Bài giảng phương pháp tính đại học mỏ địa chất

Đánh giá sai sô tổng quát Trong mọi phương pháp gần đúng để tìm nghiệm của phương trình fx = 0, ta có thể sử dụng đánh giá sai số tổng quát sau đây Định lý: Giả sử hàm số fx liên tục tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT

BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH

THÁNG 09/2014

Chương 1 SAI SỐ

-

Trong các bài toán kỹ thuật, giá trị các đạ i lượng dùng trong tính toán thường không được biết một cách chính xác Chúng ta làm việ c chủ yếu với giá trị gần đúng củ a các đại lượng mà thôi Khi đó, độ lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị đúng gọi là sai số

1 Số xấp xỉ Gọi a là số xấp xỉ của số đúng A, nếu a sai khác A không đáng kể và được

dùng thay cho A trong tính toán Ký hiệu là a ≈ A

2 Sai số tuyệt đối Đại lượng ∆a = |a - A| được gọi là sai số tuyệt đối của của số xấp xỉ a Thực tế, không biết số đúng A, nên cũng không thể biết chính xác sai số tuyệt đối Vì vậy,

ta gọi sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a là đại lượng ∆a, càng bé càng tốt, sao cho |a - A| ≤ ∆a

Từ bất đẳng thức trên, ta có a - ∆a ≤ A ≤ a - ∆a

Vậy giá trị của số đúng A được viết như sau: A = a ± ∆a

3 Sai số tương đối

a

a

   gọi là sai số tương đối của số a

Sai số tương đối cho biết mức độ tin cậy của số xấp xỉ Sai số tuyệt đối không phản ánh được điều đó Giả sử đo chiều dài của hai cung đường, được kết qủa:

S1 = 1500m ± 50cm

S1 = 10m ± 50cm Hai phép đo có cùng sai số tuyệt đối nhưng phép đo trước chính xác hơn phép đo sau

4 Chữ số đáng tin Cho số xấp xỉ a với sai số ∆a Giả sử a được viết dưới dạng thập phân

Ví dụ: cho a = 21.53674, sai số Δ = 0.004 Có 2  ≤   Các chữ số đáng tin là các chữ số trước chữ số thập phân thứ 2, đó là 2,1,5,3 Các chữ số còn lại là đáng nghi

Nếu sai số là Δ = 0.006 Thì 2Δ = 0.012 ≤ 10-1 Chữ số đáng tin là chữ số thập phân thứ nhất Các chữ số thập phân còn lại là đáng nghi

5 Cách viết số xấp xỉ

Cách thứ nhất: Viết số xấp xỉ kèm theo sai số tuyệt đối Chẳng hạn 12,345 ± 0,005 Cách

này dùng để biểu diễn kết quả tính hoặc phép đo

Cách thứ hai: Viết số xấp xỉ theo quy tắc: Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin Ví dụ khi viết

a = 1.26 thì sai số được hiểu là 0.005 (hoặc nhỏ hơn) Cách này thường dùng trong các bảng số lập sẵn

6 Sự quy tròn số Khi tiến hành tính toán, nếu số a có quá nhiều chữ số không tiện cho

tính toán hoặc không ghi hết được vào máy tính, ta phải bỏ đi vài chữ số cuối để nhận được

số gần đúng a1 Việc làm đó gọi là sự quy tròn Biểu thức | a - a1| được gọi là sai số quy tròn

Quy tròn số phải theo quy tắc: Sai số quy tròn không được vượt quá nửa đơn vị của chữ số giữ lại cuối cùng bên phải Như vậy, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5 thì thêm 1 vào chữ số giữ lại cuối cùng Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

Ảnh hưởng của sai số quy tròn Xét ví dụ: Nếu khai triển nhị thức Newton, được công thức

a) Công thức tổng quát Giả sử phải tính biểu thức u = f(x1, ,xn), với sai số của mỗi xi là

Δi Gọi Xi và Ui là giá trị đúng của của các số xấp xỉ xi, ui tương ứng Theo công thức số gia hữu hạn, có

