bài giảng phương pháp tính

Lời nói đầu Nhu cầu nâng cao chất lượng đào tạo sinh viên và các bài toán thực tiễn rất đa dạng, phức tạp là đòi hỏi cấp thiết đưa vào môn học PHƯƠNG PHÁP TÍNH nhằm giúp cho sinh viên k

Tr ườ ng Đại h ọ c Th ủ y l ợ i

Phạm Phú Triêm

phương pháp tính

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

vua Toán học

MỤC LỤC

Lời nói đầu 4

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 5

1.1 Phương pháp Cholesky 5

1.2 Phương pháp lặp Gauss-Seidel 8

1.3 Phương pháp nới lỏng 13

Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 22

2.1 Phương pháp chia đôi 22

2.2 Phương pháp dây cung 25

2.3 Phương pháp tiếp tuyến 28

2.4 Phương pháp lặp đơn 31

2.5 Phương pháp Newton-Raphson cho hệ phương trình 33

2.6 Phương pháp lặp Seidel cho hệ phương trình 37

Kiểm tra nhận thức 42

Chương 3 : NỘI SUY GIÁ TRỊ HÀM SỐ 44

3.1 Công thức nội suy Gregory-Newton tiến 44

3.2 Công thức nội suy Gregory-Newton lùi 46

3.3 Công thức nội suy Gauss 48

3.4 Công thức nội suy Lagrange 50

3.5 Công thức nội suy Newton 51

3.6 Công thức bình phương nhỏ nhất 54

Bài tập 57

Kiểm tra nhận thức 58

Chương 4 : XẤP XỈ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 59

4.1 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo tỷ sai phân 59

4.2 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức Richardson 60

4.3 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với các mốc cách đều 62

a- Công thức nội suy Gregory-Newton tiến 62

b- Công thức nội suy Gregory-Newton lùi 62

c- Công thức nội suy Gauss 62

4.4 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với các mốc bất kỳ 65

a- Công thức nội suy Lagrange 65

b- Công thức nội suy Newton 65

c- Công thức bình phương nhỏ nhất 65

4.5 Xấp xỉ giá trị tích phân xác định A 68

a- Công thức hình thang 68

b- Công thức Simpson 68

4.6 Dãy quy tắc 71

a- Dãy quy tắc hình thang 71

b- Dãy quy tắc Simpson 72

Bài tập 75

Kiểm tra nhận thức 78

Chương 5: XẤP XỈ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 79

5.1 Xấp xỉ nghiệm phương trinh vi phân cấp một 79

a- Phương pháp Euler 79

b- Phương pháp Runge-Kutta bậc hai 80

c- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 80

5.2 Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình vi phân cấp một 82

a- Phương pháp Euler 82

b- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 83

5.3 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân cấp 2 85

5.4 Xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng 86

Kiểm tra nhận thức 96

Lời nói đầu

Nhu cầu nâng cao chất lượng đào tạo sinh viên và các bài toán thực tiễn rất đa dạng, phức tạp là đòi hỏi cấp thiết đưa vào môn học PHƯƠNG PHÁP TÍNH nhằm giúp cho sinh viên khối kỹ thuật- Kỹ sư tương lai, tiếp cận với cách giải gần đúng

phương trình, hệ phương trình có đánh giá sai só , kết hợp trên cơ sở làm quen và

tự nâng cao khả năng lập trình bằng một ngôn ngữ thường được sử dụng, đó là PASCAL

Bộ môn Toán và tác giả trân trọng giới thiệu Giáo trình này và vô cùng cảm ơn các ý kiến đóng góp quý giá của độc giả

Hà nội 8-2005

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chúng ta biết rằng hầu hết các bài toán thực tế đều dẫn đến giải hệ phương

trình tuyến tính Các phương pháp giải hệ được trình bày khá đầy đủ trong các tài liệu

về Đại số tuyến tính Tuy nhiên mọi cách giải về mặt thực tiễn đều phải tính gần đúng

gắn liền với sai số Vì vậy trong chương này chúng ta giải quyết vấn đề nêu ra trên

đây

1.1 Phương pháp Cholesky Giải hệ AX = B

(1.1.1) trong đó A = 11 1 1

n n n n a a a a é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û , X = 1

n x x é ù ê ú ê ú ë û , B = 1

n b b é ù ê ú ê ú ë û

(1.1.2)

Các bước cơ bản của phương pháp này là ** Tìm 2 ma trận tam giác L = 2131 32 1 2 3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

