Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 08

Trong bài trình bày này chúng tôi chỉ khảo sát các phương trình đại số và siêu việt một biến số thực.. Điều này nói lên rằng việc tìm nghiệm một phương trình có thể đưa về việc tìm điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA TOÁN – TIN

TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2015

GIẢNG VIÊN : TS TRỊNH CÔNG DIỆU THỰC HIỆN : NHÓM 8 – VB2 TOÁN – KHÓA 2

01 : HUỲNH VĂN AN

02 : ĐOÀN NHẬT MINH

03 : NGUYỄN VĂN THI

04 : PHẠM THỊ HỒNG THƯ

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

II VẤN ĐỀ KHẢO SÁT 1

II.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1

II.1.1 Định nghĩa (Định nghĩa về hàm co từ  a b vào ,  a b ) 1,

II.1.2 Định lý 1 1

II.1.3 Định lý 2 (Định lý Banach về điểm bất động của hàm co từ  a b vào ,  a b ) 2,

II.1.4 Định lý 3 (Định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục) 3

II.1.5 Phương pháp tính 4

II.2 THUẬT TOÁN TƯƠNG ỨNG 7

II.3 VÍ DỤ MINH HỌA 8

III KIẾN THỨC MỞ RỘNG 18

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Trong bài trình bày này chúng tôi chỉ khảo sát các phương trình đại số và siêu việt một biến số thực

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình f x 0, có rất nhiều cách để chuyển phương trình này thành phương trình  x x, một cách khá đơn giản đó là đặt  x  f x x, như vậy x* là một nghiệm của phương trình f x 0 nếu và chỉ nếu x* là nghiệm của phương trình  x x hay x* là một điểm bất động của hàm  Điều này nói lên rằng việc tìm nghiệm một phương trình có thể đưa về việc tìm điểm bất động của một hàm số

Các định lý điểm bất động đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, siêu việt và phương trình vi phân… Trong số các định lý điểm bất động thì định lý điểm bất động của Banach là một định lý không những giúp ta chứng tỏ được

sự tồn tại nghiệm của một phương trình, tính duy nhất của nghiệm đó mà còn chỉ ra một phương pháp để sau một số bước tính hữu hạn ta có thể tìm được nghiệm gần đúng của phương trình với sai

số không quá  cho trước Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về cách xác định giá trị gần đúng cho nghiệm của phương trình sử dụng định lý điểm bất động Banach

II VẤN ĐỀ KHẢO SÁT

II.1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

II.1.1 Định nghĩa (Định nghĩa về hàm co từ  a b vào ,  a b ) ,

Nếu hàm số :   a b,  a b, và tồn tại 0 c 1 sao cho:

 x   y c xy ,x y,  a b,

Thì  được gọi là hàm co từ  a b vào ,  a b và c được gọi là hệ số co ,

Nhận xét: Trong nhiều trường hợp, việc dùng định nghĩa để chứng tỏ một hàm có tính chất

co là không đơn giản, định lý sau đây giúp ta kiểm tra tính co dễ dàng hơn đối với các hàm khả vi

II.1.2 Định lý 1

Cho  là hàm số liên tục trên  a b, và khả vi trên  a b thỏa: ,

 x  a b, , x  a b,

 và tồn tại c sao cho ' x    c 1, x  a b,

Khi đó  là hàm co từ  a b, vào  a b, với hệ số co c

II.1.3 Định lý 2 (Định lý Banach về điểm bất động của hàm co từ  a b vào ,  a b ) ,

Cho  là hàm co từ  a b, vào  a b với hệ số co , c0,1, khi đó tồn tại duy nhất x a b,

sao cho  x x

Chứng minh:

Lấy tùy ý x0 a b, , lập dãy   xn với xn     xn1 ,   n *

Từ giả thiết :   a b,  a b, và cách thiết lập dãy   xn ta suy ra  x n  a b,

Ta sẽ chứng minh   xn là dãy Cauchy Thật vậy,  n , ta có:

11

Do đó theo định lý giới hạn kẹp ta suy ra: x n p x n  n0,p *

Vậy   xn là dãy Cauchy trong tập đóng  a b, , suy ra dãy   xn hội tụ trong  a b, , nghĩa là tồn tại  , : lim n

là hàm co nên  y n  y c y n y với mọi n , mà c y n  y n0 nên theo định lý giới hạn kẹp ta suy ra  y n  y n0 hay   n  

n

y  y

  Vì vậy  là hàm liên tục trên  a b,

Từ đó ta có    lim n lim  n lim n 1

Ta chứng minh điểm bất động này là duy nhất:

Giả sử có hai điểm x y,  a b, , x y sao cho:  x  x,  y  y thì:

Các định lý và định nghĩa trên vẫn đúng nếu thay  a b, bởi hoặc a, hoặc , a

II.1.4 Định lý 3 (Định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Nếu hàm f liên tục trên  a b, và f a f b    0 thì tồn tại ít nhất một điểm p a b, sao cho f p 0

Ghi chú: Định lý này giúp ta xác định được khoảng chứa nghiệm của một phương trình cho

trước Do đây là một định lý quen thuộc trong giải tích cổ điển nên chúng tôi không trình bày phần chứng minh

II.1.5 Phương pháp tính

Quá trình chứng minh Định lý 2 đã cho ta một phương pháp được gọi là phương pháp xấp

xỉ liên tiếp của Banach để tìm nghiệm của phương trình  x x khi  là hàm co Nhưng trong thực tế tính toán, khi thực hiện theo phương pháp trên sẽ có vấn đề nảy sinh đó là nếu các số x n là các số thập phân có nhiều chữ số sau dấu phẩy (hữu hạn hoặc vô hạn), ta và máy tính thường làm tròn các số này tới hàng thứ l nào đó Việc làm tròn này có thể dẫn đến sai số trong mỗi bước tính, dãy số ta nhận được không còn là dãy { }x n như trong lý thuyết mà là dãy { }x n trong đó x n là giá trị đã được làm tròn của x n1 tới hàng thứ l, với n * Sơ đồ so sánh giữa lý thuyết và thực tế :

Do việc làm tròn như vậy, trong dãy số { }x n có thể có một số x i nào đó bị lọt ra khỏi đoạn

 a b , điều này có thể sẽ khiến quá trình tính toán gặp thất bại ,

Vì vậy mục này chúng ta sẽ dành để giải quyết các câu hỏi sau:

- Câu hỏi 1: Làm sao để không có giá trị nào của dãy { }x n bị lọt ra khỏi đoạn  a b ? ,

- Câu hỏi 2: Nên chọn l bằng bao nhiêu để sau một số hữu hạn bước tính ta nhận được giá trị gần đúng của nghiệm phương trình với sai số không quá  cho trước và ứng với mỗi số l tìm được,

số bước tính tối thiểu là bao nhiêu để chắc chắn ta nhận được giá trị gần đúng của nghiệm phương trình với sai số không quá  cho trước ?

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

- Giải quyết câu hỏi 1:

Nếu ta chọn a b, là các số thập phân có tối đa l chữ số sau dấu phẩy (thông thường ta chọn

,

a b là các số nguyên) thì giải quyết được câu hỏi 1

Thật vậy giả sử tồn tại i sao cho x i a b, và x i1 a b, , vì x i1 là giá trị làm tròn của

( )x i

 tới hàng thứ l nên   1

1.102

Gọi x* là nghiệm của phương trình    x  x trong đoạn  a b ,

Giả sử sau n bước tính n * ta tìm được x n là giá trị gần đúng của x* với sai số không quá  cho trước nghĩa là x*x n  

x x n

Nhận xét: Công thức tìm l và n quả là phức tạp, chúng tôi vẫn chƣa có cách thức nào để

làm đơn giản nó Nếu có cơ hội quay trở lại, có lẽ chúng tôi sẽ có thêm những góc nhìn mới để cải thiện vấn đề này đƣợc tốt hơn

II.2 THUẬT TOÁN TƯƠNG ỨNG

Tên thuật toán:

<Xác định giá trị gần đúng cho nghiệm của phương trình bằng cách sử dụng định lý điểm bất động>

1 Thuật toán :

- Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm  a b, , ,a b bằng cách tính giá trị của f tại một số điểm, đến khi có 2 giá trị trái dấu ( f a f b    0) và f liên tục trên  a b (thỏa điều kiện của ,

Định lý 3)