, ,1

1 1

Rõ ràng kết quả tốt hơn và sai số trong trường hợp này nhỏ hơn nhiều cách tính trực tiếp

c) Sai số của tích và thương Theo công thức tổng quát: nếu u = x1x2 hoặc u = x1/x2, đều có

9 Bổ sung: Kỹ năng sử dụng máy tính Casio - f 500

a) Ô nhớ thanh tổng Ans: Để gán giá trị cho Ans, ta bấm giá trị cần gán rồi bấm dấu =

Từ lúc này, giá trị ô nhớ thanh tổng được duy trì cho đến khi gặp lệnh gán khác

b) Thực hiện phép tính lặp: Ví dụ cần tính xn+1 = xn 2 - 2xn + 4, với x1 = 1 Thực hiện theo thứ tự sau: Gán 1 cho ans / bấm ans ans - 2ans + 4 / bấn dấu = liên tiếp n+1 lần

c) Sử dụng ô nhớ khác: Để gán giá trị cho ô nhớ bất kỳ (có 9 ô nhớ), ta bấm giá trị cần gán, rồi bấm lần lượt Shift / Sto (phím RCL) / bấm chữ cái là tên ô nhớ Có 9 chữ cái là a (phím (-)), b (phím ,,,), c (phím hyp) v.v

Muốn sử dụng giá trị của ô nhớ nào đó, bấm Alpha / bấm phím chữ tương ứng

I KHOẢNG PHÂN LY NGHIỆM VÀ SAI SỐ TỔNG QUÁT

1 Định nghĩa Gọi [a,b] là khoảng phân ly nghiêm của phương trình f(x) = 0 nếu khoảng

này chứa đúng một nghiệm của phương trình đã cho

Việc xác định khoảng phân ly nghiệm là yêu cầu bắt buộc để thực hiện được các phương pháp được trình bày dưới đây

2 Cách xác định khoảng phân ly

Để tìm khoảng phân ly nghiêm, ta vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Việc này được thực hiện dễ dàng nhờ một số phầm mềm thông dụng như Graph, Mathlable, Dựa vào đồ thị,

dễ dàng xác định được khoảng phân ly Muốn chính xác, ta dùng định lý sau:

Định lý: Nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên [a,b], f(a)f(b) < 0, có đạo hàm f '(x) không đổi dấu trên (a,b), thì [a,b] là khoảng phân ly nghiệm

Dưới đây là một số đồ thị mà dựa vào đó, bạn đọc dễ dàng xác định được các khoảng phân lý nghiệm tương ứng

2

21

x y

x

-15 -10 -5 5 10 15

-10

10

x y

y = |𝑥| − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2

3 Đánh giá sai sô tổng quát

Trong mọi phương pháp gần đúng để tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, ta có thể sử dụng đánh giá sai số tổng quát sau đây

Định lý: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) Gọi x* và α là nghiệm gần

đúng và nghiệm đúng trong khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 Khi đó

II PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

1 Thuật toán Xét bài toán f(x) = 0 Luôn giả thiết f(a)f(b) < 0, và khoảng phân ly nghiệm

Nếu f(x1)f(a1) > 0 thì lập khoảng mới [a2,b2] với a2 = x1, b2 = b1 (hình 1)

Nếu f(x1)f(a1) < 0 thì lập khoảng mới [a2,b2] với a2 = a1, b2 = x1 (hình 2)

a x1 b

Hình 1

a x1 b

Hình 2

Thật vậy, có a ≤ an ≤ xn ≤ bn ≤ b, nên dãy {an} bị chặn trên, dãy {bn} bị chặn dưới

Do đó tồn tại các giới hạn liman, limbn Lại có lim(an-bn) = lim(b-a)/2n = 0, nên liman = limbn Đặt α = liman = limbn

Có f(α) = limf(an) = limf(bn) Vì f(an) và f(bn) luôn trái dấu, nên f(α) = 0 Vậy α là nghiêm Lại do xn bị kẹt giữa an và bn nên cũng có limxn = α ĐPCM

