Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 05

Hướng giải quyết Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ  Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu... Có thểlàm điều này bằng cách dựa vào định nghĩa tín

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

DẠNG CHÍNH TẮC, SAI SỐ KHÔNG QUÁ 10-k

(k là số nguyên dương cho trước)

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2

II.1 Hướng giải quyết 2

II.2 Cơ sở lý luận 2

III THUẬT TOÁN 4

IV ÁP DỤNG 4

A Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 4

1 Dấu hiệu tích phân 5

2 Dấu hiệu D’Alambert 7

3 Dấu hiệu Cauchy 10

4 Dấu hiệu so sánh 14

B Tính gần đúng tổng của một chuỗi đan dấu 16

1 Dấu hiệu Leibnitz 16

2 Công thức Calabrese 18

V ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

II.1 Hướng giải quyết

Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ 

Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu

II.2 Cơ sở lý luận

- Cho dãy số  a i Biểu thức 1 2 1

Sn=a1+a2+….+ an , được gọi là các tổng riêng của chuỗi (1)

a

- Nếu (1) có tổng hữu hạn thì ta nói nó hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ

- Để xác định giá trị thay thế cho S ta dựa vào chính chuỗi xác định giá trị S Có thểlàm điều này bằng cách dựa vào định nghĩa tính hội tụ của dãy {an}

102

l n

III THUẬT TOÁN

+ Tên thuật toán : < tính tổng của chuỗi hội tụ >

k n

i i

S S

4

10 2

10  

Xác định một biểu diễn thập phân của a i, i 1 ,n, lấy giá trị biểu diễn thập phân của

 ,  a  k 0là tổng riêng thứ n của chuỗi

1 Dấu hiệu tích phân

Giả sử a n f n  với f là hàm số dương liên tục trên 1,  giảm về 0 khi

nên 1 f x dx  hội tụ Theo dấu hiệu trên thì 4

1, 08216

k k

 mà dấu hiệu D’ Alambert không xét được sự hội tụ.

+ Nhược điểm: Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong việc tính tích

phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp như arctan, arcsin…

2 Dấu hiệu D’Alambert

Giả sử   an là dãy dương và n 1

n 1 n

a

S S

a 1 a

a

0 a

1 a



 , suy ra n 1

n

a r a

     an 1  ra , k nn  

Do đó an 1  a rn

  hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì

n k

n

a r

n n

1

6(4 4)! 36(4 )!

1

n n

n n

k

  làm tròn đến chữ số hàngthứ -6 ta được a theo bảng sau: k

Bước 3: Tính

3

3 1

1,53224

k k

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.

Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy n 1

n

a a

a a



  

3 Dấu hiệu Cauchy :

Giả sử (an) là dãy dương, giảm và lim n 1

n  a n  L Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi



 là giảm với n>N

1 1

k n k

n k n

k k n

k

k k

k

S S

a hội tụ (dấu hiệu so sánh)Theo tính chất chuỗi hội tụ thì 

a hội tụ

Mặt khác:

1 1

a r

a r

L





 là chuỗi hội tụ do L 1  )

1 k

k n a

 

  hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì

n 2

2n 1a

i n 1

10a

Lấy giá trị biểu diễn thập phân của  

k 2

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.

Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy  n 

n

a là dãy tăng hay giảmcũng không phải là chuyện đơn giản Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tínhgần đúng nếu lim n 1

n  a n 

4 Dấu hiệu so sánh:

Cho hai chuỗi số dương

1

k k

 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu so sánh

Theo dấu hiệu tích phân thì k 1 3 n 3 2

Khuyết điểm: Cần tìm chuỗi hội tụ

1

k kb





 để so sánh và phải biết được cách đánh giáphần dư của chuỗi này bằng các tiêu chuẩn khác

B ÁP DỤNG TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU

1 Dấu hiệu Leibnitz

Cho chuỗi đan dấu 1

( 1)

k k

Áp dụng thuật toán, ta có:

B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho

1 3

42(n 1) 1

0, 407

k k

Ưu điểm: Quá trình tính toán đơn giản, việc tìm giá trị n cũng dễ dàng.

Khuyết điểm: Hiệu quả không tốt lắm có thể tìm ra n khá lớn.

     hội tụ theo tiêu chuẩn Leinitz và có thêm điều

kiện dãy đơn điệu giảm về 0 Khi đó: ,

2

n n

(2 )!

k k

10 Giải:

Theo công thức Calabrese, ta có: , 1

2

n n

Khuyết điểm Việc chứng minh dãy   bn là giảm đôi khi gặp nhiều khó khăn và tốn thờigian.

Lưu ý: Ta có thể tách chuỗi đan dấu thành 2 chuỗi dương, tính từng chuỗi rồi trừ nhau.

V ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng TS.Trịnh Công Diệu

2 Tài liệu khóa trước

3 Sách giải tích hàm một biến của TS Nguyễn Cam

4 Chuỗi và phương trình vi phân của Đỗ Công Khanh – Ngô Thu Lương

5 Internet