chuyen đề luong giác

Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác 3... Bảng giá trị lượng giác của các góc cung đặc biệtII... Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm

I HỆ THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác:

cos

sin

tan

' cot









Nhận xét:

 a, 1 cos  a 1; 1 sin   1

 tana xác định khi ,

2

a k k Z

 cota xác định khi a k k Z , 

2 Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư Giá trị lượng giác

3 Hệ thức cơ bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1

4 Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa  a sin( a) sin a sin cos



sin( )a  sina cos(  a)  cosa cos sin



tan( )a  tana tan( a)  tana tan cot



cot( )a  cota cot( a) cota cot tan



CHƯƠNG I

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCCHƯƠNG I

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cosin O

cotang

ta

M Q

B T'



T

5 Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng:

Trang 2









0

6



4



3



2

3

 3

4

2

 2

0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0

sin 0 1

cos 1 3

2

2 2

1

1 2

2

tan 0 3

3 3

sin(a b ) sin cos a b  sin cosb a

sin(a b ) sin cos a b sin cosb a

cos(a b ) cos cos a b  sin sina b

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b



 tan tan tan( )

1 tan tan

a b





Hệ quả: tan4 x 1 tan1 tan x x, tan4  x 1 tan1 tan x x

III CÔNG THỨC NHÂN

1 Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a cos a sin a 2cos a1 1 2sin  a

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1

2 cot

1 tan

a a





2 Công thức hạ bậc: 3 Công thức nhân ba:

4 Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan2a :

2

a

t  a  k thì: sin 2 2

1

t a

t



 ; cos 1 22

1

t a

t





1

t a

t





IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1 Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2 cos sin

sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) tan tan

cos cos

a b



sin( ) cot cot

sin sin

a b



sin( ) cot cot

sin

b a

a sinb



a a a  a 

2 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2 1

2

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan3

1 3tan

a

a







2

2

2

1 cos2

sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

a a

a a

a















Ph¬ng tr×nh - HƯ ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c

Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

sin

y  x : Tập xác định D = R; tập giá trị T   1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T   0 2

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

 

* y = sin(f(x)) xác định  f x( ) xác định

cos

y  x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T   0 2

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

 

* y = cos(f(x)) xác định  f x( ) xác định

tan

y  x : Tập xác địnhD R \2k k Z,  



 ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T  0

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0

a



* y = tan(f(x)) xác định  f x( ) ( )



cot

y  x : Tập xác địnhD R k k Z \ ,   ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T  0

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0

a



* y = cot(f(x)) xác định  f x( ) k (k Z )

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y f x1( ) f x2( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

a/ y sin x2x1



Trang 4

ỢNG GIÁC

d/ y  1 cos 2x e/ 1

sin 1

y

x



 f/ y tanx 6



g/ y cotx 3



h/ y cos(sinx )

x



tanx 1

a/ y = 2sin 1

4

x

 b/ y 2 cosx 1 3 c/ y sinx

d/ y 4sin2x 4sinx3 e/ y cos2x2sinx2 f/ y sin4x 2 cos2x1 g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2x cos2x i/ y = sinx 3 cosx3

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx

g/ y = sin tan

sin cot



sin

x x



i/ y = tan x

3

x

d/ sin 2 cos

2

x

g/ y 2sin cos3x x h/ y cos 42 x i/ y = tan(3x + 1)

ĐS: a/ . b/ 6 c/ . d/ 4 e/  f/ 70 g/  h/

4

 i/

3



Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác định D

– Tìm chu kỳ T0 của hàm số

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

0

0,

x  T  hoặc 0, 0

2 2

T T

x  

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k T i 0

về bên trái

và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y

= f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0

b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành

c/ Đồ thị y  f x( ) -f(x), nếu f(x) < 0f x( ), nếu f(x) 0

 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị: 1, 1  

– Chu kỳ: T = 2

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 

– Tịnh tiến theo véctơ v 2 k i

 ta được đồ thị y = sinx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2 

  và nghịch biến trên ,   2 





Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị: 1, 1  

– Chu kỳ: T = 2

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : 

– Tịnh tiến theo véctơ v 2 k i

 ta được đồ thị y = cosx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

Trang 6

1

  2



2

2



2













3 2



   2



 

2

2



2



y = cosx

–1

y

x







x0y 0

–1 0

– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2 

  và nghịch biến trên khoảng  , 3

2





Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.