3 Sai số Do xn là trung điểm của [an,bn] và xn-1 là một trong hai mút an hoặc bn, nên

Ví dụ: Giải phương trình x3 - x - 1 = 0, bíêt khoảng phân ly nghiệm là [1,2]

Giải: f(1) < 0, f(2) > 0 Kết quả được ghi trong bảng sau

f(an)<0

bn f(bn)>0

+ Nếu giá trị hàm số tại f(xn) cùng dấu với giá trị hàm tại đầu mút bên nào, thì mút ấy đổi thành giá trị mới, mút còn lại để nguyên Trong bảng, các giá trị gạch dưới là các mút được đổi mới

II PHƯƠNG PHÁP LẶP

1 Thuật toán Xét bài toán f(x) = 0 Luôn giả thiết f(a)f(b) < 0, và khoảng phân ly nghiệm

là [a,b]

Bước 1 Đưa phương trình về dạng x = φ(x), trong đó φ(x) là hàm số liên tục, thoả mãn

điều kiện hội tụ :

i) |φ'(x)| ≤ q < 1 ii) φ(x)  [a,b]

Bước 2 Chọn điểm xuất phát tuỳ ý x0 [a,b]

Bước 3 Lập dãy nghiệm xấp xỉ theo công thức sau:

x1 = φ(x0), x2 = φ(x1), , xn = φ(xn-1) (2.3) Khi đó dãy {xn} sẽ hội tụ về nghiệm đúng của phương trình đã cho

Thật vậy Gọi x* là nghiệm, x* = φ(x*) Vậy xn - x* = φ(xn-1) - φ(x*) = (công thức số gia hữu hạn được) = φ'(c)(xn-1- x*) Từ đó có dãy các đánh giá liên tiếp

q

q q

Thật vậy, theo (2.4) có |xn - x*| ≤ q|xn-1 - x*| = q|xn-1 - xn + xn - x*| ≤ q|xn-1 - xn|+ q|xn - x*| Chuyển vế nhận được công thức (1)

Ngoài ra, trên đoạn [1, 2] có  x  3 x 1  1, 2

Vậy chọn điểm xuất phát tuỳ ý trong khoảng [1,2], chẳng hạn x0 = 1, được

III PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG

1 Thuật toán Biết trước [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ngoài

ra, f(x) là hàm số liên tục và các đạo hàm f '(x), f ''(x) có dấu không đổi trên (a,b)

Trước tiên ta xây dựng thuật toán trong hai trường hợp riêng

Dễ dàng chứng minh được dãy [xn} sẽ hội tụ về nghiệm đúng x*

Thật vậy, dãy {xn} là dãy giảm, bị chặn dưới, nên tồn tại x* = lim xn Lấy giới hạn hai vế

2 Sai số Giả sử trên [a,b], có M ≥ f '(x) ≥ m Khi đó dãy nghiệm gần đúng của phương

pháp dây cung thoả mãn đánh giá

IV PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN

1 Thuật toán Biết trước [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ngoài

ra, f(x) là hàm số liên tục và các đạo hàm f '(x), f ''(x) có dấu không đổi trên (a,b)

a) Trường hợp f(a).f ''(x)>0 Chọn điểm xuất phát x0 = a

Phương trình tiếp tuyến tại A là y f x 0  f ' x0 xx0

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là  

Thật vậy, dãy {xn} là dãy tăng, bị chặn trên, nên tồn tại x* = lim xn Lấy giới hạn hai vế của (2.10), đƣợc  

 

*0

1 1

*2

Thực hiện sơ đồ Hocner tại x0, dễ dàng tìm được phần dư bn Khi đó Pn(x0) = bn

Tính giá trị đa thức P = x4 + x3 + 2x2 + x + 1 tại x = 2,01

Chỉ giữ lại hai chữ số lẻ trong các phép tính trung gian

3 Viết đa thức theo luỹ thừa của (x-x 0 )

Áp dụng liên tiếp sơ đồ Hocner tại x0, ta thu được khai triển đa thức cho trước theo luỹ thừa của (x-x0)

