2 Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết.
Trang 11) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
nội dung bài dạy
VD 1: Cho dãy số (un) với un = 3+ (-1)n/n
Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số:
u2
u1
3,5
u5
2,8
u6
3,17
u7
2,86
u8
2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số, khi n tăng thì khoảng cách từ u n đến 3 càng nhỏ, hay các điểm u n chụm lại xung quanh
điểm 3.
Kết luận:
1) Dãy số (un)nói trên có giới hạn bằng 3
1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u n xấp xỉ gần bằng 3.
NX:
2) Dãy số (un) có giới hạn là 3 dãy số (un-3) có giới hạn 0
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
Trang 2lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn Muốn chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u n L) có –
giới hạn 0
Nhận xét:
Lim un = L khoảng cách từ điểm un đến
điểm L trở lên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn
là n đủ lớn
Trang 3nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
Muốn chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u n L) có –
giới hạn 0.
VD2: Cho dãy số (un) với un = Chứng minh rằng: lim un = 2
2 n 1
n
+
VD4: Cho dãy số (un) với un = CMR lim un = 3
( 1)
3
2 1
n n
+
VD3: Cho dãy số không đổi (un) với un = c, (c
là hằng số) CMR: lim un = c
VD5: Dãy số (un), với un = (-1)n có giới hạn hay không?
Trang 41) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là
một hằng số Khi đó:
Lim (un+vn) = L + M
Lim (un- vn) = L - M
Lim (un.vn) = L.M
Lim (c.un) = cL
Lim ( nếu M ≠ 0)
n n
Giả sử lim un = L Khi đó:
a) Lim | un | = | L | và lim
b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim
3 3
n
u = L
n
Định lý 2:
Định lý 1:
ýCác bước tìm giới hạn : 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất 2) Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số
có giới hạn 0 đã biết
Các dãy số trên có dạng
1
1 0 * 1
1 0
i j
p q
a b
−
−
−
−
∈ ∈
+ + +
+ + +
≠
VD 7: Tìm lim 3 22 1
4
n n
+ +
VD 8: Tìm lim 4 34 3 32 5
n n
+ −
VD 9: Tìm lim 3 2 22
n
n n
−
= 3
= 1/2
= 0
ýNX: lim u n =
p > q
p q
a b
nếu p = q
0 nếu
Trang 5nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
ý Các bước làm : 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất 2)
Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn,
đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết.
Cho dóy s (u ố n ), v i: ớ
1
1 0 * 1
1 0
i j
p q
a b
−
−
−
−
∈ ∈
+ + +
+ + +
≠
Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là
một hằng số Khi đó:
Lim (un+vn) = L + M
Lim (un- vn) = L - M
Lim (un.vn) = L.M
Lim (c.un) = cL
Lim ( nếu M ≠ 0)
n n
Giả sử lim un = L Khi đó:
a) Lim | un | = | L | và lim
b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim
3 3
n
u = L
n
Định lý 2:
Định lý 1:
Phiếu học tập
ýNX : lim u n =
p > q
p q
a b
nếu p = q
0 nếu
Trang 62 Một số dãy số có giới hạn 0 đã biết:
a) un = 1/n d) /q/ < 1, lim qn = 0
3
3 Muốn chứng minh một dãy só có giới hạn 0:
- Đưa về dãy có giới hạn 0 đã biết
- Hoặc sử dụng định lí: Nếu với mọi n và lim v u n ≤v n n = 0 thì lim u n = 0
kể từ một số hạng nào đó trở đi
(dãy số (u n ) có giới hạn 0 khi n dần tới vô cực)
Trang 72 Một số dãy số có giới hạn 0 đã biết:
a) un = 1/n b) un = c) un = d) /q/ < 1, lim qn = 0
Em có nhận xét gì về các điểm un khi n tăng?
Trang 9p > q
p q
a b
nÕu p = q
0 nÕu
VD 6: T×m lim ( 1)
3
2 1
n n
− + +