BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Tên môn học: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Computation Methods GIẢI TÍCH SỐ Numerical Analysis Thời gian : 45 tiết Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương Thời gian : 45 tiết Các phần liên quan: To

Tên môn học:

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

(Computation Methods ) GIẢI TÍCH SỐ

( Numerical Analysis )

Thời gian : 45 tiết

Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương

Thời gian : 45 tiết

Các phần liên quan: Toán cao cấp

Matlab , Maple , C , Pascal

Chương trình : Gồm 5 chương

0. Giới thiệu về sai số

1. Giải gần đúng phương trình f (x) = 0

2. Giải gần đúng hệ phương trình A x = B

3 Nội suy, phương pháp bình phương tối thiểu

Đánh giá kết quả :

Bài kiểm giữa kỳ 20% Bài tập lớn 20% Thi cuối kỳ 60%

( Được phép sử dụng tài liệu khi thi )

Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương

Tài liệu tham khảo :

1) Giáo trình Phương pháp tính

( Lê Thái Thanh)

2) Phương pháp tính ( Dương Thủy Vỹ )

3) Phương pháp tính ( Tạ Văn Đĩnh )

4) Numerical analysis (Richard Burden)

4) Numerical analysis (Richard Burden)

CHƯƠNG 0 : GIỚI THIỆU VỀ SAI SỐ 1) Sự cần thiết phải tính gần đúng : 2) Các loại sai số :

Sai số tuyệt đối

(Sai số tuyệt đối giới hạn) :

A là giá trị đúng của bài toán

Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương

A là giá trị đúng của bài toán

a là giá trị gần đúng của nó

Một số dương ∆ a : A a − ≤ ∆ a

a

∆ là sai số tuyệt đối của a

a

∆ không duy nhất

càng nhỏ càng tốt

Sai số tương đối :

Sai số quy tròn

Sai số quy tròn

a được quy tròn thành a*

Quy tắc làm tròn số :

1 : Quy tắc quá bán :

a ≤ x ≤ b

b : luôn quy tròn lên

a : luôn quy tròn xuống

Công thức sai số của hàm số :

1 2 ( , , n )

f x x x hàm n biến với các sai số ∆ x 1 , ∆ x 1 , , ∆ x n

1

.

n

k k

Chữ số có nghĩa của một số là tất cả những chữ số bắt đầu từ một chữ số khác không kể từ trái sang

Ví dụ :

3.14159 có 6 chữ số có nghĩa

Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương

3.14159 có 6 chữ số có nghĩa 0.00 3141 có 4 chữ số có nghĩa 0.00 314100 có 6 chữ số có nghĩa

Chữ số thứ k sau dấu phẩy của số gần đúng gọi là chữ số đáng tin nếu

Chương I : Giải phương trình f(x)=0

1)Định nghĩa: Khoảng [ a , b ] gọi là một

khoảng cách ly nghiệm nếu trong khoảng đó

phương trình f ( x ) = 0 chỉ có duy nhất một nghiệm

Định lý:

Nếu f (x ) khả vi liên tục trên [ a , b ]

1) f ' x ( ) giữ dấu trên [ a , b ]

2) f ( a ) f ( b ) < 0

thì [ a , b ] là khoảng cách ly nghiệm

Ví dụ : Phương trình x4 − 4 x − 1 = 0

0 94

1 )

)

2

( = >

Hàm đơn điệu trong [ 1 . 5 , 2 ] f ' ( x ) > 0

khoảng cách ly nghiệm : [ 1 5 , 2 ]

khoảng cách ly nghiệm thứ 2 : [ − 1 , 0 ] (BTập)

2)Công thức sai số tổng quát :

d

x : nghiệm đúng của f ( x ) = 0

gd

x : nghiệm gần đúng

Công thức sai số :

)1(

x f

Min

m = , ∀ x ∈ [ a , b ]

Ví dụ : Phương trình x4 − 4 x − 1 = 0 xét trong khoảng cách ly nghiệm : [ 1 5 , 2 ]

giả sử xgd = 1 663 Đánh giá sai số tuyệt đối

3)Phương pháp chia đôi :

a)Nội dung :

Nếu [ a , b ] là khoảng cách ly nghiệm thì

] 2

,

[ a a + b hoặc

]

, 2

[ a + b b sẽ là khoảng cách

ly nghiệm mới

Lặp lại quá trình phân chia này nhiều lần

b) Đánh giá sai số :