Ví dụ: Viết đa thức P = x4 - x3 + 2x2 + x - 1 theo các luỹ thừa của (x-2)

Giải: Thực hiện sơ đồ Hocner liên tiếp:

1

5 Tìm nghiệm gần đúng của đa thức (Phương pháp Muller)

Xét phương trình P(x) = 0, trong đó P(x) là đa thức

Bước 1: Chọn ba giá trị tuỳ ý x0, x1, x2 làm nghiệm xấp xỉ ban đầu

Bước 2: Lập tam thức bậc hai đi qua ba điểm (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)):

(vì c = f 2 là số gần 0, vậy dùng công thức này để giảm thiểu sai số tính toán)

Với bộ ba số x1, x2, x3 , lặp lại quá trình trên Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi |xn - xn-1| <

ε với ε là sai số cho trước

Phương pháp trên gọi là phương pháp Muller Phương pháp này có thể áp dụng cho phương trình f(x) = 0 tuỳ ý

Ví dụ: Giải gần đúng phương trình 6x4- 40x3 + 5x2 + 20x + 6 = 0 Sai số định trước 10-5 Giải: Chọn x0 = 0,5 ; x1 = 1 ; x2 = 1,5 ta được

4 1.23746 0,12695 0,00281 17,13164 -30,6915 0,12695

5 1,24160 0,00219 -0,00001 5,69230 -30,0678 0,00219

6 1,24168 -0,00000 -0,00000 3,83890 -30,0749 -0,00000

7 1,24168 0,00000 Trở ngại lớn nhất của phương pháp Muller là nghiệm x3 nhận giá trị phức Với hàm số f(x) bất kỳ, tính giá trị hàm tại giá trị phức là khó khăn Nếu f(x) là đa thức, dùng sơ đồ Hocner, với cách lập trình đặc biệt, vẫn tính được f(x3) Vì vậy phương pháp Muller chỉ thích hợp

để giải phương trình đa thức

BÀI TẬP VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau với sai số ≤ 10-3 bằng các phương pháp chia đôi:

a) x3  3 x   4 0 = 0;

b) xex   1 0

Bài 2 Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình x+lnx-10=0 với sai số ≤

10-3 bằng phương pháp dây cung

Bài 3 Tính gần đúng nghiệm dương của phương trình x2 - cos4x = 0 bằng phương pháp Newton với n=3 (các giá trị lấy đến 4 chữ số sau dấu phẩy) và đánh giá sai số

Bài 4 Tính gần đúng nghiệm dương của phương trình x2 - sin2x = 0 bằng phương pháp Newton với n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá sai số

Bài 5 Tính gần đúng nghiệm dương của phương trình 3x2 - sin  x = 0 bằng phương pháp Newton với n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá sai số

Bài 6 Tính gần đúng nghiệm lớn nhất của phương trình x4 - 5x - 2 = 0 bằng phương pháp lặp với n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá sai

số

Bài 7 Cho phương trình 2  x  10  0

e

phương trình trên bằng phương pháp lặp với n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá sai số

Bài 8 Dùng phương pháp Newton giải gần đúng nghiệm lớn nhất của

Chương 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Gọi A là ma trận hệ số, b là cột tự do và x là véc tơ ẩn, thì hệ được viết dưới dạng

ma trận Ax = b Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo A -1 thì nghiệm của hệ tồn tại và duy nhất, tính theo công thức Cramer x = A -1 b Khi n có giá trị lớn, việc tìm nghiệm theo công thức này đòi hỏi nhiều phép tính, vì vậy chúng ta sẽ đưa ra đây các phương pháp khác giải hệ

đã cho

I PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

1 Thuật toán

a) Quá trình thuận Đưa hệ (3.1) về dạng tam giác

Bước 1: Gọi phần tử a11 là phần tử trụ Luôn có thể coi a11 ≠ 0 và là số có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong các hệ số của cột 1 (bằng cách đổi chỗ các phương trình cho nhau, điều kiện này luôn thỏa mãn) Chia phương trình đầu cho a11 Đặt a1

