Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 07

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM BỘ MÔN TOÁN- TIN HỌC TIỂU LUẬN MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 7: Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phương Trình Bằng Cách Dùng Phương Pháp Chia

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

BỘ MÔN TOÁN- TIN HỌC

TIỂU LUẬN

MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 7: Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phương Trình Bằng Cách Dùng Phương Pháp Chia Đôi Đoạn Chứa Nghiệm Hay Phương Pháp Dây Cung Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phương Trình Bằng Cách Dùng Phương Pháp Xấp Xỉ Newton

GVHD: T.S Trịnh Công Diệu

SVTH: Ngô Quang Định

Ngô Thị Kim Liên

Ngô Đức Thịnh

Trần Minh Cường

2

NỘI DUNG

I ĐẶT VẤN ĐỀ

II CƠ SỞ LÝ LUẬN

III.THUẬT TOÁN VÀ VÍ DỤ

1 Phương pháp chia đôi

2 Phương pháp dây cung

3 Phương pháp Newton

4 So sánh các phương pháp

3

I/ Đặt vấn đề

Tìm nghiệm của phương trình f x 0 (1), trong đó f x là một hàm số đại số hoặc  

siêu việt bất kỳ, là một bài toán thường gặp trong kỹ thuật cũng như trong lý thuyết Phương trình trên trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình đại số bậc 1,2 ,3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói chung là không có một công thức tính đúng nghiệm Mặt khác, các hệ số của f x trong nhiều trường hợp là những số gần  

đúng, cho nên vấn đề giải đúng (1) cũng không thật sự cần thiết Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt cũng như việc đánh giá độ chính xác của nghiệm thực gần đúng có một vài trò quan trọng Trong phần này, chúng ta xét bài toán tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) với giả thiết f x là hàm số  

thực xác định và liên tục trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nào đó

II/ Cơ sở lý luận

Định lý 1

Nếu f là hàm số thực liên tục trên đoạn  a b và , f a f b   0 thì  c  a b, sao cho

  0

f c  nghĩa là clà nghiệm của phương trình

Định lý 2

Nếu hàm f thỏa các điều kiện:

     i f a f b 0

 ii f khả vi liên tục đến cấp 2 trên    , ,   a b 

0, ,

iii f x   x a b và ' 

f x không đổi dấu trên a b ,

   "

0

iv f x  tại mọi x a b,

Lấy x0 a b, sao cho f x 0 0 và  x n n là dãy định bởi

     

   

1

1

, 1, 2,3,

n

x a b f x

N

f x









4

thì phương trình f x 0 có duy nhất một nghiệm x trong đoạn *  a b và ,  x n n là dãy trong đoạn  a b hội tụ về , x *

-Hơn nữa ta có * 2 2

1 2

M

M

'' 2

1



Chứng minh:

Ta có:      * '   *

f x   f x  f x  f c x  x , với  * 

1 , n

c x x 

Từ đây ta suy ra *  1

1

1

(*)

n n

f x

M



  

Sử dụng khai triển Taylor ta có:

f x   f x  f x x  x  x  x  x  x

Suy ra:   2 2

2

M

f x   x x

Áp dụng (*) ta được: * 2 2

1 2

M

M

    

Định lý 3 Nếu hàm f thỏa các điều kiện:

     i f a f b 0

 ii f khả vi liên tục đến cấp 2 trên    , ,   a b 

0, ,

iii f x   x a b và ' 

f x không đổi dấu trên a b ,

   "

0

iv f x  tại mọi x a b,

5

 x n n là dãy định bởi:

 

 

0

1

0

n

n

x b f b

f x

f x f a









hoặc

 

 

0

1

0

n

n

x a f a

f x

f x f b









Thì phương trình f x 0 có duy nhất một nghiệm x trong *  a b và (, x ) là dãy trong n

 a b hội tụ về , x *

Hơn nữa ta có: *

M m

m



Với: ' 

