Bieỏn ủoồi thaứnh toồng bieồu thửực: A cos 5x.
Trang 1I/ Công thức l ợng giác:
1, Bảng g/trị l ợng giác của các góc đặc biệt :
(/
6)
45 0
(/4)
60 0
(/3)
90 0
(/2)
120 0
(2/3)
135 0
(3/4)
150 0
(5/6)
180 0
( ) Sin α 1
2
2
1 2
0
Cos α 3
2
2 2
1 2
0
-1
-1
Tan α 1
3
3
0
3
0
- 1 3
2, Các công thức cơ bản cần nhớ:
sin2 αα + cos2 αα = 1 tan αα.cotcot αα =1 1
2
cos = 1+ tan
2 αα α α 12
sin = 1+ cot
2 αα
3, Công thức về góc :
Góc đối: α vvà v- vα
sin(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αsin αα
cos(-α) = - sin αα) α= α αcos αα
tan(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αtan αα
cot(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αcot αα
Góc bù: α vvà v - vα
sin(-α) = - sin αα) α= α α αsin αα cos(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αcos αα tan(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αtan αα cot(-α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αcot αα
Góc: α vvà v + vα
sin(+α) = - sin αα) α= α α-α) = - sin α αsin αα cos(+α) = - sin αα) α= α-α) = - sin α αcos αα tan(+α) = - sin αα) α= α αtan αα cot(+α) = - sin αα) α= α αcot αα
Góc phụ: α vvà 2 v- vα
sin(2-α) = - sin αα) α= αcos αα
cos(2 -α) = - sin αα) α= α αsin αα
tan(2-α) = - sin αα) α= αcot αα
cot(2-α) = - sin αα) α= αtan αα
Góc : α vvà 2 v+ vα
sin(2 +α) = - sin αα) α= αcos αα cos(2 +α) = - sin αα) α= α α-α) = - sin αsin αα tan(2+α) = - sin αα) α= α-α) = - sin αcot αα cot(2+α) = - sin αα) α= α-α) = - sin αtan αα
4, Công thức cần nhớ:
Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cotcosb sina.cotsinb
sin(a b) = sina.cotcosb cosa.cotsinb
tan(a b) = tan tan
1 tan tan
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cotcosa cos2a = cos2a- sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a
Công thức hạ bậc 2: ( Đợc suy ra từ công thức
Trang 2nhân đôi).
2
2
cos a
cos a
2
2
cos a
sin a
2
tan
cos a
a
cos a
Công thức biến tích thành tổng:
cosa.cotcosb =1
2 [cos(a+b)+ cos(a-b)]
sina.cotcosb =1
2 [sin(a+b)+sin(a-b)]
sina.cotsinb =1
2 [cos(a-b)- cos(a+b)]
Công thức biến tổng thành tích:
cosa + cosb = 2 cos
2
a b .cotcos
2
a b
cosa - cosb = -2 sin
2
a b .cotsin
2
a b
sina + sinb = 2 sin
2
a b .cos
2
a b
sina - sinb = 2cos
2
a b .sin
2
a b
tana tanb = sin( )
cos cos
a b
cota cotb = sin( )
sin sin
a b
Chú ý: một số ct hay dung trong biến đổi
1+ sin2x = ( sinx + cosx) 2
1- sin2x = ( sinx - cosx) 2
1- cos2x = 2sin 2 x 1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx = 2
sin 2x
sinx + cosx = 2 ( )
4
cos x
sinx - cosx = 2 s ( )
4
in x
cosx- sinx = 2 ( )
4
cos x
cos3x = 4cos 3 x - 3cosx sin3x = 3sinx - 4sin 3 x
Vớ duù: Chửựng minh raống:
1 cos 4x sin 4x 1 2sin cos 2x 2 x
2 cos 6x sin 6x 1 3 sin 2 xcos 2 x
Vớ duù: Tớnh )
4
11 cos( , tg 214
Vớ duù: Ruựt goùn bieồu thửực: ) cos( 2 ) cos( 3 )
2
A
Vớ duù: 1 Bieỏn ủoồi thaứnh toồng bieồu thửực: A cos 5x cos 3x
2 Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực: sin127
12
5 cos
B
Vớ duù: Bieỏn ủoồi thaứnh tớch bieồu thửực: A sinx sin α 2x sin α 3x
II/
Ph ơng trình l ợng giác:
A PT l ợng giác cơ bản :
1/ phơng trình: sinx = m = sin α
- Đk để pt có nghiệm là: -1≤ m ≤ 1
- nghiệm của pt là:
2/ phơng trình: cosx = m = cos α
- Đk để pt có nghiệm là: -1≤ m ≤ 1
- nghiệm của pt là:
Trang 32 2
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ sinx=1 x= 2
+ sinx=-1 x= -2
+ sinx= 0 x= k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
sin của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm
3/ phơng trình: tanx = m = tan α
- TXĐ: x ≠2+k (kZ)