1j = a1j / a11 , b11 = b1 / a11, với mọi j = 1,2, ,n Ta được

2

n n n n

Nhân phương trình (1) với a21 rồi trừ vào phương trình (2) Nhân phương trình (1) với a31 rồi trừ vào phương trình (3)

Cứ tiếp tục như vậy cho đến phương trình cuối cùng, được hệ tương đương

n

x x

x x

x x

n

x x

x x

Lặp lại bước 1 cho đến hết Cuối cùng nhận được hệ tam giác, tương đương với hệ ban đầu như sau:

1

2 2

6,86 5,86 4,43 0

II PHƯƠNG PHÁP GAUSS - JORDAN

Phương pháp Gauss - Jordan là một biến dạng của phương pháp Gauss Điểm khác biệt là: Ở mỗi bước khử hệ số của ẩn xj, ta không chỉ khử với các phương trình từ thứ j+1 đến hết, mà khử đối với tất cả các phương trình, trừ ra chính phương trình thứ j

Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss - Jordan

III PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ HAI TAM GIÁC

1 Thuật toán hai tam giác

Xét hệ phương trình Ax = b Nếu ma trận A được phân tích thành tích A = D.T, trong

đó D là ma trận tam giác dưới, T là ma trận tam giác trên, thì hệ được giải một cách dễ dàng bằng hai lần khử liên tiếp Điều kiện để phân tích được như trên là det(A) ≠ 0 Dưới đây chúng ta nêu thuật toán để tìm D và T, gọi là thuật toán hai tam giác

Cho ma trận A không suy biến, A = (aij) Khi đó luôn phân tích được :

i i

Cách tính cột tiếp theo của D như sau:

= 1∆ [ x - (Hàng D trong ô vuông) (cột T trong ô)]

Ma trận T

Quy tắc thực hiện

Bước 1: Tính hàng đầu của T và cột đầu của D: Hàng đầu tiên của T là hàng đầu của A

Cột đầu tiên của D là cột đầu của A, sau khi đã chia cho a11

Bước 2: Tính các hàng 2 của T và cột 2 của D: Hàng của T được tính trước, và bắt đầu từ

phần tử trên đường chéo, rồi tính dần sang bên phải Tiếp đến tính cột của D, bắt đầu từ phần tử dưới đường chéo, rồi tính dần xuống dưới Riêng phần tử trên đường chéo của D luôn là 1

Bước 3: Tính hàng và cột tiếp theo Thực hiện giống bước 2 cho đến hết Giả sử đã tính

được k hàng của T và k cột của D Khi đó cách tính hàng tiếp theo của T được mô tả như

Giải tiếp hệ Tx = y, với y tìm được ở trên Do T là ma trận tam giác trên, nên khử nghiệm

từ dưới lên trên, được x = (-1 ; 2 ; 0 ; 1)

2 Giải hệ tuyến tính ba đường chéo chính

Phương pháp nhân tử hai đường chéo đặc biệt tiện lợi khi ma trận A là ma trận ba đường chéo chính Khi đó số phép toán giảm đáng kể Các phần tử của đường chéo trên cùng là không thay đổi

Ví dụ: Giải hệ

1 2 3 4

30111

y y y y

1221

x x x x

IV TÌM MA TRÂN NGHỊCH ĐẢO

V CHUẨN MA TRẬN & SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Chuẩn ma trận Cho ma trận A = (aij) Khi đó, Các đại lượng sau đây được gọi là chuẩn của ma trận A:

2 Sự ổn định của hệ phương trình tuyến tính

Với mỗi hệ phương trình tuyến tính, nếu một sự thay đổi nhỏ của các hệ số dẫn đến

sự thay đổi lớn về nghiệm, thì hệ đó được gọi là không ổn định Ngược lại, hệ được gọi là

ổn định

Để nhận biết hệ có ổn định không, ta giải thêm hệ Ax = b1, trong đó b1 sai khác rất

ít b, rồi so sánh kết quả Nếu hai nghiệm khác nhau không đáng kể thì hệ là ổn định