1

n n n n n l l l l l l l -é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û , U =

11 12 13 1 1 1 22 23 2 1 2 33 3 1 3

0

0 0

0 0 0 0

n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u -é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û

(1.1.3)

thoả mãn

LU = A

(1.1.4) ** Giải hệ sau đây tìm Y

LY= B

(1.1.5) ** Tìm nghiệm X từ hệ

UX= Y

(1.1.6)

Đó chính là nghiệm của hệ (1.1.1) Thật vậy AX = L(UX) = LY = B Để tìm L , U ta tìm lần lượt hàng 1 của U , cột 1 của L , hàng 2 của U , cột 2 của L , theo công thức tổng quát sau đây

1

1 1 1

ïï

ïï ïïî

a l u

= , 31

31 11

a l u

y

x u

3 2

a l u

= = , 31

31 11

1 2

a l u

-

y

x u

5 4 5 4

Begin Write('A[',I,J,']=');Readln(A[I,J]); End;

Writeln(' Nhap vecto B ');

For I:=1 to N do Write('X[',I,']=',X[I]);

If DK=2 then Writeln('Khong tinh duoc');

Readln;

END

1.2 Phương pháp lặp Gauss-Seidel

Giải hệ

* Điều kiện hội tụ: A xác định dương, có nghĩa là

'

.

'

ïí ïï ïï

'

'

x c x c - x - c - x - b

ìïï ïï ïï ïï ïï ïï ïïí ïï ïï ïï ïï ïï

trong đó εx> 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

'

'

ìïï ïï ïï ïï ïï ïï ïïí ïï ïï ïï ïï ïï

'

'

-ìïï ïï ïï ïï ïï ïï ïïí ïï ïï

ïï ïï

* Kiểm tra điều kiện đường chéo trội ⎜a11 ⎜= ⎜5 ⎜> ⎜– 1 ⎜ + ⎜2 ⎜= ⎜a12 ⎜ +

* Kiểm tra điều kiện xác định dương: a11 = 5 > 0

Sau khi đổi dấu 2 vế của phương trình thứ 2 ta tính được

0,2.0 0,4.0 1,2 1,2 0,25.1,2 0,25.0 0,5 0,8 0,5.1,2 0,25.0,8 0,25 1,05

x x x

ïï

íï ïï

0,2.0,8 0,4.1,05 1,2 0,94 0,25.0,94 0,25.1,05 0,5 0,9975 0,5.0,94 0,25.0,9975 0,25 0,969375

x x x

ïï

íï ïï

* Tìm xấp xỉ thứ ba X(3) = (x1(3) x2(3) x3(3)) của nghiệm theo công thức (1.2.9) :

(3) 1 (3) 2 (3) 3

0,2.0,9975 0,4.0,969375 1,2 1,01175 0,25.1,01175 0,25.0,969375 0,5 0,995281 0,5.1,01175 0,25.0,995281 0,25 1,004695

x x x

ïï

íï ïï

ïî

* Tính sai số

Writeln('Nhap ma tran AB : N hang, N+1 cot ’);

Writeln('N cot dau la cac cot cua ma tran A’);

Writeln('cot thu N+1 la cot cac he so tu do B ’);

For I:=1 to N do

For J:=1 To M do

Begin Write('AB[',I,J,']=');Readln(AB[I,J]); end;

Write(' So buoc lap toi da KMAX=');Readln(KMAX);

Write(' Sai so EPS =');Readln(EPS);

DK:=1;I:=1;

{ Kiem tra tinh cheo troi }

While ((I<=N) and (DK=1)) do

{ Khi tinh cheo troi thoa man ta nhap xap xi ban dau }

Writeln(‘ Nhap xap xi ban dau X’);

Begin

For I:=1 to N do

Begin Write('X0[',I,']=');Readln(X0[I]); end;

end;

K:=1;

While ((K<KMAX) and (DK=1)) do

{ Tinh cac thanh phan XK[I] o buoc lap thu K khi khong su dung cac gia tri XK[1] , XK[2] , , XK[I] da tinh o tren de tinh XK[I+1], ,XK[N] ; I = 1 , , N– 1 }

* Điều kiện hội tụ: A xác định dương, có nghĩa là

ïí ïï ïï

'

'

ïï ïï

* Nếu

⎜Rh(0) ⎜ ≤ εf (1.3.7)

trong đó εf > 0 , cho trước (sai số đối với phương trình) thì ta dừng ở X(0)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜Rh(0) ⎜ > εf

