phương trình đường tròn- ôn thi đại học

a Chứng minh rằng hai đường tròn C1, C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.. a Chứng minh rằng hai đường tròn C1, C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.. a Chứng minh rằng hai đường tròn C1, C

Trang 1

I – BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.

Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB, biết A(1; 3), B(- 3; 5).

Giải: Tâm của đường tròn đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB Ta có I(- 1; 4).

Bán kính của đường tròn R = 5

2

AB = Phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y – 4)2 = 5

Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; - 1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 5 = 0.

Giải: Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ Ta có

R = d(I;∆) = 4

Phương trình đường tròn là : (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16

Bài 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng ∆ : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF =

2 10

Giải: Gọi H là trung điểm của EF Ta có IH ⊥ EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H.

2

EF = , Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 10

Bán kính của đường tròn R = IE =

( , )

Phương trình đường tròn là : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 20

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + y – 14 = 0 tại điểm

M(5; - 1)

Giải: Gọi I(a;b) là tâm đường tròn Ta có

Bán kính của đường tròn là R = IA = 10

Bài 5: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A(1; - 1), B(0; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 2x – 3y – 13 = 0.

Giải: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn Ta có

2

1733

| 2 3 13 |

v

a b



− + =





Với I(3; 2) ta có bán kính đường tròn R = IA = 13

Phương trình đường tròn là: (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13

Với ( 1733 58; )

289 289

I − ta có bán kính đường tròn R = IA = 4208893

289 Phương trình đường tròn là :

 +  + −  =

Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M(3; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1: x + 2y – 17 = 0 , ∆2: 2x + y – 15 = 0

Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; b) Ta có

2

1

| 2 17 |

5

2

32 3 2

a b

v

a b



 =



 Với I(1; 3) ta có bán kính R = IM = 20

Trang 2

Phương trình đường tròn là : (x – 1)2 + (y – 3)2 = 20.

Với I(- 79; - 77) ta có bán kính R = IM = 50 5

Phương trình đường tròn là : (x + 79)2 + (y + 77)2 = 12500

Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M(- 4; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1: 3x – y – 25 = 0 , ∆2: 3x – y +15 = 0

Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; b) Ta có

2

1

2

| 3 25 |

10

a

a b

v

b

b a







Với I(2; 1) ta có bán kính đường tròn R = IM = 2 10

Với ( 2; 31)

I − − ta có bán kính của đường tròn R = IM = 2 10

Phương trình đường tròn là :

40

 +  + +  =

Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 7 = 0 và đi qua điểm M(2; 2), N(3;1) Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 7 – a) ∈ d Ta có

IM = IN ⇔ (a-2)2 + (5 – a)2 = (a – 3)2 + (6- a)2 ⇔ a = 4

Ta có tâm I(4; 3), bán kính R = IM = 5

Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc với

đường thẳng ∆: 3x + y – 13 = 0

Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; - a – 1) ∈ d Ta có

IM = d(I; ∆) ⇔ (a – 3)2 + (- a – 1)2 =

2

| 3 1 13 |

10

a a

Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10

Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85

Phương trình đường tròn là : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 85

Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1:

x + 2y – 13 = 0, ∆2: x + 2y – 7 = 0

Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 2 – a) ∈ d Ta có

d(I, ∆1) = d(I, ∆2) ⇔ |a + 2(2 – a) – 13| = |a + 2(2 – a) – 7| ⇔ a = 1

Ta có tâm I(1; 1), bán kính R = d(I, ∆1) = 20

Bài 11: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng

∆1: 4x + 3y – 24 = 0 , ∆2: 4x – 3y – 18 = 0

Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 2a + 3) ∈ d Ta có

d(I, ∆1) = d(I, ∆2) ⇔ |4a + 3(2a + 3) – 24| = |4a – 3(2a + 3) – 18| ⇔ a = - 1 v a = 21

4 . Với a = - 1 ta có tâm I(- 1; 1), bán kính R = d(I, ∆1) = 5

Với a = 21

4 ta có tâm

21 27

;

4 2

I 

 , bán kính R = d(I, ∆1) =

15

2 .