0 m  f x M  

Chứng minh:

 

1

n

n

f x

f x f a

hay       1 

n

n

f x f a





Áp dụng định lý Lagrange, ta được:

1

'

1

n

n

f x f a

x a

f r x x









Với  *   

, n ; , n

c x x r a x Như vậy:  *  '  '  

x x  x  x f c  f r x  x

 

*

f r f c

f c



   mà '  ' 

f r  f c Mm

suy ra x n 1 x* M m x n 1 x n

m



6

III Thuật toán và ví dụ

1/ Phương pháp chia đôi

Giả sử phương trình f x 0 (1) có nghiệm duy nhất x trên đoạn *  a b và ,

    0

f a f b  Bây giờ lấy

2

a b

c 

và tính f c , nếu  f c =0 thì có ngay   x* c là nghiệm đúng của phương trình (1)

Nếu f c 0, thì ta gọi a b là một trong hai đoạn 1, 1    a c, , ,c b mà ở đó

   1 1 0

f a f b  Lại lấy 1 1

1 2

a b

c  

và tính f c , nếu  1 f c 1 0 thì quá trình kết thúc,

*

1

x c , nếu không ta lại tiếp tục quá trình này, và như vậy ta có dãy đoạn   *

, ,

n n

a b n N

Tổng Quát

Nếu ta thực hiện liên tiếp thao tác chia đôi đoạn  a b như trên, thì tại bước thứ , n, ta có

f c  , lúc đó *

n

x c ( trường hợp này ít xảy ra), hoặc là ta nhận được dãy vô hạn các đoạn nhỏ  n a b n, nđóng lồng nhau, thắt lại với 1   *

2

b a  b a  n N

Theo cách dựng ta có f a   n f b n 0 (3)

lim n lim n *

   

Hơn nữa khi n thì từ (3) có   2

* 0

f x

  , vậy x là nghiệm của phương trình (1) *

Sai số

Nói chung, khi dừng lại ở bước n thì ta có 1 ( )

2

b a  b a

Vậy ta có thể lấy nghiệm gần đúng là

2

n

a b

x  

,

Sai số mắc phải khi đó là 1 

1

2n b a

7

Thuật toán được thực hiện bởi các bước sau đây:

Chọn sai số 0,  a b sao cho , f a f b   0 và hàm số f x liên tục trên đoạn    a b ,

Bước 0: Đặt 0

2

a b

x  

Vì f a f b   0, do đó một trong hai trường hợp sau xảy ra:

+ f x 0 0 hoặc

2

b a  thì ta có x là nghiệm và kết thúc 0

+ f x 0 0 và

2

b a 

Nếu f a f x   0 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt:, 0 a1a b, 1x0

Nếu f x   0 f b 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , do đó ta đặt: 0,  a1x b0, 1b

Chuyển sang bước 1

-Bước 1: Đặt 1 1

1 2

a b

x  

Vì f a   1 f b1 0, một trong hai trường sau xảy ra:

+ f x 1 0 hoặc 1 1

2

b a  thì ta có x là nghiệm và kết thúc 1

+ f x 1 0 và 1 1

2

b a 

Nếu f a   1 f x1 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt 1, 1 a2 a b1, 2 x1 Nếu f x   1 f b1 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , do đó ta đặt 1, 1 a2 x b1, 2 b1

Chuyển sang bước 2

……

Bước n: Đặt

2

n

a b

x  

8

Vì f a   n f b n 0, do đó một trong hai trường hợp sau xảy ra:

+ f x n 0hoặc

2

b a  thì ta có x là nghiệm và kết thúc n

+ f x n 0 và

2

b a 

Nếu f a   n f x n 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt: n, n

a  a b x

Nếu f x   n f b n 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , do đó ta đặt: n, n

a  x b  b

Chuyển sang bước n1

Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp chia đôi trên

  3

1, 2 :x   x 1 0

Giải Gọi   3

1

  

f x x x , áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi ta có kết quả ở bảng sau:

