Sử dụng tính chất nghiệm pt đại số... Biện luận nghiệm pt theo m III.
Trang 1Sử dụng tính chất nghiệm pt đại số CMR:
1 tan2100 + tan2500+ tan2700 = 9 2 tan6200 + tan6400+ tan6800 = 33273
3 tan 5 tan tan44 10 tan22 5
5 tan 10 tan 1
=
− + 4
cos 7 a = cos (64cos 112cos a − a + 56cos a − 7)
5
4cos cos cos
S
4
S
7
2
2
n
n
n
S
a a
8
1
2n
π +
− + + + = ( trong đó có n -1 dấu căn )
I.Chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức:
4 a − 1 − a − 3 a − 1 − a ≤ 2
Giải: ĐK: 1 − a2≥ ⇔ 0 a ≤ 1 Đặt : a = cosα với α ∈ [ ] 0; π
4
π
α + α ≤ ⇔ α − ữ ≤
VD2:Cho các số a, b thoả mãn: |b| ≤ |a| CMR : |a+b| + |a-b| = a+ a2− b2 + − a a2− b2 (1)
Giải: Xét a = 0 ⇒b = 0 có (1) luôn đúng
Xét a ≠ 0 biến đổi (1) về dạng :
|1+ | + |1- | = 1+ 1 1 1
| 6a+12b| Đặt b
a = cosα với α ∈ [ ] 0; π có đpcm
VD3: CMR: a2− + 1 3 2 ≤ a Đặt a = 1
π
α ∈ ữ
VD4: Cho a,b,c,d thỏa mãn a 2 + b 2 = 1 và c 2 + d 2 = 1 CMR: | ac + bd | ≤ 1
VD5: CMR: 1 + ab ≤ a2+ 1 b2+ 1
2 2
a tg = α b tg = β α β ∈ − π π
4
a b c abc ab bc ac CMR
================================================================
Trang 2Giải Đặt tan tan tan ; ; ;
2 2
a = α b = β c = γ α β γ ∈ − π π
Từ giả thiết ta có
tan α + tan β + tan γ − tan tan tan α β γ = − 1 tan tan α β − tan tan γ β − tan tan γ α
*/ Ta xét 2 trờng hợp:
TH1: 1 tan tan − α β − tan tan γ β − tan tan γ α = 0 ta có đợc:
tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan
k l
π
α β γ π
+ + = +
⇒
+ + =
mâu thuẫn TH2: 1 tan tan − α β − tan tan γ β − tan tan γ α ≠0 ta có đợc:
1 tan tan tan tan tan tan
π
α β γ + + = ⇒ + + = + α β γ π
2 k
π
α + β + γ = + π ⇒ tan 2 tan 2 α β + tan 2 tan 2 γ β + tan 2 tan 2 γ α = − 1
⇒ cot 2 α + cot 2 β + cot 2 γ = cot 2 cot 2 cot 2 α β γ
⇒ 1 2 1 2 1 2 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2)
4
VD7: Cho |a| ≤ 1 CMR: (1-a) n +(1+a) n≤ 2 n , ∀ n ≥ 2.
Giải: Đặt a = cos 2α , 0;
2
π
α ∈
VT = (1-cos2α )n +(1+cos2α )n = 2n.sinnα +2n.cosnα =2n(sinnα +cosnα )≤ 2n(sin2α +cos2α ) ≤ 2n = VF
VD8: CMR: a 1 − b2 + b 1 − a2 + 3 ab − (1 − a2)(1 − b2) ≤ 2
Đặt a = sin ; α b = sin β α β ; ∈ [ ] 0; π
VD9: Cho a 2 +b 2 +c 2 +2abc = 1 và 0 < a; b; c < 1
CMR: abc + = 1 c (1 − a2)(1 − b2) + b (1 − c2)(1 − a2) + (1 − b2)(1 − c2)
VD10: Cho ab+bc+ca = 1 CMR: 4abc = a(1-b 2 )(1-c 2 ) +b(1-a 2 )(1-c 2 ) +c(1-b 2 )(1-a 2 )
VD11: Cho a+b+c = abc CMR: 2abc = a(1-b 2 )(1-c 2 ) +b(1-a 2 )(1-c 2 ) +c(1-b 2 )(1-a 2 )
VD12: Cho a+b+c = abc và ab+bc+ca ≠ 1 CMR:
1
a b c b c a c b a abc
ab bc ca
=
+ + −
a b b c c a a b b c c a
VD14: Cho a+b+c=abc CMR:
a a b b c c a a b b c c
VD15 Cho x 2 +y 2 = 1 CMR:
x
6 6
1
1
4 ≤ x + y ≤
VD16:Cho 4a 2 +9b 2 =25 CMR: 6a+12b ≤ 25
VD18: Cho ab+bc+ca = 1 CMR: a+b+c – 3abc = a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )+c(a 2 +b 2 )
================================================================
Trang 32
VD20: Cho a;b;c là 3 cạnh của một tam giácvà hai số x;y thoả mãn : ax+by = c CMR: 2 2 2
2 2
c
x y
a b
+ ≥
+
II Giải ph ơng trình và bất ph ơng trình:
VD1: Giải bất phơng trình: 1 + − x 1 − ≤ x x đặt x = cost với t ∈ [ ] 0; π
VD2: Giải phơng trình: 1 + 1 − x2 = x ( 1 2 1 + − x2) đặt x = sint với ;
2 2
t − π π
∈
VD3: Giải phơng trình:
1
x x x
− đặt x =
1
cost với t 0; 2
π
∈ ữ
VD4: Với a≠ 0 giải bpt :
2
2 2
2 2
2a
x a x
x a
+ ≤ +
+ đặt x = |a|.tant với t 2 2 ;
π π
−
∈ ữ
VD5: Giải bpt: 4x 3 – 3x = ẵ
VD6: Biện luận số nghiệm của phơng trình theo m: 12 3x − 2 = − x m đặt x = 2sint với ;
2 2
t − π π
∈
VD7: PT: 4 x3− 3 x = 1 − x2 có bao nhiêu nghiệm đặt x = cost với t ∈ [ ] 0; π
+ − = + − đặt x=cos 2 t với 0;
2
t π
∈
VD9: Cho pt:
2
x − x =
− a Giải pt khi m =
2 2 3
− b Biện luận nghiệm pt theo m
III Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
VD1: Tìm GTLN của hàm số: y = (1+x) 2008 +(1-x) 2008 đặt x = cost với t ∈ [ ] 0; π
VD2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
4 2 2
1 1
x y
x
+
= + đặt x = tant với t 2 2 ;
π π
−
∈ ữ
VD3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: u x y ( ; ) 2 = x + 3 y + 2 với 4x 2 +9y 2 = 16
VD4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số u x y ( ; ) = x 1 + + y y 1 + x với x 2 +y 2 =1
( ; )
x y xy
u x y
= + +
2 2 2 2
( ; )
x y x y
u x y
=
VD7: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
================================================================
Trang 44
1
x y
x
=
6 2 2
1 1
x y
x
+
=
6 3 2
1 1
x y
x
+
= +
VD8: Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức: x 2 +y 2 = 1 Tìm GTLN và GTNN của:
2
2
x xy P
xy y
+
=
================================================================