(1.3.8) ta tìm xấp xỉ thứ nhất X (1) = (x 1 (1) x n (1) ) của nghiệm theo công thức (1)(1) (0)(0) (0) ; 1, , ;

h h h i i x x R x x i n i h ìï = + ïï íï ï = = ¹ ïî

(1.3.9) và tính xấp xỉ thứ nhất R (1) = (R 1 (1) R n (1) ) của sai số theo công thức (0)(0) 0 (0) (0) ; 1, , ;

h i h i h i R R c R R i n i h ìï = ïï íï ï = + = ¹ ïî

(1.3.10) * Xác định Rh(1) thoả mãn ⎜Rh(1) ⎜= max(⎜R1(1) ⎜, , ⎜Rn(1) ⎜)

(1.3.11) * Nếu

⎜Rh(1) ⎜ ≤ εf

(1.3.12) thì ta dừng ở X(1) * Ngược lại, có nghĩa là

⎜Rh(1) ⎜ > εf

(1.3.13)

tương tự ta tìm xấp xỉ thứ 2 của nghiệm và xấp xỉ thứ 2 của sai số

* Một cách tổng quát Ta tiếp tục cho đến xấp xỉ thứ k : X (k) = (x 1 (k) x n (k) ) của nghiệm được tính theo công thức ( )( ) (( 1)1) ( 1) ; 1, , ;

k k k h h h k k i i x x R x x i n i h - -ìï = + ïï íï ï = = ¹ ïî

(1.3.14) và tính xấp xỉ thứ k : R (k) = (R 1 (k) R n (k) ) của sai số theo công thức (0)( ) 0 ( 1) ( 1) ; 1, , ;

h k k k i h i h i R R c R - R - i n i h ìï = ïï íï ï = + = ¹ ïî

(1.3.15)

và dừng lại ở X(k) khi

⎜Rh(k) ⎜= max(⎜R1(k) ⎜, , ⎜Rn(k) ⎜)

(1.3.16) thoả mãn

⎜Rh(k) ⎜≤ εf

(1.3.17) hoặc

(1.3.18)

trong đó M là số bước lặp tối đa cho trước mà ta phải dừng mặc dù tại bước lặp

thứ M – 1 vẫn chưa

đảm bảo sai số

Nội dung tư tưởng của phương pháp nới lỏng : Biến đổi sao cho trong xấp xỉ tiếp theo,

sai số tương ứng với phương trình thứ h (sai số xấp xỉ có trị tuyệt đối lớn nhất) sẽ bằng

không Điều này thể hiện bởi các công thức (1.3.14), (1.3.15)

* Kiểm tra điều kiện xác định dương: a11 = 5 > 0

Sau khi đổi dấu 2 vế của phương trình thứ 2 ta tính được

0 0,2.0 0,4.0 1,2 1,2 0,25.0 0 0,25.0 0,5 0,5 0,5.0 0,25.0 0 0,25 0,25

R R R

ïï

íï ïï

cho nên ta chuyển sang bước sau với h = 1

R

ìï =ïï

íï ïï

0 0,85 0,85

(1) 02

R

ìï =ïï

-íï ïï

R

ìï =ïï

-íï ïï

ïí ïï ïï

Write('So buoc lap toi da la LMAX=');Readln(LMAX);

Write('Sai so EPS =');Readln(EPS);

If ABS(R[K1})<EPS then DK:=2 ELSE

Phương pháp nới lỏng

b1-Dừng ở xấp xỉ thứ 4 X(4) = ( 1,1 1,7475 1,1395 )

b2-Dừng ở xấp xỉ thứ 4 X(4) = ( 1,1 1,7475 1,1395 )

b3-Dừng ở xấp xỉ thứ 8 X(8) = ( 1,132094 1,830643 1,1152919 ) b4-Dừng ở xấp xỉ thứ 11 X(11) = ( 1,130200 1,884884 1,162042 )

c - Phương pháp Gauss-Seidel

Dừng ở xấp xỉ X(6) = ( 0,999477 –1,000426 0,999579 – 0,999930 )

Phương pháp nới lỏng

Dừng ở xấp xỉ X(18) = ( 1,41845 0,989316 0,543982 – 1,2 )

Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Trong thực tế ta gặp không ít các bài toán gắn liền với phương trình đại số

cấp cao hoặc siêu việt và hệ phương trình phi tuyến Ta biết rằng cách xấp xỉ hệ bởi

hệ tuyến tính dẫn đến sai số rất lớn Vì vậy trong chương này ta sẽ trình bày một số

phương pháp trực tiếp xấp xỉ nghiệm

2.1 Phương pháp chia đôi

Giải gần đúng phương trình

F(x) = 0 (2.1.1)

thoả mãn điều kiện

* F '(x) không đổi dấu trên [a ; b] (2.1.2)

* F(a)F(b) < 0 (2.1.3)

Nội dung của phương pháp

Lấy giá trị giữa của đoạn [a(k) ; b(k)] làm xấp xỉ thứ k+1 của

trong đó a(0) = a , b(0) = b và tính F(x(1))

* Nếu

⎜F(x(1)) ⎜ ≤ εf (2.1.5)

trong đó εf > 0, cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜F(x(1)) ⎜ > εf (2.1.6)

thì ta tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x(2) bởi công thức

(2) (1) (1)

2

x = + (2.1.7)

⎜x(2) – x(1) ⎜ ≤ εx (2.1.8)

trong đó εx > 0 cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x(2)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜x(2) – x(1) ⎜ > εx (2.1.9)

thì ta tính F(x(2))

* Nếu

⎜F(x(2)) ⎜ ≤ εf (2.1.10)

thì ta dừng ở x(2)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜F(x(2)) ⎜ > εf (2.1.11)

trong đó

a(k-1) = a(k-2) , b(k-1) = x(k-1) nếu F(a(k-2))F(x(k-1)) < 0 hoặc

a(k-1) = x(k-1) , b(k-1) = b(k-2) nếu F(b(k-2))F(x(k-1)) < 0 khi thoả mãn một trong các điều kiện

⎜x(k) – x(k - 1) ⎜ ≤ εx (2.1.13)

hoặc

⎜F(x(k)) ⎜ ≤ εf (2.1.14)

ïï ïï

íï ïï

ï = ïïî

ln

ln 2

b a x

-³ (2.1.16)

x = + =

Dấu của F(x) + + + + –

K,DK,M:Integer;

A,B,C,YA,YB,YC,EPSX:Real;

Function F(X:Real):Real;

Begin F:=sin(X) – 3*X + 2; End;

{Giải phương trình sinx – 3x + 2 = 0 trên [A;B] }

BEGIN

Write('A= ');Readln(A);

Write('B = ');Readln(B);

Write(' Sai so theo X : EPSX = ');Readln(EPSX);

M:=1+Trunc((ln(B- A)- ln(EPSX))/ln(2));

Writeln('So buoc lap toi thieu la',M);

thoả mãn điều kiện

* F '(x) không đổi dấu trên [a,b] (2.2.2)

* F(a)F(b) < 0 (2.2.3)

Nội dung của phương pháp

Nghiệm chính xác x* được xấp xỉ bởi x là hoành độ giao điểm dây

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜F(x(1)) ⎜ > εf (2.2.6)

thì tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x(2) bởi công thức

( )( )

( ) ( )

(1) (1) (1) (2) (1)

trong đó εx > 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x(2)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜x(2) – x(1) ⎜> εx (2.2.9)

trong đó

a(k - 1) = a(k - 2) , b(k - 1) = x(k - 1) nếu F(a(k - 2))F(x(k - 1)) < 0 hoặc

a(k - 1) = x(k - 1), b(k - 1) = b(k - 2) nếu F(b(k - 2))F(x(k - 1)) < 0

và dừng ở x(k) khi thoả mãn một trong các điều kiện

⎜x(k) – x(k - 1) ⎜ ≤ εx (2.2.11)

hoặc

⎜F(x(k)) ⎜ ≤ εf (2.2.12)

ïï ïï

íï ïï

ï = ïïî

Write(' Sai so theo ham : EPSF =');Readln(EPSF);

Write(' So buoc lap toi da M =');Readln(M);

thoả mãn điều kiện

* F '(x), F ”(x) không đổi dấu trên [a,b] (2.3.2)

* F(a)F(b) < 0 (2.3.3)

Nội dung của phương pháp

Nghiệm chính xác x* được xấp xỉ bởi x là hoành độ giao điểm

tiếp tuyến với trục 0x

trong đó εx > 0 , cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜x(1) – x(0) ⎜ > εx (2.3.6)

ta tính F(x(1))

* Nếu

⎜F(x(1)) ⎜ ≤ εf (2.3.7)

trong đó εf > 0 cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜F(x(1)) ⎜ > εf (2.3.8)

ta tính xấp xỉ thứ 2 theo công thức

( )