Trang 3

 −  + −  =

Bài 12: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x –

4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3)

Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; - a -1) ∈ d Ta có

IM = d(I, ∆) ⇔ (a – 1)2 + (- a + 2)2 =

2

| 3 4( 1) 15 |

5

a− − − −a

Ta có tâm I(- 2; 1), bán kính R = IM = 5

Bài 13: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt

đường thẳng ∆: x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2

Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – 2a) ∈ d.

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng EF

Ta có IH ⊥ EF và IM = R, IH = d(I, ∆ ), EH = 2

2

Ta có IH2 + HE2 = IM2 ⇔

2

2 2

+ − +

⇔ a = 1 v a = 35

9 . Với a = 1 ta có tâm I(1; 2), bán kính đường tròn R = IM = 5

Với a = 35

9 ta có tâm

;

I − 

 , bán kính R = IM =

725

9 . Phương trình đường tròn là :

 −  + +  =

Bài 14: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 4 = 0 , có bán kính R = 5 và tiếp xúc với

đường thẳng ∆: 4x – 3y – 27 = 0

Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – a) ∈ d Ta có

d(I, ∆) = R ⇔ | 4 3(4 ) 27 | 5

5

a− − −a = ⇔ a = 2 v a = 64

7 Với a = 2 ta có tâm I(2; 2), bán kính R = 5

Với a = 64

7 ta có tâm

I − , bán kính R = 5

2

25

 −  + + =

Bài 15: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(- 2; 2), B(5; 3), C(2; 4).

Giải: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là (C): x2 + y2 + ax + by + c = 0 với a2 + b2 – 4c > 0.Do A, B, C ∈ (C) nên ta có hệ phương trình

 + + + + = ⇔ =

Phương trình đường tròn là: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0

Bài 16: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ∆ ABC với A(- 1; 2), B(7; 2), C(- 1; 8).

Giải: Ta có uuurAB=(8;0),uuurAC =(0;6) và uuur uuurAB AC =0 nên ∆ ABC vuông tại A

Trang 4

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IB = 5.

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là : (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25

Ta có phương trình cạnh AB là: y = 2

Phương trình cạnh AC là: x = - 1

Phương trình cạnh BC là: 3x + 4y – 29 = 0

Phương trình hai đường phân giác góc A là: x + y – 1 = 0 và x– y + 3 = 0

Phương trình đường phân giác trong góc A là d1: x – y + 3 = 0

Phương trình hai đường phân giác góc B là : 3x – y – 19 = 0 và x + 3y – 13 = 0

Phương trình đường phân giác trong góc B là d2: x + 3y – 13 = 0

Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC ta có J = d1 ∩d2

Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình 3 0 1

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r = d(J, AB) = 2

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 4

Bài 17: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 6x + 2y – 8 = 0 và (C2): x2 + y2 + 8x + 2y + 4 = 0

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và đi qua điểm M(2; 2)

Giải:

a) Đường tròn (C1) có tâm I1(- 3; - 1), Bán kính R1 = 3 2

Đường tròn (C2) có tâm I2(- 4; - 1), Bán kính R2 = 13

Ta có I1I2 = 1 Vì vậy |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2

Suy ra hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm (C1), (C2) có dạng:

m(x2 + y2 + 6x + 2y – 8) + n(x2 + y2 + 8x + 2y + 4) = 0 , với m + n ≠ 0

Do M ∈ (C) nên ta có 16m + 32n = 0 Suy ra chọn m = 2, n = - 1

Ta có phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 + 4x + 2y – 20 = 0

Bài 18: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x – 2y – 5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 2x - 8y + 2 = 0

b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 1 = 0

Giải:

a) Đường tròn (C1) có tâm I1(2; 1), Bán kính R1 = 10

Đường tròn (C2) có tâm I2(1; 4), Bán kính R2 = 15

m(x2 + y2 - 4x – 2y – 5) + n(x2 + y2 - 2x - 8y + 2 ) = 0 , với m + n ≠ 0

⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 - 2(2m + n)x – 2(m + 4n)y -5m + 2n = 0