Ví dụ 1: Phương trình x − cos x = 0 với

khoảng cách ly nghiệm [ 0 , 1 ] , chia đôi tới x 4 Kết quả cho theo bảng sau

Sai số phương pháp chia đ ơi là

5

1

0.3125 32

2

Ví dụ 2 : Giải phương trình x − e−x = 0 với khoảng cách ly nghiệm [ 0 , 1 ] đến x 3

0.50.750.625

0.5625

2) Phương pháp lặp đơn

(phương pháp điểm bất động, phương pháp ánh xạ co )

a) Nội dung :

Max ϕ '( ) x = < q 1 ∀ ∈ x [ , ] a b

Lấy n hữu hạn xn = xgd

b) Đánh giá sai số :

1)

q

x x

q x

( đánh giá tiên nghiệm )

( đánh giá tiên nghiệm )

2)

q

x x

q x

c) Nhận xét :

Có vô số cách chọn hàm ϕ (x )

Hàm ϕ (x ) có tính chất q < 1 gọi là hàm co

q là hệ số co

q càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng cao

1

q ≥ Không sử dụng được

Ví dụ1 : Xét phương trình x3 + x − 1000 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [ 9 , 10 ]

) 1000

( 3

1 )

) 1000

( 3

9.9665549349.9666671669.9666667899.966666791

Phương pháp Newton

( Phương pháp Tiếp tuyến )

a) Nội dung : Đưa f ( x ) = 0 về dạng lặp

)('

)

(

x x

f

x

f x

x = − = ϕ Chọn x0

Chọn x0

)(

'

)(

0

0 0

1

x f

x

f x

)('

)

( 1

1 2

x f

x

f x

b) Đánh giá sai số :

Sai số theo công thức sai số tổng quát

) 1 (

c)Nhận xét :

không đổi dấu trên khoảng cách ly nghiệm

Vídụ: Phương trình x3 + x − 1000 = 0 với khoảng cách ly nghiệm [ 9 , 10 ]

Điểm nào là điểm Fourier trong hai điểm 9 , 10 Với x 0 tìm được , tính x 2

Đánh giá sai số của x 2

Chương II : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

x

a

a a

a

a a

a

x A

.

.

.

.

.

.

0 0

0

.

2

1 2

1

33

2 23

22

1 12

11

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

0 0

0 0

.

.

=+

+

=+

+

1.001

.00

0

2.202

1.00

0.182

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

2) Hệ cĩ A là ma trận tam giác dưới

nn n

b b

x

x x

a a

a

a a

a

a a

a

x A

.

.

.

.

0

.

.

.

0

0

0

0

2

1 2

1

2 1

33 32

31

22 21

11

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

Tính nghiệm x1 → x2 → x3 → x4 → x n

3) Giải bằng phương pháp nhân tử LU :

( A ma trận vuông bất kỳ )

a) Nội dung : Phân tích ma trận A = L.U

L là ma trận tam giác dưới

U là ma trận tam giác trên

Việc giải hệ phương trình sẽ đưa về giải hai hệ

phương trình dạng tam giác

Quy ước l11 = l22 = l33 = = 1 : có nghiệm duy nhất

Cách tìm L, U từ ma trận A :

Nhân hàng2 của với cột 2 của tìm được

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

4) Phương pháp Cholesky

( phương pháp căn bậc hai )

a) Nội dung :

Biểu diễn ma trận A dưới dạng A = B BT

trong đó B là ma trận tam giác dưới

( TB : ma trận chuyển vị của B, là ma trận tam giác trên )

b) Nhận xét :

Cách tìm B tương tự như phương pháp LU

nhưng số phép tính giảm đi 2 lần

Phương pháp Cholesky không đòi hỏi đường chéo của ma trận B bằng 1

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

Khi lấy căn bậc 2 quy ước rằng lấy căn số học ( căn là số dương )

5 5

1

1 1

1 2

1

0 1

b) Nhận xét :

* ) Phương pháp chỉ dùng được nếu A là

đối xứng và xác định dương g

5) Các phương pháp lặp :

(thường dùng cho các hệ với ma trận

A có kích thước rất lớn)

A có kích thước rất lớn)

5.1) Định nghĩa : (Chuẩn của vectơ )

i n

( i x : các thành phần của véctơ x )

(chuẩn vô hạn , hàng )

5.2) Định nghĩa ( Chuẩn của ma trận )

a Max

A

1 1

(chuẩn vô hạn , chuẩn hàng)

A

1 1

(chuẩn 1 , chuẩn cột )

4

A ta có

7 )

3 , 7

6 )

4 , 6

(

1 1

j

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

B

x A

x

5.3) Định nghĩa ( Số điều kiện cuả ma trận A)