( )

(1) (2) (1)

( )

( 1) ( ) ( 1)

hoặc

⎜ F(x(k)) ⎜ ≤ εf (2.3.12)

ïï ïï

íï ïï

ï = ïïî

* *

* *

Dấu của F”(x) 0 – – x(1) –

x(2) 1 x

thoả mãn điều kiện

* F '(x) không đổi dấu trên [a ; b] (2.4.2)

* F(a)F(b) < 0 (2.4.3)

Nội dung của phương pháp

Giải phương trình sau đây tương đương với (2.4.1)

x = ϕ(x) (2.4.4)

trong đó hàm ϕ(x) thoả mãn các điều kiện:

⎜ϕ’(x) ⎜ ≤ q < 1 , ∀x ∈ [a ; b] (2.4.5)

ϕ (x) ∈ [a ; b] , ∀x ∈ [a ; b] (2.4.6)

* Cho tuỳ ý xấp xỉ ban đầu của nghiệm là x(0) ∈ [a;b]

* Tính xấp xỉ thứ nhất của nghiệm là x(1) = ϕ (x(0))

* Nếu

⎜x(1) – x(0) ⎜ ≤ εx (2.4.7)

trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở x(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜x(1) – x(0) ⎜ > εx (2.4.8)

ta tính F(x(1))

* Nếu

⎜F(x(1)) ⎜ ≤ εf (2.4.9)

trong đó εf > 0, cho trước (sai số đối với hàm) thì ta dừng ở x(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

⎜F(x(1) ⎜ > εf (2.4.10)

ta tính xấp xỉ thứ hai của nghiệm là x(2) = ϕ (x(1))

hoặc

⎜F(x(1) ⎜ ≤ εf (2.4.12)

ïï ïï

íï ïï

ï = ïïî

= + = ϕ(x) không thoả mãn (2.4.6) vì ϕ(2) = 1 1

2 + = 43 ∉ [1 ; 2]

* Cách biến đổi

x= 3 x+ 1 = ϕ(x)

2.5 Phương pháp Newton-Raphson cho hệ phương trình

Giải hệ phương trình phi tuyến

1 1

1

( , , ) 0

Xấp xỉ hệ đã cho bởi hệ dừng ở đạo hàm riêng cấp 1 theo khai triển Taylor của

trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

X(2) = X(1) – (J(X(1)))- 1F(X(1)) (2.5.10)

* Một cách tổng quát

Ta dừng lại ở xấp xỉ thứ k của nghiệm

X (k) = X (k - 1) – (J(X (k - 1))) - 1F(X (k - 1)) (2.5.11)

thoả mãn một trong các điều kiện sau đây

2 1

Vì vậy ta dừng ở xấp xỉ thứ hai của nghiệm X (2) = ( 0,093468 – 0,193519 )

Write('Xap xi ban dau X(0) ');

Write('X1(0)=');Readln(X10);Write('X2(0)=');Readln(X20);

{ D11 là đạo hàm riêng của F1 theo X1 tại (X10,X20),

D12 là đạo hàm riêng của F1 theo X2 tại (X10,X20),

D21 là đạo hàm riêng của F2 theo X1 tại (X10,X20),

D22 là đạo hàm riêng của F2 theo X2 tại (X10,X20) }

2.6 Phương pháp lặp Seidel cho hệ phương trình

Giải hệ phương trình phi tuyến

( , , ) 0

1 1

Giải hệ sau đây tương đương vơi hệ (2.6.1) :

1 1 1

1

( , , )

ïï = ïî

g x

=

¶ å

ïïí ïï ïï

ïï =ïïïî

trong đó εx > 0, cho trước (sai số đối với nghiệm) thì ta dừng ở X(1)

* Ngược lại, có nghĩa là

thay xấp xỉ thứ nhất X(1) = (x1(1) xn(1)) của nghiệm vào vế phải của (2.6.2)

để tìm xấp xỉ thứ hai của nghiệm là X(2) = (x1(2) xn(2))

ïïí ïï ïï

ïï =ïïïî

-ìïï = ïï ïï

ïïí ïï ïï

ïï =ïïïî

* Thay xấp xỉ ban đầu của nghiệm là X(0) để tìm xấp xỉ thứ nhất X(1) = (x1(1) x2(1))

x x

ïïï íï

-ïïî

* Tính sai số theo công thức (2.6.5)