4 10 14

14.10 2 2

4

u

m q

Chọn

2

0

10

n

 tính u1 u14 ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 4

i

u

Sai số làm tròn lần 1: 4

1 13 0.5 10 0.00065 0.0025

Dùng 13thay cho tổng riêng S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 2.00.13 Sai số làm tròn lần 2: 2

2 0.5 10

Sai số phương pháp: 3 14 14

14

0.0025

u q

Sai số:  123 0.00065 0.005 0.0025 0.01.  

Vậy chuỗi được tính gần đúng:

1

2.00 0.01

2i i

i







3 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy:

a Cơ sở toán học:

Cho chuỗi số dương hội tụ:

i

u





Trang 5

Theo định nghĩa giới hạn, ta có:

D n i n u D u D q

i i

u q i n

Như vậy:

1 1 2 2

1 1

1

n n n n

n

u q

q



 



 















Với sai số  cho trước, ta chọn m sao cho

1

m

q q



 (1 )

4

q

m  

Chọn n0 max{ , }n m ta sẽ có 0 0

1

n n

q R

q





 là sai số phương pháp ứng với tổng riêng S n0

b Thuật toán:

 Cho chuỗi

1

i i

u





 , sai số 

 Tính limi

i i

D u

 



 Chọn q( ;1)D

 Tìm n sao cho i

i

i n u q

 Tìm m sao cho log (1 ) 1

4

q

m   

 Chọn n0 max{ , }n m

 Tính u u1*, , ,2* u sai số làm tròn *n0

0

4n





 Khi đó tổng S là giá trị gần đúng với sai số n*0 0

1

n

q q

 





c Ví dụ:

1

1 3

i









Trang 6

i i

i

D

Chọn q 0.4. Ta có:

3

i

2

3

3 0.4

(1 ) 0.6 10

1.5 10

q



Chọn

2

0

10

n

*

i

u 0.6667 0.25 0.0878 0.0301 0.0102 0.0035 0.0012 1.0495

Sai số làm tròn lần 1: 4

1 7 0.5 10 0.00035 0.0025

Dùng 7thay cho tổng riêng S , làm tròn đến số thập phân thứ 2: 1.05.7

Sai số làm tròn lần 2: 2 0.5 10  2

Sai số phương pháp: 0

3

0.4 0.0025

n

q q





 Sai số:  123 0.00035 0.005 0.0025 0.01.  

1

1 1.05 0.01

3

i







4 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân Maclaurin – Cauchy:

Cho chuỗi số:

1

( )

i

f i







trong đó f(x) là hàm liên tục, không âm và giảm trên [1, ) và

1 ( )

f x dx



 hội tụ

Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân và tính giảm của f(x):

1

1 1

i

f i f x dx f c f i

f x dx f i f x dx









Trang 7

4

n n

n

f x dx R f x dx

n n n f x dx 

 







b Thuật toán:

 Cho chuỗi số

1

( )

i

f i





 , sai số 

 Tính ( ) ( )

n

g n f x dx



 Xác định : ( )

4

n g n 

 Tính * * *

1, , , 2 n

u u u Sai số làm tròn

4n



 Khi đó tổng *

n

S là giá trị gần đúng với sai số là ( )

4 2

g n   

c Ví dụ:

3 1

1







Giải

Ta có:

2 2

m m

n

dx

g n f x dx

n



2 225 400

n  g   

 2

10

10 0.5 10

4n 60

i

u

15

* 15

1

1.2001

i i

u



Sai số làm tròn lần 1: 115 0.5 10  4 0.00075 0.0025.

2 0.5 10

Trang 8

Sai số phương pháp: 3

1

450

g

Sai số:  123 0.00075 0.005 0.0025 0.01.  

3 1

1 1.20 0.01







5 Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz:

Cho chuỗi:

1 1

( 1)i

i i

u











trong đó dãy u dương, giảm về 0 i

Phần dư cũng là một chuỗi đan dấu:

( 1)i ( 1)n i ( 1)n ( 1)i

0

( 1)i

i



 



 

2 1

1

( 1)

i

m

i

A u m







 1

R u 

Khi đó ta có sai số được xác định:

2

1

( 1)n

i n





 

b Thuật toán:

 Cho chuỗi đan dấu Leibnitz 1

1

( 1)i

i i

u









 , sai số 

 Xác định : 1

4

n

n u  

 Tính u u1, , , 2 u n

 Khi đó tổng *

n

S là giá trị gần đúng với sai số là 1

4 2

n

u    

c Ví dụ:

Tính giá trị gần đúng của chuỗi:

1 2 1

( 1)i











với sai số không vượt quá 10 2

Trang 9

Ta có:

2

n

Chọn n 19

2

10

10 0.5 10

4n 76

i *

i

u

Sai số làm tròn lần 1: 119 0.5 10  4 0.00095 0.0025.

2 0.5 10

Sai số phương pháp: 3 20 2

1 0.0025

20

n

R u

Sai số:  123 0.00095 0.005 0.0025 0.01.  

1 2 1

( 1)

0.82 0.01

i











6 Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin:

 Định lý: Cho f(x) khả vi vô hạn lần và C:

( )

f x C  x x  R x R

Khi đó ta có:

( ) 0

0

1 0

0

( )

!

i

i i

n

i

f x

f x x x x x R x R

i

f x f

x x x x x R x R















Khi đó sai số được xác định:

1

( 1)!

n

C

R x x n

  



Đặc biệt:

Khi x  ta có khai triển Maclaurin:0 0

1 0

n

i

f x x x x R R











trong đó sai số:

1 ( 1)!

n n n

C

n





Trang 10

b Thuật toán:

 Tính giá trị hàm số f(x), sai số 

 Tính giá trị các đạo hàm '(0), "(0), '''(0), f f f

 Tính M max{ ', ", '", }f f f

n

M x n







 Tính các giá trị

( )(0)

!

i i i

f

i

 , tình ra số thập phân làm tròn với sai

số

4n



 Khi đó giá trị gần đúng là *

n

S , sai số 1

n

M x n

 





c Ví dụ:

Tính gần đúng giá trị e với sai số không vượt quá 10 3

Giải

Ta có:

f x e  f x e  f 

Khai triển Maclaurin của e : x

( 1)

1 0

1 2

1 0

( )

, (0, )

! ( 1)!

1

!2 ( 1)!2

n

i

n

i

x f

i n

e

e e

i n















Sai số:

3

5 1

0.00025

720 32

n

e R

n R

 

 

 

 5

5

0

1

!2i 2 8 48 384 3840 3840

i

S

i



Tính ra số thập phân làm tròn đến số thập phân thứ 3:

*

5 1.649

2 0.5 10

Sai số tổng cộng: R n2 0.00075 10 3

Vậy e 1.649 0.001.

C KẾT LUẬN:

Nội dung đề tài này có thể không trình bày hết tất cả phương pháp tính sai số của chuỗi, nhưng chúng tôi hy vọng qua đề tài này các bạn sẽ có được tư duy để tìm ra cách tính sai số cho những bài toán thực tế, cụ thể của mình Các dạng chuỗi và các ví dụ được chúng tôi chọn có tính chất tiêu biểu để minh họa cho vấn đề

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	485 KB