Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 03

Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều Phần 3: THUẬT TOÁN... Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều:

DÙNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON

Giảng viên hướng dẫn: TS TRỊNH CÔNG DIỆU

Sinh viên thực hiện:

TÓM TẮT NỘI DUNG

Phần 1: MỞ ĐẦU

Phần 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h

II Các dạng biểu diễn đa thức

2 Bảng sai phân dùng tính sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0

3 Công thức tính sai phân

VIII Nội suy NEWTON:

1 Đa thức nội suy NEWTON

2 Đa thức nội suy NEWTON có mốc nội suy cách đều

a Định lý của công thức nội suy NEWTON thứ nhất

b Công thức nội suy NEWTON thứ hai

IX Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều Phần 3: THUẬT TOÁN

NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2

II Thuật toán:

1.Trường hợp 1: Khi các mốc nội suy cách đều (bước nhảy h đều)

2 Trường hợp 2: Khi các mốc nội suy không cách đều

III Mã giả

Phần 4: MỘT SỐ VÍ DỤ CHI TIẾT

Phần 5: ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH

NHẬN XÉT CHUNG

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x) nhưng trên thực tế, nhiều trường hợp ta chỉ nhận được những giá trị rời rạc: y0, y1, … yn tại các điểm tương ứng x0, x1, … xn (Các giá trị này được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán) Vấn đề đặt

ra là xác định giá trị của hàm số tại các điểm còn lại

Cần xây dựng hàm g x( ) sao cho:

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :

Cho a h,  ,n * Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h là số:

II Các dạng biểu diễn đa thức:

Cho P x là đa thức bậc n theo biến x  

Dạng chính tắc của P(x) là:

 

0

n i i i

i

P x b x x



  với b b0, , ,1 b n là các hằng số

i h i

i

P x d x x



  với d0, d , , d1 n là các hằng số

Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên

 Khi x0 0,h0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc

 Khi h0thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc

 Khi x0 0,h1thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng

Vì vậy nếu đã có thuật toán tính giá trị đa thức có dạng biểu diễn chuẩn tắc suy rộng thì ta cũng tính được giá trị đa thức có dạng biểu diễn thuộc ba dạng còn lại

III Định lý 1 (Định lý Bezout):

Cho , P x R x là đa thức ở dạng chính tắc   1

0

n n i i

Theo định lý Bezout thì đẳng thức trên tồn tại

Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức truy hồi:

+ Biến đổi từ vế trái sang vế phải của (I) đó chính là dùng phương pháp dùng sơ đồ hoocner ngược

với các hệ số cho bởi : 0 0

( ) ( )

n

i h i

n i i i

NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2

Bảng 3: xác định các hệ số a ij của P x  

Ta tính các a ibằng cách cộng các c itheo đường chéo như bảng phía trên

Như vậy sau 3 bước ta được công thức ở dạng chính tắc của P x như sau:  

 Giả sử f xác định tại x x0, 0h Sai phân của f tại x0, bước nhảy h, là số định bởi công thức:

h f x0  f x 0 h f x 0 (Để đơn giản ghi h f x 0 thay cho h f  x0 )

 Hàm số thực định bởi h f x: h f x( )được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h

 Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ: h: f h f

Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có: h f x0 0 tại mọi x

Định nghĩa tương tự cho các sai phân cấp cao hơn

Khi cần nhấn mạnh cấp của sai phân, ta gọi sai phân của hàm f trong định nghĩa là sai phân cấp một của hàm f, hơn nữa để đơn giản trong trình bày ta quy ước gọi hàm f là sai phân cấp 0 của hàm f Ký hiệu: hàm sai phân cấp i (i0,n), bước nhảy h, của hàm f là: i

2 Bảng sai phân dùng tính sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h, tại x0.Đặt:

(do giả thiết quy nạp)

Như vậy ta đã chứng minh được (*)

Ta chứng minh: n ( ) ! n

  (**) bằng phương pháp quy nạp Với n0, ( )f x 1 Khi đó: 0 0

F x  xx =

1 0 0

n i

( )

n i

x x  n h

VIII Nội suy Newton :