Tâm của đường tròn là I(2m n m; 4n)

m n m n

Do tâm I ∈ d nên ta có 2m + 4n = 0 Chọn m = 2, n = - 1

Ta có phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

Bài 19: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 6x – 2y – 4 = 0 và (C2): x2 + y2 - 4x - 8y - 3 = 0

b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và có bán kính R = 5

Giải:

a) Đường tròn (C1) có tâm I1(3; 1), Bán kính R1 = 14

Đường tròn (C2) có tâm I2(2; 4), Bán kính R2 = 23

Trang 5

m(x2 + y2 - 6x – 2y – 4) + n(x2 + y2 - 4x - 8y - 3) = 0 , với m + n ≠ 0

⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 - 2(3m + 2n)x – 2(m + 4n)y - 4m - 3n = 0

Bán kính của đường tròn R = 5 ⇔

25

Chọn n = - 1 Ta có 4m3 -26m2 + 40m – 8 = 0 ⇔ m = 2 v m = 1

11 Với m = 2, n = - 1 Ta có phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

Tương tự với m = 1

11, n = - 1 Ta có phương trình đường tròn (C) là:

x2 + y2 - 19

5 x -

43

5 y -

29

10 = 0.

Bài 20: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 4y – 5 = 0 và đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0

a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt

b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và đi qua điểm M(1; 2)

Giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 13

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 5

2 .

Ta có d(I,∆) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt

b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ với (C) có dạng

(C’): m(x2 + y2 – 4x + 4y – 5 ) + n(x + y – 5 ) = 0 với m ≠ 0

Do M ∈ (C’) nên ta có 4m – 2n = 0 suy ra chọn m = 1, n = 2

Phương trình đường tròn (C’) là : x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0

Bài 21: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 và đường thẳng ∆: x + y + 5 = 0

b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y

-3 = 0

Giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 15

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 2 2

(C’): m(x2 + y2 – 2x + 4y – 10 ) + n(x + y + 5 ) = 0 với m ≠ 0

⇔ mx2 + my2 + (- 2m + n)x + (4m + n)y – 10m + 5n = 0

Tâm của đường tròn (C’) là 2 ; 4

m n m n I

Do I ∈ d nên ta có -6m - 3n = 0 suy ra chọn m = 1, n = - 2

Phương trình đường tròn (C’) là : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0

Bài 22: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y – 8 = 0 và đường thẳng ∆: x - y - 2 = 0

b) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và (C) và bán kính bằng 5

Giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 2), bán kính R = 13

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ là d(I, ∆) = 5

2 .

Trang 6

(C’): m(x2 + y2 + 2x - 4y – 8) + n(x - y - 2) = 0 với m ≠ 0.

⇔ mx2 + my2 + (2m + n)x + (- 4m- n)y – 8m – 2n = 0

Bán kính đường tròn (C’) là R’ = 5 ⇔

25

Chọn m = 1 ta có n = 2 v n = - 12

Với m = 1, n = 2 Phương trình đường tròn (C’) là : x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0

Với m = 1 , n = - 12.Phương trình đường tròn (C’) là : x2 + y2 - 10x - 8y + 16 = 0

Bài 23: Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0 qua trục Ox

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(4; - 1), bán kính R = 5.

Đường tròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Ox, bán kính R’ = R

Ta có I’(4; 1), bán kính R’ = 5

Phương trình đường tròn (C’) là: (x – 4)2 + (y – 1)2 = 25

Bài 24: Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 qua trục Oy

Đường tròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Oy, bán kính R’ = R

Ta có I’(- 2; - 3), bán kính R’ = 5

Phương trình đường tròn (C’) là: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25

Bài 25: Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 qua gốc toạ độ O

Đường tròn (C’) có tâm I’ đối xứng với I gốc toạ độ O, bán kính R’ = R

Ta có I’(- 3; 2), bán kính R’ = 4

Phương trình đường tròn (C’) là: (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16

Bài 26: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ (2; 3)vr −

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ vr, bán kính R’ = R

Ta có I’(1; - 2), bán kính R’ = 3

Phương trình đường tròn (C’) là: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9

Bài 27: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 qua phép quay tâm O góc quay 900

Đường tròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 900,

bán kính R’ = R

Phương trình đường tròn (C’) là: (x - 4)2 + (y - 2)2 = 25

Bài 28: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0 qua phép đối xứng trục

∆ : 3x + y – 5 = 0

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(- 2; 1), bán kính R = 1.