Dừng lại ở bước thứ 6, lấy nghiệm gần đúng là x x6 1.32032, sai số 0.008

2



n

a b

c f c n b na n

0

1

2

3

4

5

6

1

1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125

2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.34375 1.32813

1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.32813 1.32032

0.875 -0.29688 0.22461 -0.05151 0.08261 0.01458

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.01562

9

2/ Phương pháp dây cung

Ý tưởng của phương pháp dây cung là thay cung đồ thị của hàm yf x  bởi dây cung

AB rồi lấy hoành độ x của giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần 1

đúng của nghiệm *

x Ta minh họa phương pháp này bởi hình sau:

Phương trình dây cung AB là

 

y f a x a

f b f a b a



Tại giao điểm P ta có y0,xx1 nên có

 

f b f a b a



Từ đó suy ra  

1

f a

f b f a



Sau khi tính được x ta có thể xét khoảng chứa nghiệm mới 1 a x hoặc , 1  x b rồi tiếp 1, tục áp dụng phương pháp dây cung Cứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trị x x2, 3, ngày càng gần x *

Thuật toán

Chọn sai số  0,  a b sao cho hàm số , yf x  liên tục trên đoạn  a b , ,

    0

f a f b 

10

0

af b bf a x

f b f a







+ f x 0 0 thì x là nghiệm và kết thúc 0

+ f x 0 0

Nếu f a f x   0 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt: , 0 a1a b, 1x0

Nếu f b f x   0 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , ta đặt 0,  a1x b0, 1b

Nếu b1  a1 thì x là nghiệm và kết thúc 0

Nếu b1  a1 thì ta chuyển sang bước 1

1

a f b b f a x

f b f a







+ f x 1 0 thì x là nghiệm và kết thúc 1

+ f x 1 0

Nếu f a   1 f x1 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt: 1, 1 a2a b1, 2x1

Nếu f b f x   1 1 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , ta đặt 1, 1 a2x b1, 2b1

Nếu b2  a2 thì x là nghiệm và kết thúc 1

Nếu b2  a2 thì ta chuyển sang bước 2

…………

n

a f b b f a x

f b f a







+ f x n 0 thì x là nghiệm và kết thúc n

+ f x n 0

11

Nếu f a   n f x n 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng a x , do đó ta đặt: n, n

a  a b  x

Nếu f b   n f x n 0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng x b , ta đặt n, n a n1x b n, n1b n

Nếu b n1a n1  thì x là nghiệm và kết thúc n

Nếu b n1a n1  thì ta chuyển sang bước n1

*Ngoài ra ta có thể dùng định lý 3 để giải cho phương pháp dây cung như sau:

Chọn sai số  0,  a b sao cho hàm số , yf x  liên tục trên đoạn  a b , ,

    0

f a f b  , ' 

0

f x  , f x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và ta có   " 

0

f x  trên đoạn  a b (nếu như , " 

0

f x  thì ta chuyển f x 0 về dạng f x 0) Khi đó đồ thị yf x  nằm phía dưới dây cung AB với A a f a ,   ,B b f b ,   

 Trường hợp 1 Nếu như f a 0, ta xây dựng dãy  x theo hệ thức n

 

0

1

n

n

x b

f x

f x f a











Khi đó dãy  x đơn điệu giảm, bị chặn dưới và hội tụ đến n x *

 Trường hợp 2 Nếu như f a 0, ta xây dựng dãy  x theo hệ thức n

 

0

1

n

n

x a

f x

f b f x











Khi đó dãy  x đơn điệu tăng, bị chặn trên và hội tụ đến n x *

-Tính '  ' 

min ; max

m f x M  f x trên đoạn  a b ,

-Tính m

M m



12

Ta lập bảng tính sau:

Ngoài ra phương pháp dây cung còn có thể giải chỉ với điều kiện y f x  liên tục trên đoạn  a b ,

Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp dây cung trên

  3

1, 2 :x   x 1 0

Giải Gọi   3

1

  

f x x x

Kiểm tra phương pháp '  2

3 1

f x x , '' 

6 0

 

f x x trên đoạn  1, 2

Vì f 1  1 0 nên áp dụng công thức lặp:

 

3

1





Sai số để hạn chế bước lặp: Ta có sai số

*

M m

m



0 x 0

 

n x n x nx n1 ,

dừng lại nếu thỏa x nx n1

13

Dễ có '  ' 

M f m f Như vậy để có được nghiệm ở mức chính xác 0.008 khi dừng ở bước thứ n sao cho:

1

2 0.008 0.008 0.0017

11 2

m

x x

M m

Dùng công thức lặp và thao tác trên máy tính cầm tay ta có kết quả bởi bảng sau:

Ta thấy ở bước thứ 7 thì nghiệm thỏa mãn sai số, nên x*  x7 1.323683

14

3/ Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến)

Ý tưởng của phương pháp Newton là thay cung đồ thị AB của hàm số y f x  bởi tiếp

tuyến tại A hoặc B rồi lấy hoành độ x của giao điểm P của tiếp tuyến với trục hoành 1

làm giá trị gần đúng của nghiệm x Ta minh họa phương pháp này bởi hình sau: *

Cho x0 b , phương trình tiếp tuyến tại B là

y f x f x x x

Tại P ta có xx y1, 0 ta có

f x f x x x

Từ đó

 

 0

0

f x

x x

f x

 

Sau khi tính được x ta có thể xét khoảng chứa nghiệm mới 1 a x hoặc , 1  x b rồi tiếp 1, tục áp dụng phương pháp tiếp tuyến Cứ tiếp tục ta sẽ được các giá trị x x2, 3, ngày càng gần x *

15

Thuật toán

Chọn sai số 0, a b, sao cho hàm f x thỏa mãn các điều kiện ( ),( ), ( ), ( )  i ii iii iv Khi

đó ta sẽ thiết lập dãy lặp  

 

n

n

f x

f x

   , với x chọn trước 0  a b, sao cho

f x  Tuy nhiên trong thực tế có khi ta không tính được f x n , ' 

n

f x Giả sử ta không tính được chính xác tại  

 1

1

f x

x x

f x

  , khi đó ta thay x bằng giá trị gần đúng 2

2

x thỏa điều kiện  

 

2

2

0 ,

f x

x a b







-Tính  '  '    ''    

M  f a f b M  f t t a b

-Tính 1

2

2

M M

-Ta lập bảng tính sau:

0 x 0

 

n x n x nx n1 ,

dừng lại nếu thỏa x nx n1

16

Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp Newton trên

  3

1, 2 :x   x 1 0

Giải Xét   3

1

  

f x x x

'  2

3 1

f x x

Ta có:

3 1 0, 1, 2

''

6 0, 1, 2

   

Vậy các điều kiện của phương pháp Newton được thỏa mãn

Ta có:

   ''

2 2  60 0

 

0

2













n

n

x

f x

f x

'' 2

1

max : 1, 2 12 min 1 , 2 2

1

2

1

2 0.008 0.051639

M

x x

M





Vậy: x*  x3 1.325801

17

4.So sánh các phương pháp

Chưa thể khẳng định được phương pháp nào tốt hơn phương pháp nào mà tùy theo từng trường hợp Trong một số trường hợp thì tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung và phương pháp Newton nhanh hơn phương pháp chia đôi Đối với phương pháp chia đôi thì

số lần bước lặp lớn, trong phương pháp Newton thì việc tính toán rắc rối

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm kỳ Anh, Giải Tích Số, 1998

2 Trần Văn Minh, Phương pháp số, 2005