1

1 1

2/32

/11

.7

6 3

4 1

4 2

1 2

100

2000 2010

1980

3900 3920

38591

A

Phương pháp Tính Ngô Thu Lương



 − 100 − 100 100

69 164790 )

( =

∞ A k

73566)

(

1 A =

k

Sự biến thiên của nghiệm tỷ lệ với sự biến thiên của vế phải với hệ số tỷ lệ là k ( A )

x − x ≈ k A b b −

5.4 ) Phương pháp lặp Jacobi ( lặp đơn ) :

a) Nội dung:

*) Đưa hệ A x = b về dạng x = Φ x + g

*) Đưa hệ A x = b về dạng x = Φ x + g

*) Kiểm tra điều kiện Φ = q < 1

(chuẩn hàng hoặc cột)

x(k+1) = Φ (k) +

b) Đánh giá sai số :

công thức hậu nghiệm

Ví duï : Xeùt heä phöông trình

+

=

−+

=+

−

1010

32

51

101

02

110

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

−

=

+

−+

=

13

.02

.0

5.01

.01

.0

02

.01

.0

2 1

3

3 1

2

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

5.0

=

Φ ∞ = q∞

4

0

1 =

=

+

− +

=

+ + +

1 3

0 2

0

5 0 1

0 1

0

0 2

0 1

0

)

( 2

)

( 1

) 1

(

3

)

( 3

)

( 1

) 1

(

2

)

( 3

)

( 2

) 1

(

1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

x

Với x(0) =[ 0 0 0 ]T , số bước lặp là k = 3

Phương pháp Tính Ngơ Thu Lương

k 0 1 2 3 )

( 1

k

x 0 0 0.25 0.270

)

( 2

k

x 0 0.5 0.4 0.360

)

( 3

k

x 0 -1 -1.15 -1.170 Sai số ∞ - 0.04

c)Nhận xét :

A ma trận có đường chéo trội theo hàng:

i

i j

5.5) Phương pháp lặp Gauss - Seidel :

Nội dung : Các thành phần của x (i k+1) vừa tính được đã dùng ngay để tính xi(+k1+1) trong bước tiếp theo

k 0 1 2 3

)

( 1

k

)

(2

k

)

(3

Jacobi

Nhược điểm : Đánh giá sai số phức tạp

Φ

Phương pháp Tính Ngô Thu Lương

Chươ ng III : NỘI SUY

1) Nội suy đa thức

2) ) Nội suy Spline bậc 3

3) Phương pháp bình phương tối thiểu

1.1) Nội suy đa thức theo Lagrange

a) Nội dung : Biết các giá trị yi = f x ( )i của hàm

( )

y = f x tại các điểm x i theo bảng

Tìm hàm lại hàm f x ( )

Lời giải : Vô số hàm

Tìm f x ( ) = P x ( ) chỉ là đa thức bậc n

thỏa P ( x i ) = y i

Các bước tìm đa thức P (x )

Bước 1 : Thiết lập đa thức cơ sở Lagrange

k i

x x

x

x x

(

Ví duï : L0( x ) =

) ) (

)(

) (

( x − x x − x − x − x x − x

) ) (

)(

) (

(

) ) (

)(

) (

(

00

10

10

11

n i

i

n i

i

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

y x

P

0

) ( )

) (

) ( )

n

n

x x

x x

x

x n

M

−

−

− +

c) Nhận xét :

*) Số mốc nội suy càng lớn thì sai số càng nhỏ , tuy

nhiên bậc của đa thức sẽ lớn, tính toán sẽ dài

*)Sai số phụ thuộc vào (n+1)

M , thực tế không biết

vì hàm ( )f x chưa biết

*)Đa thức nội suy P (x ) là duy nhất

Ví du ụ :

Tìm đa thức nội suy P(x) từ bảng số liệu

1 ,

0 ,

0 = y = y =

y

Tính gần đúng giá trị của bảng tại x = 0 7

Giải : Ta tìm các đa thức Lagrange

2 )

1 1

)(

0 1

(

) 1 )(

0

( )

1 0

)](

1 ( 0

[

) 1 )](

1 (

[ )

1 (

[ )

(

2

x x

x

x x

2 )

0 1

)](

1 ( 1

[

) 0 )](

1 (

[ )

2 )

( 3

) ( 1

)

( 3

1 )

(

2 2

1 0

+

+

= +

3 )

7 0 (

4 )

7 0 (

2 )

d) Tỷ sai phân

Tỷ sai phân bậc 0 của f tại x0 :

f [ x0] = f ( x0)