Người ta thường dùng đại lượng sau đễ xét tính ổn định Đặt Cond(A) = ||A||.||A-1

Khi đó x = x0

+ x1 là nghiệm tốt hơn x0

Muốn tăng độ chính xác, ta lặp lại quá trình trên nhiều lần

VI PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

1 Thuật toán Cần tìm nghiệm gần đúng của hệ Ax = b (3.5)

Bước 1: Đưa hệ về dạng tương đương

Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp lặp đơn

x x

Chuẩn cột của ma trận B là max{0,08 ; 0,08 ; 0,03} = 0,08 < 1

Vậy áp dụng công thức lặp đơn với nghiệm xuất phát (2,3,5) được

Giải thích cách thực hiện: Hàng 1 là nghiệm xuất phát

Tính hàng 2 theo hàng 1 như sau:

Lấy hàng (1) nhân tương ứng với hàng (a) rồi công với 2 được phần tử x 2 1

Lấy hàng (1) nhân tương ứng với hàng (b) rồi công với 3 được phần tử x 2 2

Lấy hàng (1) nhân tương ứng với hàng (c) rồi công với 5 được phần tử x 2 3

Tính hàng 3 theo hàng 2 cũng giống như trên

Sai số: Có |x3 - x2| = max {0,000172 ; 0,000548 ; 0,000194} = 0,000548

VII PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEL (lặp kép)

1 Thuật toán Giải phương trình x = Bx + b, trong đó B thỏa mãn ||B|| < 1 Phân tích B

Khác biệt duy nhất giữa phương pháp lặp Seidel với lặp đơn là ở chỗ: Ở mỗi bước tính xk, thành phần xkj được tính theo các thành phần được tính trước đó xk1, xk2, , xkj-1

Vi dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp lặp Seidel

x x

Giải thích cách thực hiện: Hàng 1 là nghiệm xuất phát

Tính hàng 2 theo hàng 1 như sau:

BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với bốn bước lặp và ước lượng sai số:

.55,115

,55,05,0

51,33

,003,306,0

40,42,004,002,2

3 2

1

3 2

1

3 2

x

x x

x

x x

x

Bài 2 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với bốn bước lặp và ước lượng sai số:

.70,22

,01,0

41,22,002

,0

07,03,002,001,1

3 2 1

3 2

1

3 2

x x

x

x x

3 06

, 0 3 09 , 0

2 1 , 0 1 , 0 2

3 2 1

3 2

1

3 2

1

x x x

x x

x

x x

, 5 5 , 0 5 , 0

51 , 3 3

, 0 03 , 3 06 , 0

40 , 4 2 , 0 04 , 0 02 , 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

,55,05,0

51,33

,003,306,0

40,42,004,002,2

3 2

1

3 2

1

3 2

x

x x

x

x x

x

Bài 6 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp kép với ba b-íc lÆp và -íc l-îng sai sè:

.70,22

,01,0

41,22,002

,0

07,03,002,001,1

3 2 1

3 2

1

3 2

x x

x

x x

x

Chương 4 ĐA THỨC NỘI SUY

Một đa thức Pn(x), bậc không quá n, được gọi là đa thức nội suy của hàm f(x) nếu thỏa mãn điều kiện

Pn(xk) = yk , với mọi k = 0, 1, 2, , n

Dễ thấy rằng đa thức nội suy, nếu tồn tại thì duy nhất

Khi tìm được đa thức nội suy, người ta lấy đa thức nội suy tìm được để thay thế hàm gốc ban đầu Có hai lý do chính sau đây:

+ Thứ nhất, hàm ban đầu chỉ được biết giá trị tại các điểm rời rạc Các giá trị này nhận được từ quá trình đo đạc thực nghiệm Chúng ta cần phải tính giá trị hàm tại những điểm trung gian giữa hai mốc nội suy

+ Thứ hai, dù biết trước công thức hàm ban đầu, nhưng công thức này quá phức tạp Vì vậy thay thế hàm bằng đa thức nội suy là hợp lý hơn cả

