Chuyên đề lượng giác K11CB

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  A.. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a.. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và gi

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC



A Kiến thức cần nhớ

1. Ôn tập

sin2 + cos2 = 1

1 + tan2 =



2

cos 1

1 + cot2 = tan cot = 1

cos(- ) = cos sin(- ) = -sin tan( ) = tan cot( ) =

sin = sin cos = -cos tan = -tan cot = -cot

sin = - sin cos = -cos tan = tan cot = cot

sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan

cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) =

tan(a + b) =

sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a tan2a =

cos2a = sin2a = tan2a =

cosa cosb = sina sinb = sina cosb =

cosu + cosv = 2cos cos cosu - cosv = -2sin sin sinu + sinv = 2sin cos sinu - sinv = 2cos sin

2 Hàm số sin

 Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1 sinx 1,

 Là hàm số lẻ

 Tuần hoàn với chu kì 2

 Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

+ sinx = 0 x = k , k Z

+ sinx = 1 x = , k Z

+ sinx = -1 x = - , k Z

3 Hàm số côsin

 Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1 cosx 1,

 Là hàm số chẵn

 Tuần hoàn với chu kì 2

 Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

+ cosx = 0 x = , k Z

+ cosx = 1 x = k2 , k Z

+ cosx = -1 x =(2k + 1) , k Z

4 Hàm số tang

 Hàm số y = tanx = có tập xác định là D= R\

 Là hàm số lẻ

 Tuần hoàn với chu kì

 Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

+ tanx = 0 x = k , k Z

+ tanx = 1 x = , k Z

+ tanx = -1 x = - , k Z

5 Hàm số côtang

 Hàm số y = cotx = có tập xác định là D= R\

 Là hàm số lẻ

 Tuần hoàn với chu kì

 Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

+ cotx = 0 x = , k Z

+ cotx = 1 x = , k Z

+ cotx = -1 x = - , k Z

B Ví dụ và bài tập

VD1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a y = sin(2x + 1) b y = cos

c y = tan(x + ) d y = cot(2x - )

Giải

a Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R

b Hàm số y = cos xác định khi x 0 Vậy tập xác định của hàm số

y = cos là D = R\

c Hàm số y = tan(x + ) xác định khi x + + k x k Vậy tập xác định của hàm số là D = R\

d Hàm số y = cot(2x - ) xác định khi 2x - k x + k Vậy tập xác định của hàm số là D = R\

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a y = sin b y = c y =

d y = e y = cot( f y =

g y = h y = tan( ) i y = sin

k y = l y = cos m y =

n y = p y = tanx + cotx q y =

VD2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a y = 3 + 2sinx b y = c y =

Giải

a Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 1 3 + 2sinx 5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1

x = , k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1

x = - , k Z

b Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 1

x = , k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0

x = , k Z

c Vì -1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = 1 3x = , k Z x = , k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = -1 3x = - , k Z x = - , k Z

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a y = b y = 1- 2sin22x c y = 4 - 3

g y = 1 – sin2x h y = 3sin(x- ) -1 i y = -2 +

k y = 2cos l y = 3 + 1 m y = 2- 3cosx

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

 f(x) là hàm số chẵn trên D

 f(x) là hàm số lẻ trên D

Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a y = sin2x b y = -2 +3cosx c y = cosx – sinx

d y = tanx.sinx e y = cos2x + sin f y = cotx

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình sinx = a (1)

 Nếu >1 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu 1: gọi là cung thoả mãn sin = a Khi đó

sinx = a sinx = sin Nếu thoả mãn điều kiện - và sin = a thì ta viết = arcsina Khi đó nghiệm của phương trình (1) là

Phương trình sinx = sin

Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời

hai đơn vị độ và radian

2 Phương trình cosx = a (2)

 Nếu >1 thì phương trình (2) vô nghiệm

 Nếu 1: gọi là cung thoả mãn cos = a Khi đó

cosx = a cosx = cos Nếu thoả mãn điều kiện 0 và cos = a thì ta viết

= arccosa Khi đó nghiệm của phương trình (2) là

Phương trình cosx = cos

3 Phương trình tanx = a (3)

Điều kiện

Gọi là cung thoả mãn tan = a Khi đó

tanx = a Nếu thoả mãn điều kiện - < < và tan = a thì ta viết = arctana Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:

x = arctana + k , ( ) Phương trình tanx = tan

4 Phương trình cotx = a (4)

Điều kiện

Gọi là cung thoả mãn cot = a Khi đó

cotx = a Nếu thoả mãn điều kiện 0< < và cot = a thì ta viết

= arccota Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:

x = arccota + k , ( ) Phương trình cotx = cot

B Ví dụ và bài tập

VD1: Giải các phương trình sau:

a sinx = b sin2x = c cos(2x + )=

d tan(x – 600) = e cot(x - )= 5f cos(x -750) = -1

*g tan3x = tanx *h tan5x – cotx = 0

Giải

a sinx =

Vậy nghiệm của phương trình sinx = là:

b sin2x =

Vậy nghiệm của PT sin2x = là:

c cos(2x + )= cos(2x + )= cos

Vậy nghiệm của Pt cos(2x + )= là:

d tan(x – 600) =

Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) = là:

e cot(x - )= 5

Vậy nghiệm của Pt cot(x - )= 5 là:

f cot(x -750) = -1

Vậy nghiệm của Pt cot(x -750) = -1 là:

g tan3x = tanx

Điều kiện

Ta có

tan3x = tanx 3x = x +l x = l

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x = m (m )

h tan5x – cotx = 0

Điều kiện

Ta có

tan5x = cotx tan5x = tan( 5x = + l (l Z)

x = + l (l Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x = + l (l Z)