1 Đa thức nội suy Newton:

Theo cách của Newton, ta có:

NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2

0

0 0

n n y

Nên y i Pn( ) ( xi i 0,n) (thoả điều kiện (*))

Công thức (3) được viết lại như sau:

2 Đa thức nội suy Newton có mốc nội suy cách đều:

a Định lý của công thức nội suy Newton thứ nhất:

Cho bộ ( ,x y i i)  trong đó x i x0ih(h ,i0,n) Giả sử P là một hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sao cho P x( )i  y i Khi đó:       ,

h i i

1.2.1

1.3.2.1

h i i

( 1)

1 ( ) ( )( )

!

n

i h i

IX Cách chuyển từ bài toán có các mốc nội suy không đều về bài toán có mốc cách đều:

Nếu bài toán đa thức nội suy không cách đều ta chỉ cần thêm các mốc nội suy sao cho được các mốc mới cách đều, sau đó dùng công thức nội suy Lagange để tính các giá trị hàm số Lúc này bài toán sẽ chuyển về bài toán nội suy có bước nhảy cách đều

 Việc thêm mốc nội suy sẽ là đơn giản nếu các mốc nội suy có giá trị không quá lớn, lúc này

ta sẽ chọn bước nhảy h sao cho ít phải thêm các mốc mới nhất

Ví dụ:

( )i i

P x  y 3 2 293 5

Ở ví dụ này ta sẽ thêm x0 0,x3 vào công thức nội suy Lagrange để tính các giá trị y i và ta sẽ

II Thuật toán:

Tính bước nhảy h theo công thức h x i x i1, h0,i1,n1 sau đó xét các trường hợp của h

1 Trường hợp 1: Khi các mốc nội suy đều (bước nhảy h đều) thì ta lần lượt thực hiện các tiến trình giải như sau:

a Tiến trình 1: Dùng công thức nội suy Newton để xác định công thức của P x ở dạng  

chuẩn tắc suy rộng

Bước 1: Tính sai phân các cấp của P x  

Bước 2: Áp dụng định lý và công thức nội suy newton tính được giá trị của P x ở dạng  

chuẩn tắc suy rộng

b Tiến trình 2: Chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng về dạng chính tắc

o Cách 1: Dùng thuật toán chuyển từ chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc.(tham khảo đề tài

của nhóm 2)

o Cách 2: Dùng hoocne ngược chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng về chính tắc

2 Trường hợp 2: Khi các mốc nội suy không cách đều ta sẽ thêm các mốc nội suy

mới sao cho các mốc nội suy cách đều hoặc chọn x0 0,h1 rồi thêm các mốc mới sau đó dùng công thức nội suy Lagrange tính các giá trị của hàm cho các mốc mới thêm

Bước 1: Tính giá trị P x bằng công thức nội suy Lagrange theo công thức sau:  

0 0

j j

Bước 3: Thay các giá trị của x i vừa tìm được vào công thức P x ta được giá trị y i tương ứng

Lúc này ta được bảng giá trị mới và bài toán trở thành bài toán ở trường hợp 1 với bước nhảy đều Sau đó ta thực hiện các bước làm như trong trường hợp 1

III MÃ GIẢ:

// Nhập dữ liệu

Nhập n - số lượng các bộ (x,y)

Cho i chạy từ 0 đến n, nhập các bộ (x,y)

//Kiem tra buoc nhay h (moc deu, moc ko deu)

Sắp xếp lại các bộ số theo x tang dần

//Khởi tạo các giá trị ban đầu

//Khởi tạo mảng h[] các luỹ thừa của h

//Khởi tạo cột đầu của mảng delta[]

Cho i chạy từ 0 đến n, tính delta[i][0]=y[i]

//Khởi tạo các giá trị x[i]

Chi i chạy từ 1 đến n, tính x[i]=x[i-1]+h[1]

//Lập bảng sai phân cấp i

Cho i giảm từ (n-1) đến 0

Cho j tang từ 1 đến (n-i)

