Lập phơng trình đờng thẳng d qua gốc toạ độ sao cho d tạo với d1 và d2 tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.. Lập phơng trình 2 đờng chéo của hình vuông đó.. Tính diện tích của
Trang 1I Phơng trình đờng thẳng
Bài 1: Lập phơng trình TQ và TS của đờng thẳng đi qua điểm M và có vtpt nr biết:
a, M 1; 1 ; n( − ) r=( )2;1 b, M 0;4 ; n( ) r= −( 1;3) c, M 2; 3 , n(− − ) r= −( 2;1)
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đờng thẳng đi qua điểm M và có vtcp ur biết:
a, M 1; 2 ; u( − ) r=( )1;0 b, M 5;3 ; u( ) r= −( 3;1) c, M 3; 7 , u(− − ) r=( )3; 2
Bài 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trờng hợp sau:
a, A 1;1 , B 2;1(− ) ( ) b, A 4; 2 , B 1; 2( ) (− − ) c, A 5;0 , B 1;1(− ) ( )
Bài 4: Lập phơng trình đờng trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a, A 1;1 , B 3;1( ) (− ) b, A 3; 4 , B 1; 6( ) ( − ) c, A 4;1 , B 1;4(− ) ( )
d, ữ ( − )
1
A ;1 ; B 2; 1
2 1 1 3
A ; ; B ;
A ;1 ; B ;
Bài 5: Lập phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc k=2
3
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hớng dơng trục Ox góc 450
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hớng dơng trục Ox góc 600
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phơng trình tổng quát:
a, 2x – 3y = 0; b, x + 2y – 1 = 0 c, 5x – 2y + 3 = 0
d, 2x – 3 = 0 e, - 3y + 1 = 0 f, - 3x – 4y + 5 = 0
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phơng trình tham số:
a, =
= +
x 2
= −
= +
x 2 t
= +
= −
x 2 3t
y 1
d, = −
= +
x 2t 1
= −
= −
x 3 4t
= −
= −
x 7 3t
y 8 4t
Bài 8: Tìm hệ số góc của các đờng thẳng sau:
a, 2x – 3y + 4 = 0 b, x + 3 = 0 c, 2y – 4 = 0
d, 4x + 3y – 1 = 0 e, x 2 t
y 5 3t
= −
= +
x 4 2t
y 5t 1
= +
= −
Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết:
a, A 1; 3 , B 2;2( − ) ( ) b, A 5; 1 , B 2; 4( − ) (− − ) c, A 1;2 , B 1; 1( )
2
Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), A2(−1;2), A 1;3 , 3( ) A 1; 14( − ), 5
1
A ;2 2
, 6
7 1
A ;
3 3
, A 3;1 , điểm 7( ) nào nằm trên đờng thẳng ( )d : x 2 t
y 1 2t
= −
= +
Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b, Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC
c, Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
d, Lập phơng trình các đờng trung tuyến của tam giác ABC
e, Lập phơng trình các đờng trung bình của tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập phơng trình đờng trung trực cạnh AB
b, Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đờng trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC
Bài 13 (ĐHQG 1995):– Lập phơng trình các cạnh và các đờng trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lợt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
Trang 2II Đờng thẳng song song, vuông góc với một đờng thẳng cho trớc
Bài 1: Lập PTTQ đờng thẳng ( )∆ đi qua A và song song đờng thẳng (d) biết
a, A 1;3 , d : x y 1 0( ) ( ) − + = b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0 c, A(3;2), (d): Trục Ox
d, A 1;1 , d :( ) ( ) x 1 t
y 2 2t
= −
− = − + e, A 3;2 , d :( ) ( ) x 3 2t
y 4
= +
=
f, A(0;1), d :( ) x 1 2t
y 7 3t
= − +
= +
Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đờng thẳng ( )∆ đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d) biết:
a, A 3; 3 , d :2x 5y 1 0( − ) ( ) − + = b, A 1; 3 , d : x 2y 1 0(− − ) ( ) − + − = c, A 4;2 , d( ) ( ) ≡Oy
d, A 1; 6 , d :( ) ( ) x 1 t
y 2 2t
= +
− = + e, A 4; 4 ,( ) x 4 2t
y 1 5t
= +
− = − g, A 2;3 ,( ) x 2t 1
y 5 t
= −
− = −
Bài 3: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đờng cao (d1) và (d2) có phơng trình là ( )d : x y 2 0; d :9x 3y 4 01 + − = ( )2 − + =
Bài 4: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đờng cao (d1) và (d2) có phơng trình là ( )d : x y 1 0; d :3x y 7 01 + − = ( )2 − − =
Bài 5: Cho tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đờng cao qua đỉnh A và B lần lợt là
(d1): x + 2y – 13 = 0 và (d2): 7x + 5y – 49 = 0 Lập phơng trình cạnh AC, BC và đờng cao thứ 3
Bài 6: Cho tam giác ABC biết phơng trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các đờng cao qua đỉnh A và C lần lợt
lá (d1): 5x + y – 6 = 0 và (d2): x + 2y – 1 = 0 Lập phơng trình cạnh AB, BC và đờng cao thứ 3