- Bước 2: Biến đổi phương trình f x 0 thành phương trình  x x, chọn hàm  (nếu

có) sao cho thỏa điều kiện Định lý 1 hoặc Định lý 2, xác định hệ số co c

+ Nếu x1  x0 : Kết luận x0 là nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá 

+ Nếu c0: Kết luận x1 là nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá  + Nếu x1 x0,c0 : Ta tiến hành các bước tiếp theo

Lưu ý:

- Việc thực hiện Bước 1 và Bước 2 đòi hỏi phải có sự khéo léo, ta viết ra làm hai bước như vậy nhưng thực ra hai bước này không thực sự phân định rõ ràng mà cần thực hiện đồng thời để chọn ra được đoạn chứa nghiệm và hàm co tương ứng với đoạn đó Ví dụ khi chọn được đoạn chứa nghiệm

 a b rồi, nhưng hàm ,  không co từ  a b vào ,  a b mà lại co từ , a b vào 1, 1 a b , trong đó 1, 1

a b1, 1   a b, , trường hợp này cần phải điều chỉnh lại đoạn chứa nghiệm

- Không phải lúc nào cũng tìm được đoạn chứa nghiệm  a b mà , a b,  , ví dụ ta tìm được đoạn chứa nghiệm là  1, 2 , nhưng hàm  chỉ co từ  2, 3 vào  2, 3 Vấn đề này vẫn đưa được giải quyết triệt để

Vì một số lý do như trên nên chúng tôi vẫn chưa đề cập được cách thức để thực hiện bước 1 và bước 2 bằng chương trình máy tính Hai bước này đòi hỏi phải tính bằng tay, sau đó sử dụng dữ liệu vừa tìm được để viết chương trình cho máy tính

Cụ thể đoạn mã giả sẽ có dạng:

- Dữ liệu đầu vào :  {hàm co}, c {hệ số co}, {sai số tối đa} , a, b {hai đầu đoạn nghiệm,

ab}

- Giải thuật: Tương tự phần trước từ bước 3 đến bước 8

II.3 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3   x 1 0 với sai số không quá   104

ln3

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá  104 là 1,32472.▐

Chương trình tương ứng cho Ví dụ 1:

int i, result = 1,result1 = 1;

//X0 = 1, l=5, n=9

printf("\n -GIAI PT GAN DUNG BANG PP DIEM BAT DONG -\n\n");

printf("Tim nghiem gan dung cua phuong trinh: x^3 - x - 1 = 0\n");

- Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm:

Đặt f x    10 x   1 cos x, ta có f     1 f 0  0 và f liên tục trên  0,1 , suy ra phương trình

ln10

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá  105 là 0,198045.▐

Chương trình tương ứng cho Ví dụ 2:

//X0 = 0.5, l=6, n=5

printf("\n -GIAI PT GAN DUNG BANG PP DIEM BAT DONG -\n\n");

printf("Tim nghiem gan dung cua phuong trinh: 10x - 1 - cosx = 0\n");

Như vậy hàm  thỏa các điều kiện của Định lý 1 và hệ số co 1

ln

ln2

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình với sai số không quá  105 là 0,910007.▐

Đoạn chương trình tương ứng cho Ví dụ 3:

printf("\n -GIAI PT GAN DUNG BANG PP DIEM BAT DONG -\n\n");

printf("Tim nghiem gan dung cua phuong trinh: e^x - 3x^2 = 0\n");

III KIẾN THỨC MỞ RỘNG

Việc tìm được hàm  thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1 và Định lý 2 là một vấn đề khó

khăn, tuy nhiên trong một số trường hợp cụ thể ta có thể dựa vào một số kết quả sau:

Nếu hàm f là một hàm khả vi, xác định trên  a b và thỏa: ,

Vậy  thỏa các điều kiện của Định lý 1.▐

Kết quả tương tự : Nếu hàm f là một hàm khả vi, xác định trên  a b và thỏa: ,

 cũng thỏa các điều kiện của Định lý 1

Áp dụng: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 2

0

x

e  x  với sai số   104 Xét f x =  ex x2

Sử dụng thuật toán ở Mục II.2 ta tìm được nghiệm gần đúng của phương trình là -0,70334 với

sai số không quá 4

10

   ▐

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

[2] Walter Rudin, The Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, MacGraw-Hill,

Inc 1976

[3] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại học Bách khoa Đà

Nẵng, 2007