Tỷ sai phân bậc 1 của f tại x0, x1 :

0 1

0

1 1

0

] [

]

[ ]

,

[

x x

x f x

f x

x f

10

2

12

10

] ,

[ ]

,

[ ]

, ,

[

x x

x x

f x

x

f x

x x

e) Bảng tỷ sai phân

f) Nội suy Newton tiến theo bảng tỷ sai phân

Đa thức P (x ) có thể tìm dưới dạng

) )(

( )

( )

4

23

2)

0)(

1

(3

2)

1

(3

23

1)

P

g) Nội suy Newton lùi

) )(

( )

( )

( x = a0 + a1 x − xn + a2 x − xn x − xn−1 +

P

+ a n ( x − x n )( x − x n − 1 ) ( x − x 1 )

] [

1

(3

2)

1(

23

2) ) Nội suy Spline bậc 3

a) Nội dung : Cho bảng số liệu

Tìm một hàm S (x ) thỏa các điều kiện :

Tìm một hàm S (x ) thỏa các điều kiện :

[ x j x j + 1

( các đa thức này có các hệ số khác nhau)

Gọi S j ( ) x là đa thức trên mỗi đoạn nhỏ [ x x j , j + 1 ]

j j

h

c

c d

3

) ( 1 −

3

)2

()

j

j

j j

c c

h h

Để tìm c j ta giải từ hệ Ax = b

0 0

0 0

) (

2

0 0

0

.

0 0

0

) (

2 0

0

)

( 2

0 0

0 0

0 1

1 1

2 2

2 2

1 1

1 1

0 0

n n

n

h

h h

h h

h h

h h

c c

x

1

1 0

( 2

3 )

1

( 1 3

.

) 0 1

( 0

3 )

1 2

( 1

3

0

n a n

a n

h n

a n

a n

h

a

a h

a

a h

B

Ví dụ : Nội suy Spline bậc 3 của bảng

3 2

10

0

0

14

1

0

01

4

1

00

0

1

3 2 1 0

c c c c

3 2 1 0

c c c c

2 3

0 = d = − d =

d

− +

≤

≤

−

3 2

) 2 (

2 )

2 (

6 4

2 1

) 1 (

3 )

1 (

3 )

1 (

3

1

1 0

) 0 (

1

32

32

3

x x

x

x x

x x

x x

Spline với điều kiện biên ràng buộc

1 0 0 0

Hàm S(x) Spline bậc 3 nội suy bảng số liệu

với điều kiện biên ràng buộc :

Ví dụ

Ví dụ ::

với điều kiện biên ràng buộc :

0

3) Phương pháp bình phương tối thiểu

Nội dung : Từ bảng số liệu

tìm những hàm số có dạng biết trước

tìm những hàm số có dạng biết trước

sao cho tổng bình phương độ lệch so với

bảng số liệu đã cho là nhỏ nhất

1.02 1.984

Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 26

Chương IV : Tính gần đúng tích phân xác định

và đạo hàm

1) Tính gần đúng tích phân xác định

1.1) Công thức hình thang :

a) Nội dung :

Chia đoạn [a ,b] thành n phần bằng nhau bởi các

Chia đoạn [a ,b] thành phần bằng nhau bởi các

điểm : x0 , x1 , x2 , xn với bước chia đều

<

= +

Xấp xỉ hàm f (x) trên đoạn [ x0 , x1] bởi đa thức nội

suy bậc nhất P(x) trên hai mốc nội suy [x0,x1]

≈

∫1

0

) (

x

x

dx x

x

x

)(

1 0

y y

y

h dx

Ngô Thu L ươ ng 3

1.2) Công thức Simpson :

nhau ( n chẵn : n= 2m ) Xấp xỉ hàm f (x) trên

đoạn [x0 , x2] bởi đa thức nội suy bậc hai trên

các mốc nội suy x0 , x1, x2

y

h dx

x P

dx x

f

x x

x

x

++

b) Sai soá :

180

)(

4 ) 4

2 2

1

2) Tính gần đúng đạo hàm :

Cho bảng số liệu với mốc cách đều ( h ) :

Tính gần đúng giá trị y ' x ( ) , y '' x( )

Tính gần đúng giá trị y ' ( xi ) , y ''(x i )

b) Công thức tính gần đúng đạo hàm cấp 2

2

1

1 2 '

' )

( '

'

h

y y

y y

x

Tính gần đúng giá trị y'(1) , y ''(1) nếu hàm

)(

cos)

(x 4 3 x

y = , với h = 0.1

3573462

0)

1('' =

y

'(1) 0.17824017