Đường tròn (C’) có tâm I’ là ảnh của I đối xứng trục ∆ , bán kính R’ = R

Phương trình đường thẳng d đi qua I, vuông góc với ∆ là x – 3y + 5 = 0

Gọi H = ∆ ∩ d Ta có H(1; 2) suy ra H là trung điểm của II’

Phương trình đường tròn (C’) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1

Bài 29: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 qua điểm M(1; 4)

Đường tròn (C’) có tâm I’ , bán kính R’ = R

Ta có M là trung điểm của II’ suy ra I’(- 1; 9), bán kính R’ = 2

Phương trình đường tròn (C’) là: (x + 1)2 + (y - 9)2 = 4

Bài 30: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 qua phép vị tự tâm O tỷ

số k = 2

Trang 7

Đường tròn (C’) có tâm I’ thoả mãn OIuuur'=kOIuur hay I’(2; - 4), bán kính R’ = |k|R = 10.

Phương trình đường tròn (C’) là: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 100

Bài 31: Cho tam giác ABC có trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, P và trọng tâm G(1; 2) Phương

trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là x2 + y2 – 4x – 2y -11 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải: Ta có tam giác ABC là ảnh của tam giác MNP qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2.

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP, (C’) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2

Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = 4

Đường tròn (C’) có tâm I’ thoả mãn GIuuur'=kGIuur hay I’(- 1; 4)

Bán kính đường tròn (C’) là R’ = |k|R = 8

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64

Bài 32: Cho tam giác ABC có B(1; - 3), C(- 3; 5), trực tâm H Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là x2 +

y2 + 6x – 16 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải: Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp ∆ HBC qua đường thẳng BC.

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ∆ HBC Đường tròn (C) có tâm I(- 3; 0), bán kính R = 5

Gọi (C’) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

Đường tròn (C’) có tâm I’, I’ đối xứng với I qua đường thẳng BC, bán kính R’ = R = 5

Phương trình cạnh BC là: 2x + y + 1 = 0

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc vơi BC Phương trình đường thẳng d là:

x – 2y + 3 = 0

Gọi M = d ∩ BC Ta có M(- 1; 1)

M là trung điểm của đoạn thẳng II’ Toạ độ điểm I’ (1; 2)

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25

Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(8

3; 5) , phương trình đường tròn đi qua ba chân đường cao là x

2 + y2 – 10x – 18y + 81 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải: Gọi (C) là đường tròn đi qua ba chân đường cao Ta có (C) là đường tròn Ơle đi qua 9 điểm Vì vậy đường tròn

(C) đi qua ba trung điểm của ba cạnh của ∆ ABC

Ta có đường tròn (C) có tâm I(5; 9), bán kính R = 5

Gọi (C’) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC có tâm I’ , bán kính R’

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm G tỷ số k = - 2

Ta có GIuuur'=kGIuur Hay I’(- 2; - 3) Bán kính R’ = |k|R = 10

Phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 100

II – BÀI TẬP VỀ DÂY CUNG.

Bài 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 và điểm M(3; - 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho ME = MF

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; - 1) và bán kính R = 5.

Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là PM/(C) = -23 < 0

Suy ra điểm M nằm trong đường tròn (C)

Theo tính chất về dây cung của đường tròn ta có đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với IM

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; - 2) có một vectơ pháp tuyến n IMr uuur= = −(1; 1) Phương trình đường thẳng ∆ là: x – y

- 5 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 và điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài

a) lớn nhất

b) nhỏ nhất

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5

a) Theo tính chất đường kính là dây cung lớn nhất Suy ra đường thẳng ∆ đi qua M và tâm I Phương trình đường thẳng ∆ là : x + 2y – 5 = 0

Trang 8

b) Ta có phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là PM/(C) = -20 < 0 Suy ra điểm M nằm trong đường tròn (C)

Ta có IM ≥ IH nên EF ≤ CD

Áp dụng tính chất trong một đường tròn dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn Vì vậy dây cung đi qua M có độ dài nhỏ nhất khi nó xa tâm nhất hay là dây cung đó vuông góc với IM

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) có một vectơ pháp tuyến n IMr uuur= =(2; 1)− Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x – y – 5 = 0