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a cos(3x - )= - b cos(x -2) = c cos(2x + 500) =

d (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e tan2x = tan f tan(3x -300) = -

g cot(4x - )= h sin(3x- 450) = i sin(2x +100)= sinx

k (cot -1)(cot +1)= 0 l cos2x.cotx = 0 m cot( )= -1

n sin(2x -150) = - p sin4x = q cos(x + 3) =

r cos2x cot(x - )= 0 s cos3x = t tan(

u cos3x – sin2x = 0 v sin3x + sin5x = 0

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 0

d 2sinx + sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1 f sin3x + sin5x = 0

g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0

*i tan(x - ) + cotx = 0 *j tan5x = tan3x

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP



A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm

số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at 2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các

hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)

Cách giải

Chia hai vế phương trình (1) cho ta được

(2)

Pt (2) trở thành: cos sinx + sin cosx =

sin(x + ) = (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý:

 Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm

a2 + b2 c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 c 2

 sinx cosx = sin(x )

4 Phương trình asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x = d

Cách giải

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d

bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

Cách 2:

Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x 0 ta được phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

(a – d).tan2x + btanx + c – d = 0

B Ví dụ và bài tập

VD1: Giải các phương trình sau:

a 2sinx – = 0 b 2tanx – 5 = 0

c ( cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d 2sin2x – sin2x = 0

Giải

a 2sinx – = 0 2sinx = sinx = sinx = sin

Vậy nghiệm của phương trình là:

b 2tanx – 5 = 0 2tanx = 5 tanx = x = arctan + k (k Z)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan + k (k Z)

c ( cotx – 3)(2cosx –1) = 0

(1) cotx = 3 cotx = cotx = cot x = + k (k Z) (2) 2cosx =1 cosx = cosx = cos

Vậy nghiệm của phương trình là:

d 2sin2x – sin2x = 0

2sin2x – 2sinx.cosx = 0 2sinx(sinx – cosx) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + = 0 c 1 - tan(5x + 200) =0

d 2cos3x + 1 = 0 e sin(3x + 1)= f cos(x + )=

g (2cosx + )(tan(x +100) - ) = 0 h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0

i 8sinx.cosx.cos2x = j sin2x +2cox = 0 k tan(x +1) – 2008=0

l 3tan2x + tanx = 0 m 4sin2x – sin22x = 0 n - 2sin3x = 0

p cot(x + ) = 1 q cos2(x – 300) = r 8cos3x – 1 = 0

Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:

a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + ) = -1 c

VD2: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0

c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d tan4x + 4tan2x - 5 = 0

Giải

a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được: 2t2 – 5t -3 = 0

Với t = - ta được

sinx = - sinx = sin(- )

Vậy nghiệm của phương trình là:

b cot22x – 4cot2x -3 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

c 2cos2x +3sinx - 3 = 0

2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0

2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0

2sin2x – 3sinx + 1 = 0

Với sinx = 1 x =

Với sinx = sinx = sin

Vậy nghiệm của pt là:

d tan4x + 4tan2x - 5 = 0

Vậy nghiệm của pt là:

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b 4sin2x – 4sinx – 3 = 0

c cot2x – 4cotx + 3 = 0 d tan2x + (1 - )tanx - = 0

e 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f tan4x – 4tan2x + 3 = 0

g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + 5 = 0

i sin22x – 2cos2x + = 0 j 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

VD3: Giải các phương trình sau:

a sinx + cosx = 2 b cos3x – sin3x = 1

c 3sin2x + 4cos2x = 5 d sinx – cosx = 3

Giải

a sinx + cosx = 2

Chia hai vế pt trên cho = 2 ta được

sinx + cosx = 1

cos sinx + sin cosx = 1

sin(x + ) = 1

x + = + k2

x = + k2

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = + k2

b cos3x – sin3x = 1

Chia hai vế pt trên cho = ta được

cos3x - sin3x =

cos cos3x - sin sin3x =

cos(3x + ) =

cos(3x + ) = cos

Vậy ngiệm của phương trình trên là:

c 3sin2x + 4cos2x = 5

Chia hai vế pt cho = 5 ta được

sin2x + cos2x = 1

Kí hiệu là cung mà sin = , cos = ta được

sin2x cos + sin cos2x = 1

sin(2x + ) = 1

2x + = + k2

x = - + k

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = - + k (với sin = , cos = )

d sinx – cosx = 3

Ta có 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a sinx + cosx = b 2sinx – 5cosx = 5

c 2cosx – sinx = 2 d sin5x + cos5x = -1

e 3sinx – 4cosx = 1 f 2sin2x + sin2x = 3

g sin5x + cos5x = cos13x h sinx = sin3x – cosx

VD4: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Giải

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được:

2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x

tan2x + 4tanx – 5 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Áp dụng công thức hạ bậc ta được

sin2x + cos2x = 1

sin(2x + ) = 1 sin(2x + ) =

sin(2x + ) = sin

Vậy nghiệm của phương trình là:

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1

c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3

e 4sin2x + 3 sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0

g sinx.cosx – sin2x = i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0

Bài tập 6: Giải các phương trình sau:

a cos3x – cos4x + cos5x = 0 b sin7x – sin3x = cos5x

c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x

e 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f sin2x – cos2x = cos4x

g 2tanx + 3cotx = 4 h cosx.tan3x = sin5x

i 2sin2x + (3 + )sinx cosx + ( - 1)cos2x = -1

j tanx.tan5x = 1