Dưới đây, chúng ta đưa ra các phương pháp tìm đa thức nội suy của hàm số cho trước

I ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Chú ý rằng Ik khuyết (x - xk) ở tử số, và khuyết (xk - xk) ở mẫu số Vậy có thể viết:

Dễ thấy Ln(xk) = yk)  k Vậy đa thức Ln(x) là đa thức nội suy hàm (4.1)

2 Sai số Đặt Mn+1 = max { |f(n+1)(x)| : x [a,b] } Khi đó  x  a b, , có

     0 1      1  

1 !

n n n

1 !

n n

n

n n n

f t L t n f

Đánh giá (4.4) là hệ quả trực tiếp của (4.3) ĐPCM

Chú ý: Theo (4.4), khi tính gần đúng f(x), sai số càng bé nếu x nằm trong [a,b] và gần các

điểm nội suy Sai số càng lớn nếu x nằm ngoài và xa hai điểm nội suy biên Vậy đa thức nội suy chỉ thích hợp để tính gần đúng giá trị hàm tại các điểm trong nút Đó là lý do người

ta gọi là đa thức nội suy

Ví dụ: Cho hai bảng giá trị hàm dưới đây Tìm đa thức nội suy Lagrange và tính giá trị

hàm tại x = 2,1 Đánh giá sai số, biết giá trị lớn nhất của các đạo hàm không vượt quá 1

Giải bảng (1): Đa thức Lagrange là

M

II ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

1 Tỷ hiệu Xét hàm (4.1) Ta gọi biểu thức sau là tỷ hiệu cấp 1 của f(x):

5 10

x y

a) Tỷ hiệu không phụ thuộc thứ tự điểm nội suy Chẳng hạn f[xi,xi+1]=f[xi+1,xi]

b) Đối với đa thức bậc n, tỷ hiệu bậc n là hằng số, tỷ hiệu bậc n+1 là 0

tỷ hiệu cấp 3

tỷ hiệu cấp 4

1

-2/3 5/6 -1/6

3/10 -1/4 -11/120

2 Đa thức nội suy Newton

a) Đa thức nội suy Newton tiến

Xét hàm số (4.1) Lập bảng tỷ hiệu của nó Khi đó đa thức sau

Bây giờ ta chứng minh P là đa thức nội suy của hàm f(x) như sau:

Nếu đặt R(x) = f x x , 0, x n xx0xx1  xx n thì dễ thấy R(xk) = 0 với mọi k =

0, 1, Thế vào (4.5) sẽ thấy P là đa thức nội suy của hàm f ĐPCM

b) Đa thức nội suy Newton lùi

Tỷ hiệu không phụ thuộc thứ tự điểm nội suy, nên cũng có đa thức nội suy Newton lùi như sau

P x  f x  f x x xx   f x x x xx xx (4.6)

3 Sai số Vì các đa thức nội suy của cùng một hàm số là duy nhất, nên sai số của đa thức

nội suy Newton cũng là của đa thức Lagrange

Ví dụ: Lập thức nội suy Newton của hàm số

1 2 3 4 5 6

2 4 6

x y

Giải: Tỷ hiệu các cấp được thành lập theo bảng sau (theo ví dụ trước)

cấp 1

tỷ hiệu cấp 2

tỷ hiệu cấp 3

tỷ hiệu cấp 4

1

-2/3 5/6 -1/6

3/10 -1/4 -11/120

Vậy đa thức nội suy Newton tiến là

Hai đa thức trên là trùng nhau

Nếu rút gọn, kết quả chung là Pn(x) =

4 Ưu điểm của đa thức Newton Muốn tăng độ chính xác khi nội suy hàm số, ta phải

tăng số điểm nội suy Nếu xây dựng đa thức Lagrange thì phải xây dựng lại từ đầu Nhưng nếu xây dựng đa thức Newton thì vẫn sử dụng được các kết quả trước đó Đây chính là ưu điểm nổi bật của đa thức nội suy Newton so với Lagrange