– Tập xác định: D = R \2k k Z,  



 – Tập giá trị: R

– Giới hạn:

2

lim

x

y

 





: 2

x

  là tiệm cận đứng

– Chu kỳ: T = 

– Bảng biến thiên trên  2 2, 

   :

– Tịnh tiến theo véctơ v k i

 ta được đồ thị y = tanx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.

– Tập xác định: D = R\k k Z,  

– Tập giá trị: R

– Giới hạn:

0

tiệm cận đứng: x = 0, x = 

– Chu kỳ: T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0,  :

– Tịnh tiến theo véctơ v k i

 ta được đồ thị y = cotx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D







x0y 0 +

–

x

y

3 2



2



2

2

2









2

  3

2



2





2

2





Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.

– Vẽ đồ thị y = sinx

– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx

sin , nếu sin x 0 sin -sin x, nếu sin x < 0.x



Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.

– Vẽ đồ thị y = cosx

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y  1 cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị y cosx lên trục hoành 1 đơn vị

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2  :

Trang 8

y

x –2 3

2



2

2

O



2





y = –sinx 1

–1



2



2

2

O

y = /sinx/

y 1

x

x0y = cosx1 0

–1 01y = 1 + cosx2

1

0 12

2



y = 1 + cosx

y

x



2

2



y = cosx

2 1

–1

Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.

– y = sin2x có chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2  :

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.

– y = cos2x có chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2  :

2



y

x



4





4



1

3 2



2

4



y = sin2x

–1

x
2x
y = sin2x

0

–1 01 0

x
2x
y = cos2x

–1 01 0 –1

O

y

x

4



1

2



4







3 4



Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y sinx 4



có chu kỳ T = 2.

Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y cosx 4



có chu kỳ T = 2.

Ví dụ 12: Vẽ đồ thị y sinxcosx  2 sinx 4



có chu kỳ T = 2.

Trang 10



































3 2









4





2





4





4



2

4

4

4







2 / 2

2 / 2





Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y cosx sinx  2 cosx 4



có chu kỳ T = 2.





3  

     3  5

  

2 1





3  

     3  5



2 1





























3 2









4





2





4





4



2

4

4

4







2

2





4



2









3 4







4

2



4



2

4





2

  
    
 











Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.

– Tập xác định: D R k \ , 2 k Z 

 – Chu kỳ T = 

Trang 12

  




















4 3 3



4 3 3



2





3





4





6





6



4



3



2







I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = sin

a/ sinx sin  x x  k2 k2 (k Z )





b/

arcsin 2

x a Điều kiện a





c/ sinu  sinv  sinusin( )v

2

u  v  u    v



2

u  v  u  v 



Các trường hợp đặc biệt:

sinx 0  x k  (k Z )

2

x   x  k k Z

2

x   x   k k Z



2

x   x  x   x   x k k Z



2 Phương trình cosx = cos

a/ cosx cos  x  k2 ( k Z )

b/ coscosx x aa Điều kiện. x arccos: 1 a k a 2 (1. k Z )

c/ cosu  cosv  cosucos( v)

2

u  v  u    v



2

u v  u   v



Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x  k k Z

 cosx 1  x k 2 ( k Z ) cosx 1  x   k2 ( k Z )

cosx  1 cos x 1 sin x  0 sinx 0  x k  (k Z )

3 Phương trình tanx = tan

a/ tanx tan  x  k (k Z )

b/ tanx a  x arctana k k Z (  )

c/ tanu  tanv  tanu tan( )v

d/ tan cot tan tan

2

u  v  u    v

2

u v  u   v



Các trường hợp đặc biệt:

4

x   x   k k Z



4 Phương trình cotx = cot

cotx cot  xk (k Z )

cotx a  x arccota k  (k Z )

Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x k k Z

4

x   x  k k Z



5 Một số điều cần chú ý:

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x k k Z



* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

x k  k Z

* Phương trình có mẫu số:

 sinx 0  x k  (k Z )