Bài 3: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 và (C2): x2 + y2 – 6x + 2y – 10 = 0

a) Chứng minh rằng đường tròn (C1) và đường tròn (C2) cắt nhau tại hai điểm A và B

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt đường tròn (C1) tại E, cắt (C2) tại F với E,F khác A sao cho EF lớn nhất

Giải:

a) Đường tròn (C1) có tâm I1(2; - 3) và bán kính R1 = 5 Đường tròn (C2) có tâm I2(3; - 1) và bán kính R2 = 20

Ta có I1I2 = 5 và |R1 – R2| < I1I2 < R1 + R2 Suy ra đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) Toạ độ giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình

v

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của dây cung AE, AF Ta có EF = 2HK

Xét tam giác vuông KLH ta có HK ≤ KL

Vì vậy EF lớn nhất khi HK ≡ KL

Hay đường thẳng ∆ // I1I2

1 2 (1; 2)

I I =

uuur

TH1: A(- 1; 1)

Phương trình đường thẳng ∆ là:

2x – y +3 = 0

TH2: A(7; - 3)

Phương trình đường thẳng ∆ là:

2x – y – 17 = 0

I – BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

Bài 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)

a) Đi qua M(2; 4)

b) Đi qua N(3; 7)

c) Đi qua P(- 1; - 6)

d) Song song với đường thẳng d1: 3x + y – 6 = 0

e) Vuông góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – 2 = 0

Giải: Đường tròn (C) có tâm I(- 2; 1) bán kính R = 5.

a) Ta có PM/(C)= 0 nên điểm M thuộc đường tròn (C) Tiếp tuyến đi qua M có một vectơ pháp tuyến

(4;3)

n=IM =

r uuur

Phương trình tiếp tuyến là : 4x + 3y – 20 = 0

b) Ta có PN/(C) > 0 nên điểm N nằm ngoài đường tròn (C)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có dạng ∆: A(x – 3) + B(y – 7) = 0, A2 + B2 ≠ 0

E

F

C

D

M

I H

A

B

I2

I1

E

F

H

K L

Trang 9

Ta có d(I; ∆) = R ⇔ | 5A2 6 |B2 5

A B

+ ⇔ 25A2 – 60AB + 36B2 = 25A2 + 25B2

⇔ B(11B – 60A) = 0 ⇔ B = 0 v 11B – 60A = 0

Với B = 0 chọn A = 1 Phương trình tiếp tuyến là: x – 3 = 0

Với 11B – 60A= 0 chọn A = 11, B = 60 Phương trình tiếp tuyến là 11x + 60y - 453 = 0

c) Ta có PP/(C) > 0 nên điểm N nằm ngoài đường tròn (C)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có dạng ∆: A(x + 1) + B(y + 6) = 0, A2 + B2 ≠ 0

Ta có d(I; ∆) = R ⇔ | A2 7 |B2 5

A B

+ ⇔ A2 - 14AB + 49B2 = 25A2 + 25B2

⇔ 24A2 + 14AB – 24B2 = 0 ⇔ 3

4

A

B = v 4

3

A

B = −

4

A

B = chọn A = 3, B = 4 Phương trình tiếp tuyến là: 3x + 4y + 27 = 0

3

A

B = − chọn A = 4, B = - 3 Phương trình tiếp tuyến là 4x - 3y - 14 = 0

d) Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng d1: 3x + y – 6 = 0 nên phương trình đường thẳng ∆: 3x + y + m = 0

Ta có d(I, ∆) = 5 ⇔ | 6 12 | 5

m

− + + = + ⇔ m = 5 ± 5 10 Phương trình hai tiếp tuyến là: 3x + y 5 ± 5 10

e) Tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – 2 = 0 nên phương trình đường thẳng ∆: 3x - 4y + m = 0

Ta có d(I,∆) = R ⇔ | 6 42 2 | 5

m

− − + = + ⇔ m = 35 v m = - 15.

Vậy phương trình hai tiếp tuyến là: 3x – 4y + 35 = 0 và 3x – 4y – 15 = 0

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Tiêu đề	Phương trình đường tròn- ôn thi đại học
Người hướng dẫn	Trần Đình Hiền, GV
Trường học	Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Bài tập viết phương trình đường tròn
Năm xuất bản	2007
Thành phố	Thanh Chương

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	340,5 KB