Ví dụ: Lập thức nội suy Newton của hàm số

x y

P5 = -0.03x5 + 0.39x4 - 1.53x3 + 1.51x2 + 1.45x + 1

đa thức nội suy

5 Đa thức nội suy Newton khi các điểm nội suy cách đều

Nếu các điểm nội suy cách đều xk - xk-1 = h, hay xk = x0 + kh, k, thì đa thức nội suy sẽ đƣợc viết đơn giản hơn

a) Hiệu hữu hạn Gọi yk+1 - yk là hiệu hữu hạn tiến cấp 1 của f(x) tại xk Ký hiệu là yk Gọi yk+1 - yk là hiệu hữu hạn lùi cấp 1 của f(x) tại xk+1 Ký hiệu là yk+1

y i là hiệu hữu hạn lùi cấp k tại x i+1

Cũng giống tỷ hiệu, hiệu hữu hạn cấp n của đa thức cấp n là hằng số Hiệu hữu hạn cấp n+1 của đa thức cấp n là 0

b) Liên hệ với tỷ hiệu

Giải: Bảng hiệu hữu hạn:

x y hiệu cấp 1 hiệu cấp 2 hiệu cấp 3 hiệu cấp 4

0 1/5 2/5 3/5 4/5

2

4 -2

3

4

2 -6

5

1

-8

11 -4

19 -15

-34

Đa thức Newton tiến là

III ĐA THỨC NỘI SUY SPLINE

Việc xây dựng một đa thức đi qua tất cả các điểm nội suy khi n lớn là công việc khá khó khăn Một cách khắc phục là giữa hai điểm nội suy liên tiếp, ta thay hàm số bởi đa thức có bậc cố định m, với m < n Ngoài ra, khi dán các đa thức này với nhau để nhận được hàm thay thế thì tính khả vi phải được bảo đảm Những hàm thay thế như vậy gọi là Spline bậc

m (đường nối trơn) Spline thông dụng nhất là bậc 3 mà ta xét sau đây

1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) dưới dạng bảng (4.1) Một Spline bậc ba g(x) nội suy

hàm f(x) trên [a,b] là hàm thỏa mãn các điều kiện sau

a) g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]

b) Trên mỗi đoạn con [xk,xk+1], hàm g(x)  gk(x) là đa thức bậc 3

c) g(xk) = yk với mọi k =0, 1, 2,

d) Thỏa mãn một trong hai điều kiện biên sau đây:

i) g''(x 0 ) = g''(x n) = 0 (điều kiện tự nhiên) ii) g''(x 0 ) = f ''(x 0 ) ; g''(x n ) = f ''(x n ) (điều kiện ràng buộc)

Một Spine thỏa mãn điều kiện biên tự nhiên, gọi là Spline tự nhiên Thỏa mãn điều kiện biên ràng buộc gọi là Spline ràng buộc

2 Thuật toán tìm Spline

Đặt hk = xk+1 - xk Gọi gk(x) là đa thức bậc ba cần tìm trên đoạn [xk,xk+1]

Bước 1: Lập hệ gồm (n+1) phương trình, và (n+1) ẩn m0 , m1 , , mn (các ẩn này chính là các đạo hàm bậc hai của hàm nghiệm g(x) tại các mốc nội suy tương ứng)

1 0

   3  3    

16

IV PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

Cho hàm số y = f(x) Bằng thực nghiệm, có thể tìm được bảng giá trị sau

x x1 x2 xn

(4.9)

y y 1 y 2 y n Nếu biết trước được dạng của hàm số thì có thể tìm được hàm xấp xỉ (còn gọi là công thực nghiệm của hàm) bằng phương pháp bình phương tối thiểu như trình bày dưới đây

Đây là hệ hai phương trình hai ẩn Giải hệ, tìm được a và b

Ví dụ: Lập công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b cho hàm

Đây là hệ 3 phương trình 3 ẩn Giải hệ, tìm được a , b và c

Ví dụ: Cho hàm bảng dưới đây Lập công thức thực nghiệm của hàm f(x) biết nó có dạng