Tính theo công thức delta[i][j] = delta[i+1][j-1] - delta[i][j-1]

//Tính d[i]

Cho i chạy từ 0 đến n, tính d[i] = delta[0][i] / m[i]

//Tính các hệ số a[i] của đa thức P(x)

Cho i chạy từ 0 đến n, z[i][n]=d[n]

Cho i chạy từ 0 đến (n-1), z[i][i]=d[i]

Cho i giảm từ (n-2) đến 0

Cho j giảm từ (n-1) đến i

Tính các z[i][j] theo công thức z[i][j]=z[i+1][j] - x[i+1]*z[i+1][j+1]

 Bảng biểu diễn các hệ số của P(x) ở dạng chính tắc:

Cách 1: Chuyển theo phương pháp của nhóm 2

a i i

NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2

Vậy dạng chính tắc của P(x) là: P x( ) 193 97  x18x2

Cách 2: Làm theo phương pháp dùng hoocne ngược

Ta tính các hệ số b ij trước dựa vào bảng sau:

Ví dụ 2: Hãy dùng công thức nội suy Newton tìm giá trị của biểu thức P x , chuyển   P x về  

dạng chính tắc Cho bảng giá trị sau:

Do các bước nhảy h ở bài toán không đều nên ta sẽ thêm một số mốc nội suy mới x i để cho bài toán chuyển về bài toán có bước nhảy đều, dùng công thức nội suy Lagrange để tìm các giá trị y i sau đó sẽ dùng công thức nội suy Newton cho bài toán có bước nhảy đều

0

( )

j

j i n

j i

Ta dùng công thức nội suy Newton để tìm giá trị của bài toán ở dạng chuẩn tắc suy rộng

Ta có bảng sai phân như sau:

NHÓM 3- LỚP: VB2-TOÁN-K2

Chuyển bài toán từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang dạng chính tắc:

Cách 1: (theo phương pháp của nhóm 2)

Cách 2: (theo phương pháp hoocne ngược)

Ta tính các hệ số b ij trước dựa vào bảng sau:

cout << "Nhap cac bo gia tri (xi,yi):" << endl;;

for (int i=0; i<=n; i++) cin >> x[i] >> y[i];

cout << endl;

//Kiem tra buoc nhay h (moc deu, moc ko deu)

long tmp;

for (int i=0; i<=n; i++)

for (int j=i+1; j<=n; j++)

for(int i=2; i<=n; i++) h[i]=h[i-1]*h[1];

for(int i=0; i<=n; i++) delta[i][0]=y[i];

for(int i=1; i<=n; i++) x[i]=x[i-1]+h[1];

//Lap bang sai phan cap i

for(int i=n-1; i>=0; i )

for(int j=1; j<=(n-i); j++)

delta[i][j] = delta[i+1][j-1] - delta[i][j-1];

//Tinh d[i]

for(int i=0; i<=n; i++) d[i] = delta[0][i] / m[i];

//Tinh cac he so a[i] cua P(x)

for(int i=0; i<=n; i++) z[i][n]=d[n];

for(int i=0; i<n; i++) z[i][i]=d[i];

for(int i=(n-2); i>=0; i )

Đa thức nội suy Newton của P x trong trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau có dạng  

chuẩn tắc suy rộng, do đó ta có thể áp dụng thuật toán chuyển từ chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc để tìm công thức tính giá trị của P x ở dạng chính tắc  

Cách xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm f(x) Tương tự như trên, cách xây dựng đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn

của f(x)

Ngoài ra, đa thức nội suy Newton của P x còn tính được trong trường hợp các mốc nội suy  

không cách đều nhau Trong trường hợp này ta có thể đưa về trường hợp các mốc nội suy cách đều bằngcách áp dụng công thức nội suy Lagrange xác định công thức tính giá trị của P(x) Sau

đó tính giá trị của P(x) tại các mốc nội suy mới cách đều

 Tài liệu tham khảo:

1 TS Trịnh Công Diệu, các bài giảng Phương Pháp Tính

2 Lê Trọng Vinh, Giải Tích Số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật