chuyen de luong giac hay

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx..  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát  Phư

11a1 thpt tien lu

Hằng đẳng thức thường dùng

2

1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos

Phương trình dạng a sin ( ) f x + b cos ( ) f x = c

 Điều kiện có nghiệm: a2 + ≥ b2 c2

 Chia 2 vế cho a2+ b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ

bản theo sin hoặc cos.

c Phương trình đẳng cấp

 Dạng a sin2x b + sin cos x x c + cos2x d =

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx ≠0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

 Dạng a sin3x b + sin2x cos x c + sin cos x 2x d + cos3x = 0

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx ≠0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d Phương trình đối xứng loại 1: a (sin x ± cos ) x + b sin cos x x c =

 Đặt t = sinx ±cosx, điều kiện t ≤ 2

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

e Phương trình đối xứng loại 2 : a ( tann x + cot )nx + b (tan x ± cot x ) = 0

 Đặt t = tanx - cotx thì t ∈R ; Đặt t = tanx + cotx thì t ≥ 2.

 Chuyển về phương trình theo ẩn t.

f Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản

 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.

 Phương pháp đặt ẩn phụ.

 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

Bai tap

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

3

tan 2 tan x x = − 1

4 sin2x + sin tan2x 2 x = 3 5 5cos2x + sin2x = 4 3

1

cos

x

7 cos 24 x = sin 3 x − sin 24 x 8 tan 1 tan

4

4

x x = + x x

Bài 2 : Cho phương trình tan ( π cos x ) = cot ( π sin x )

1 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ − 3 ; π π ] của phương trình.

Bài 3 : Cho phương trình sin6 x + cos 6 x = m.

1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( 0; π )

Bài 4: Giải và biện luận phương trình ( 2 m − 1 cos 2 ) x + 2 sin m 2x + 3 m − = 2 0

Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

2

x − x + =

3 sin4 x + cos4x = cos 2 x

2

x + x = x −

5 2 2 cos 32 x − + ( 2 2 cos3 ) x + = 1 0

6 cos4 sin4 2sin 1

x

7 4 sin ( 6 cos6 ) cos 2 0

2

x + x −  π − x  =

8 2 tan x + 3cot x = 4

9 4 2 1

4

x = x −

10

4cot 2

x

−

=

+

2 tan cot 2sin 2

sin 2

x

16

13 4cos x − cos 4 x = + 1 2cos 2 x

14 4sin5 x cos x − 4cos sin5x x = cos 42 x + 1

15 cos 4 x = cos 32 x − cos2x + 1

: Giải các phương trình lượng giác sau :

1 3sin x − cos x + 2 0 =

2 3sin x − = 1 4sin3x + 3 cos3 x

4

x +  x + π  =

4 2 cos ( 4x + sin4x ) + 3sin 4 x = 2

5 2sin 2 x + 2 sin 4 x = 0

6 3sin 2 x + 2cos 2 x = 3

2

x + x =

8 4cos3 x − 3sin 3 x + = 5 0

9 sin cos x x − sin2x = cos 2 x

10 tan x − 3cot x = 4 sin ( x + 3 cos x )

11 2sin 3 x + 3 cos7 x + sin 7 x = 0

12 cos5 x − sin 3 x = 3 cos3 ( x − sin 5 x )

13 ( 2sin x − cos x ) ( 1 cos + x ) = sin2x

14 1 cos + x + sin 3 x = cos3 x − sin 2 x − sin x

15 3sin x − = 1 4sin3x + 3 cos3 x

3

x + x +  x − π  =

Cho phương trình 3 sin m x + ( 2 m − 1 cos ) x = 3 m + 1

1 Giải phương trình khi m = 1.

2 Xác định m để phương trình có nghiệm.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

=

y

x

=

+

y

=

2

y

x x

+

=

+

Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2sin2x + sin cos x x − 3cos2x = 0 2

2

2sin 2 x − 3cos x + 5sin cos x x − = 2 0 3 sin2x + sin 2 x − 2cos2x = 0,5

4 sin 2 x − 2sin2x = 2cos 2 x

5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6

os x sin sin x

3sin x +4sin 2x+ 8 3 9 cos− x =0 8

2cos x + 3cos x − 8sin x = 0

3

x − x + x − x = 10

3 5sin 4 cos

2cos 2

x x

x

4

3 2 cos x − sin x = cos3 x + 3 2 sin sin 2 x x 13

4

Luyen tap

1/ 2cos2x- 4cosx=1

sinx 0



2 2 3

x= π+k π 2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx ; 2

4

x=kπ± +π k π

 

3/ 4cosx.cos2x +1=0 2 ; 2 ; 2

3

x= ± + π k π α± +kπ β± +k π

cosx 0



 2

6

x= +π k π

5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1

3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 ; 2 ;5 2

6 6

x=kπ π+k π π+k π

cot x -2 = 0 b / 42

cos x+tanx=7

c* /sin6x+cos4x=cos2x x k= π

8/sin(2 5

2

x+ π

2

x− π

)=1+2sinx ; 2 ;5 2

6 6

x=kππ+kπ π+k π

2

sin x−2sinx+ =2 2sinx−1 x 2 k

π π

= + 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 ;5

12 12

x= π +kπ π+kπ

sin 2 4 cos 2 1

0 2sin cos

x x

3

; ;

4 8 8

x=π+kππ+nπ π+lπ

13/ sinx+ +1 cosx=0 (2 1) ; 2

2

x= k+ π− +π kπ

  14/ cos2x+3cosx+2=0

2

3

x=π+kπ± π+k π

15/4sin 22 6sin4 9 3cos 2 0

cos

x

3

x= ± +π kπ 16/ 2cosx- sin x =1

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0

2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

x= +π4 kπ

+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔(cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0

3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) ;

x= π+kπ ± +π kπ

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 ;

x= ± + π kπ ± +π kπ

  5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 4

x π kπ

= +

6/ 2 cos3x= sin3x x= +π4 kπ

x= + α kπ 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

x k= π

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x x= ± +π3 kπ

x= + α kπ 9/sin3(x-π/4)= 2 sinx

3

4

x π kπ

= +

Bai 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x ; ;

10 5 4 2 2

x=π + π π+ π π+kπ

  2/

cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 ;

8 4

k

x= π+ π α π+k 

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 ;

x= ± + π kπ ± +α kπ

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5

x

π + )-2cos29

2

x

; ;

12 6 8 2 4

x= π+ π − +π π π−kπ

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix∈(0; )π ;

4 10 5

k l

x= π π +π 

6/sin24x-cos26x=sin(10,5π +10x) với (0; )

2

; ; ;

20 20 20

x=   π π π  

  7/ cos4x-5sin4x=1

x k= π

8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 2 ; 2

6 3 18 3

x= π+ π −π+ π 

  9/ sin22x+ sin24x= sin26x ;

4 12 6

x= π π + π 

10/ sin2x= cos22x+ cos23x ; ;

4 2 2 6

k

x= π+ π π+kπ± +π kπ

  11/ (sin22x+cos42x-1):

sin cosx x=0x= π4+kπ

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 ;

24 2 8 2

x= π + π π+ π 

  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(

x

π − )-7/2 với x−1<3 6 2

7 2 6

π π

π π

 = +





 = +



k=0 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0 x= +π4 k2π

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x x=12kπ 17/ * 8cos3(x+

3

π

)=cos3x

; ;

x= π+k kπ π π+kπ

18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x x k= 2π

19/ sin 5

5sin

x

x =1 vô nghiệm

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx ; 2

8 4 9 3

x=π+ π ± +π π 

  21/ sin2x+ sin22x+

sin23x=3/2 ;

8 4 6

k

x=π+ π ± +π mπ

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Bai 2

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 ; ;

3 8 4

x= π π+ π πk 

  2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

5

2 ; 2 ; 2

x=π+k π − + +π α k π π+ +α k π

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 2 ;5 2 ; 2 ; 2

x=π+kπ π+kπ π+kπ kπ

2 ; 2

2

x= π+k πk π

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx ; tan 3

2

x k= π x= − 6/ 3

2 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0

2

2

x= +π kπ

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 2 ;5 2

x=π+k π π+k π

  8/ sin 3 sin 5

= ,cos 2 2

3

x k= π x= −

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 2 ; 2

3

x= ± + π kπk π

  10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4 cos2x x= +π4 kπ

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 2 ;5 2 ;7 2 ; 2

k

x= − + π kπ π+ π π+k πk π

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 ; 2

4 3

x= − + π kπ± +π kπ

  13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

;

x= − + π kπ± +π kπ

14/ 2sin3x- 1

sin x =2cos3x+ 1

cos x ;

4 2 4 3

k k

x=π+ π π+ π

  15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0

2 ; 2

2

x=π+k π k π

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 2 ; 2 ;cos 5

x= π+k π π+k π x+π = 

cos x

)=0 x= +π4 k2π

18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 5 2 ; 11 2

x=π+kπ π+k π− π+k π

sin 2

x x

−

4 2

k

x= +π π

20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

2

x= +π kπ

22/ 1+tanx=sinx+cosx 3 ; 2

4

x= π+k kπ π

  23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

;

4

x= π+k kπ π

4

x+π

sinx+cosx x= +π4 kπ 25/ 2tanx+cotx= 2

3

sin 2x

+

3

x= +π kπ

, cos( )

x= − +π kπ x+π = −

27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

2

x= +π kπ