2

x   x k k Z



2

x   x k  k Z

2

x   x k  k Z b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

1) cos 2 x60



2) cos 4 x 31



3) cos 5 x1



Trang 14

4) sin 3 x30



5) sin2 4x 1



6) sin 6 2x1



7) sin 3 1 1

2

x   8) cos 150 2

2

x



10) cos 6  2x 12



11) tan 2 x 1  3 12) cot 3 100 3

3

13) tan 3 x 61



14) cot 2 x 31



15) cos(2x + 250) = 2

2



1) sin 3 x1 sin  x 2 2) cosx 3cos 2 x 6

3) cos3xsin2x 4) sinx1200cos2x0 5) cos 2 x 3cosx 30

6) sin3xsin 4 2 x0



7) tan 3 x 4tanx6

8) cot 2 x 4cotx 3

9) tan 2 x1 cot x0 10) cosx2x 0

11) sinx2 2x 0 12) tanx22x3 tan 2

2

x 

15) cos 1

2

x  16) sin2x 4cos2x



II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu đặt: tsin2x hoặc tsinx thì điều kiện: 0 t 1

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan2x 1 3 tan x 3 0

asin x b x c  t = sinx   1 t 1

2

2

2

x k k Z



2

5) 4sin2x 2 3 1 sin   x 3 0 6) 4 cos3x3 2 sin 2x8cosx

7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

1) 4sin23x + 2 3 1 cos3   x 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4)

2

5) 3

4

1 tan x = 0 7) 12

1

cos x + 3cot

2x = 5 9) cos2x – 3cosx = 4 cos2

2

5

x

x



phương trình thuộc0 ; 2 

phương trình thuộc  ; 

x x  x 

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

Cách 1:

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

(1)  2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b  a b  a b

phương trình trở thành: sin sinx cos cosx 2c 2

a b



a b



 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

 (2)  x     k2 (k Z )

Cách 2:

Trang 16

a/ Xét 2

2 2

x

x  k   k

   có là nghiệm hay không?

2

x

x  k   

Đặt: tan , sin 2 2, cos 1 22,



  ta được phương trình bậc hai theo t:

2

(b c t )  2at c b  0 (3)

Vì x  k2  b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

' a  (c  b ) 0  a b c

 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t



Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2 3/ Bất đẳng thức B.C.S:

y a x b x  a b x x  a b

1) cosx 3 sinx 2 2) sin cos 6

2

x x 3) 3 cos3 sin3x x 2 4) sinxcosx 2 sin5x 5)  3 1 sin  x  3 1 cos  x 3 1 0 

6) 3 sin 2 sin 2 1

2

x   x



1) 2sin2x 3 sin2x 3 2) sin8x cos6x 3 sin 6 xcos8x

sin cos

x

3

x   x



5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

1) 2sinx 4

  + sin x 4

  = 3 2

2 2) 3 cos2x sin2x 2sin 2x 6 2 2



IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin 2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1

2



 Khi cosx  , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos2x  ta được: 0

a x b x c d   x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2

(a d t ) b t c d    0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

.sin 2 ( ).cos2 2

      (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x

1) 2sin2x1 3 sin cos x x1 3 cos 2x1

2) 3sin2x8sin cosx x8 3 9 cos  2x0

3) 4sin2x3 3 sin cosx x 2cos2x 4

4) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

5) 2sin2x3 3 sin cos x x 3 1 cos  2x 1

6) 5sin2x2 3 sin cosx x3cos2x2

7) 3sin2x8sin cosx x4cos2x 0

8)  2 1 sin  2xsin 2x 2 1 cos  2x 2

9)  3 1 sin  2x 2 3 sin cosx x 3 1 cos  2x 0

10) 3cos4x 4sin2xcos2xsin4x0

11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin cos sin2 2 1

2

nghiệm

Trang 18

V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

4

t  x  x  x  t 

  



2 1 2sin cos sin cos 1( 2 1).

2

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Suy ra x

Lưu ý dấu:

x x  x   x 

x x  x   x 

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

4

t  x  x  x  Đk  t

  



2

1

2

 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1) 2sin 2x 3 3 sin xcosx 8 0 2) 2 sin xcosx3sin 2x2

3) 3 sin xcosx2sin2x3 4) 1 2 1 sin   xcosx sin2x

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) 1 2 sin  xcosx sin2x 1 2

1) sin 2x 4 cos x sinx 4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) 1 2 1 sin   x cosx sin 2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

5) sin2x + 2 sin 1

4

x



6) sinx cosx2  2 1 (sin  x cos )x  2 0

1) sin3x + cos3x = 1 +  2 2 sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sinxcosx  8 0