Bài 7: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ một đỉnh
có phơng trình lần lợt là: ( )d :5x 4y 1 0; d :8x y 7 01 + − = ( )2 + − =
Bài 8: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ một đỉnh
có phơng trình lần lợt là: ( )d :2x 7y 23 0; d :7x 4y 5 01 − + = ( )2 + − =
Bài 9: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đờng trung tuyến (d1) và (d2) có phơng trình là: ( )d :2x y 1 0; d :x 1 01 − − = ( )2 − =
Bài 10: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đờng trung tuyến (d1) và (d2) có phơng trình là: ( )d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 01 − − = ( )2 − − =
Bài 11: Phơng trình 2 cạnh của một tam giác là: ( )d :x y 2 0; d : x 2y 5 01 + − = ( )2 + − = và trực tâm H(2;3) Lập phơng trình cạnh thứ 3
Bài 12: Phơng trình 2 cạnh của một tam giác là: ( )d :3x y 24 0; d : 3x 4y 96 01 − + = ( )2 + − = và trực tâm 32
H 0;
3
Lập phơng trình cạnh thứ 3
Bài 13: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), phơng trình đờng cao hạ từ A và trung tuyến
từ C lần lợt là: ( )d : 3x 2y 3 0; d :7x y 2 01 − + = ( )2 + − =
Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M(2;3), phơng trình (AB): x – y – 1 = 0; phơng trình (AC): 2x + y = 0
Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm G 4 2;
3 3
và
phơng trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phơng trình (AC): 12x + y – 29 = 0
Bài 16: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đờng cao kẻ từ A
và B lần lợt là: ( )d : 2x 5y 29 0; d : 10x 3y 5 01 − + = ( )2 − + =
III, Hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng
Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đờng thẳng (d) và xác định toạ độ điểm M1 đối xứng với
M qua (d)
a, M( 6;4);(d) : 4x 5y 3 0− − + = b, M(1;4);(d) : 3x 4y 4 0+ − = c, M(3;5);(d) x 1 2t
y 3 4t
= −
= +
Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC
a, A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b, A(-2;1); B(2;-3); C(5;0)
Trang 3Bài 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đt(d) qua điểm I
a, I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − = b, I(1;1);(d) : 3x 2y 1 0− + =
c, I( 1;3);(d) : x 2 t
y 1 2t
= −
y 5 4t
= − +
= −
Bài 4: Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua đt(∆) biết:
a, (d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + = b, (d) : 2x 3y 5 0;( ) : 5x y 4 0+ + = ∆ − + =
c, (d) : 5x y 6 0;( ) :x 1 y 3
− d,
x 1 2t (d) : 2x y 3 0;( ) :
y 3 t
= − +
− + + = ∆ = +
Bài 5: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phơng trình 2 đờng phân giác trong xuất phát
từ B và C lần lợt là (d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0B − = c + − =
Bài 6: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) và phơng trình phân giác trong xuất
phát từ C là (d) : x y 3 0− + =
Bài 7: Cho tam giác ABC biết phơng trình cạnh BC: x+4y−8=0 và phơng trình 2 đờng phân giác trong xuất phát từ B và C lần lợt là: (d ) : y 0;(d ) : 5x 3y 6 0B = C + − =
Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phơng trình đờng cao và đờng phân giác trong xuất phát từ A lần lợt là
(d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − =
IV, Vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau:
x 1 t x 2 u
(d ) : ;(d ) :
y 2 t y 5 u
b, 1 2
x 1 t x 3 2u (d ) : ;(d ) :
y 3 t y 2 u
x 2 3t
(d ) : ;(d ) : 2x 3y 1 0
y 1 t
= − +
= +
d, (d ) : 3x 2y 1 0;(d ) : x 3y 4 01 + − = 2 + − =
Bài 2: Cho a2 +b2 ≠0 và 2 đt (d1) và (d2) có phơng trình: (d ) : (a b)x y 1;(d ) : (a1 − + = 2 2−b )x ay b2 + =
a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d1) và (d2) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành
(d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k− + = − + − − =0
a, CMR: đờng thẳng (d1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k
b, CMR: (d1) luôn cắt (d2) Xác định toạ độ của chúng
V, Góc và khoảng cách
Bài 1: Tìm góc giữa 2 đờng thẳng (d1) và (d2) trong các trờng hợp sau:
a, (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 01 + − = 2 + + = b, (d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 01 − − = 2 + − =
x 1 3t
(d ) : ;(d ) : 3x 2y 2 0
y 2 t
= −
= +
d, (d ) : x my 1 0;(d ) : x y 2m 1 01 + − = 2 − + − =
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau:
a, M(1; 1);(d) : x y 5 0− + − = b, M( 3;2);(d) : 3x 4y 1 0− + − = c, M 3;2 ; (d): Trục Ox( )
d, M( 3;2);(d) : 2x 3− = e, M(5; 2);(d) : x 2 2t
y 5 t
= − +
− = − f, M(3;2);(d) : x 2
y 1 t
=
= +
Bài 3: Cho 2 đờng thẳng (d1):2x−3y+1=0;(d2):−4x+6y−3=0
a, CMR (d1) // (d2) b, Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 4: Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và tạo với (∆) một góc ϕ biết:
M( 1;2);( ) : x 2y 3 0;− ∆ − + = ϕ =45 b, M(2;0);( ) : x 1 3t ; 450
y 1 t
= −
∆ = − + ϕ =
c, M( 2; 1);( ) : 3x 2y 1 0;− − ∆ + − = ϕ =300 d, M(4;1);( ) Oy;∆ ≡ ϕ =300
Bài 5: Lập phơng trình đờng phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) biết:
a, (d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 01 + − = 2 + + = b, 1 2
x 1 5t (d ) : 4x 3y 4 0;(d ) :
y 3 12t
= −
+ − = = − +
Trang 4c, (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : 5x 3y 2 01 + − = 2 − + = d, (d ) : 3x 4y 5 0;(d ) Ox1 − + = 2 ≡
Bài 6: Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:
a, M(2;5); N(4;1);r 2= b, M(3; 3);N(1;1);r 2− =
Bài 7: Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7)
Bài 8: Cho 2 đờng thẳng (d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 01 − + = 2 + − =
Tìm M nằm trên Ox cách đều (d1) và (d2)
Bài 9 (ĐH 2006A):– Cho 3 đờng thẳng (d1); (d2); (d3) có phơng trình:
0 2 : ) (
; 0 4 :
) (
; 0 3 :
)
(d1 x+ y+ = d2 x−y− = d3 x− y=
Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d3) sao cho khoảng cách từ M đến (d1) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d2)
Bài 10: Cho 3 đờng thẳng ;( ):5 1 0;( ):4 3 2 0
1
2 1 : )
+
=
−
=
y x d y
x d t y
t x
cách đều (d2) và (d3)
Bài 11: Cho 2 điểm A(2;1); B(-3;2) và đờng thẳng (d):4x+3y+5=0 Tìm điểm M cách đều A; B đồng thời
khoảng cách từ M đến (d) bằng 2
Bài 12 (ĐH Huế 96):– Cho 2 đờng thẳng (d ) : 2x y 1 0;(d ) : x 2y 7 01 − + = 2 + − = Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua gốc toạ độ sao cho (d) tạo với (d1) và (d2) tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2)
Bài 13: Cho 2 điểm A(0;5); B(4;1) và đờng thẳng (d) : x 4y 7 0− + = Tìm trên (d) điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C
Bài 14: Cho điểm A(3;1) Xác định 2 điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần t
thứ nhất Lập phơng trình 2 đờng chéo của hình vuông đó
Bài 15: Cho 3 điểm A(1;-1); B(-2;1) và C(3;5).
a, CMR: A, B, C là 3 đỉnh của tam giác Tính diện tích của tam giác đó
b, Tìm điểm M nằm trên Ox sao cho A MˆB=600
Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4; 2 đỉnh A(1;-2), B(2;-3) và trọng tâm của tam giác ABC nằm
trên đờng thẳng (d) : x y 2 0− − = Tìm toạ độ điểm C
Bài 17 (ĐH 2002A):– Cho tam giác ABC vuông tại A ; biết phơng trình cạnh BC là: 3x−y− 3=0; điểm
A, B thuộc trục hoành Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2
VI, Các bài toán cực trị
Bài 1: Tìm trên (d) điểm M(xM;yM) sao cho 2 2
M
x + nhỏ nhất biết:
a, (d) : x y 4 0+ − = b, (d):2x−3y−5=0 c,
−
−
=
−
=
t y
t x d
3 2
1 ) (
Bài 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm M(3;1) và cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm phân biệt A(a;0),
B(0;b) với a>0; b>0 sao cho:
a, Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất b, OA + OB nhỏ nhất c, 1 2 12
OA +OB nhỏ nhất
Bài 3: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1)
Bài 4: Tìm trên trục tung điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỉ nhất biết:
a, A(-2;1), B(1;1) b, A(1;3), B(3;-3) c, A(-3;-1), B(2;3)
Bài 5: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, (d) : x y 0;A(3;2), B(5;1)− = c, (d) : x y 2 0;A(2;1), B(1;5)− + = b, (d) : x y 0;A( 1;3), B( 2;1)+ = − −
Bài 6: Cho đờng thẳng (d) : x 2y 2 0− − = và 2 điểm A(1;2), B(2;5) Tìm trên (d) điểm M sao cho:
a, MA + MB nhỏ nhất b, MA MBuuuur uuuur+ nhỏ nhất
c, MA MB− nhỏ nhất d, MA MB− lớn nhất
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a, y= x2+4x 8+ + x2 −2x 2+ b, y= x2+2x 2+ + x2−6x 10+
y= x − + +x 2 x +3x 3+