- nghiệm của pt là:
x k (kZ)
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ tanx=1 x= 4
+k + tanx=-1 x= - 4
+k + tanx= 0 x= k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
tan của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm
xarctanm k (k Z)
2 2
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ cosx=1 x= k2 + cosx=-1 x= +k2
+ cosx= 0 x= 2
+k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là cos của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm
4/ phơng trình: cotx = m = cot α
- TXĐ: x ≠ k (kZ)
- nghiệm của pt là:
x k (kZ)
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ cotx=1 x= 4
+k + cotx=-1 x= -4
+k + cotx= 0 x= 2
+k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là cot của góc đặc biệt nào, ta dùng
nghiệm
xarccotm k (k Z)
Vớ duù: 1) Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a) sin 2 1
2
x b) cos( ) 2
6 2 sin(
2 x
3 cos(
2 x e) sin 2x cos 2x 1 f) cos 4x sin 4 x cos 2x
2) Giaỷi caực phửụng trỡnh:
a) 1 cos 4 x sin 4x 2 cos2x c) 4 (sin 4 cos 4 ) sin 4 2 0
b) sin 6x cos 6x cos4x d) sin cos3 cos sin3 1
4
2 1 ( sin
tg tgx x
gx
B.Các ph ơng trình th ờng gặp:
PT thuần nhất bậc 2,bậc 3 đối với một hàm số l ợng giác sinx, cosx, tanx,cotx:
- Tổng quát: a.sin2 x+b.sinx+c = 0 (1)
a.sin 3 x+b.sin 2 x+c.sinx+d = 0 (2)
- Cách giải: Đặt Sinx = t , điều kiện của t là: -1≤ t ≤1
Trang 4sau đó thay vào (1) và (2) giải pt theo ẩn t , tìm x=?
Chú ý: Nếu đặt t theo sin hoặc cos thì có đk của t nh trên, còn nếu đặt t theo tan hoặc
cot thì đk của t là R.cot
Vớ duù : giai cac phuong trinh sau:
a) 2 cos 2x 5sinx 4 0 b) cos2 4cos 5 0
2
x x c) 2sin 2 x 4 5cosx d) 2 cos cos2x x 1 cos2x cos3x
e) sin4 cos4 sin 2 1
2
2 cos(
) cos (sin
2 4 x 4 x x g) sin4 cos4 1 2sin
h) sin 4 cos 4 sin cos 0
x
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
x
x x x
x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
x
x x
x
PT bậc nhất đối với sinx và cosx:
- Tổng quát: a.sinx + b.cosx = c (1)
- ĐK cần và đủ để (1) có nghiệm là: a2 +b 2 ≥ c 2
- Cách giải:
chia hai vế của (1) cho a2b2 ta đợc pt:
2 2
a
a b .cotsinx + 2 2
b
a b .cotcosx = 2 2
c
a b (2)
Đặt sinα α= α 2b 2
a b và cos αα = 2 2
a
a b
(2) ↔ sinx.cotcos αα α+α) = - sin α αcosx. sinα α= α 2c 2
a b
↔ α αsin( αx+α) = - sin α αα) α= α 2c 2
a b
- chú ý : ở pt dạng này sau khi đa về (2) thì 2 2
b
a
a b có thể là giá trị lg giác
của các góc đặc biệt nh
3
; 4
; 6
.cot
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a) cosx 3 sinx 1 b) cosx 3 sinx 2 c) 4(sin 4x cos ) 4 x 3 sin 4x 2 d) tgx x
cos
1
3
1 sin cos
2
2 sin cos
x x
x x
/ PT bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx:
- Tổng quát: a.sin2 x + b.sinxcosx + c.cos 2 x = d (1)
a.sin 3 x + b.sin 2 xcosx + c.cos 2 xsinx + d.cos 3 x = e( sinx+ cosx) (2)
- Cách giải:
+ xét cosx= 0 sinx = 1 có thoa mãn (1) hay không, nếu có thì nghiệm của pt là:
Trang 5x= 2
+k
+ xét cosx≠ 0, chia cả hái vế (1) cho cos2x, ta đa về pt bậc 2, bậc 3 theo tanx
sau đó đặt tanx = t, tìm t =? x= ?
- Chú ý: trong PT dạng này ta phải dùng công thức: 1
2
cos = 1+ tan
2 αα
Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh:
a; 3 sin 2 ( 1 3 ) sin cos cos 2 1 3 0
x
b; 4sin 3x 3cos 3x 3sinx sin cos 2x x 0
c; 1 3sin 2 x 2 tanx
PT dạng:
- Tổng quát: a.( sinx cosx) + b sinxcosx = c (1)
- Cách giải:
Đặt sinx cosx = t , ĐK của t là: 2 t 2
sinxcosx = 2 1
2
t
(2)
sau đó thay vào (1) giải PT và tìm t=?
thay t vào (2) có sin2x= (t2-1) x=?
Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh :
sin 2x 2 2(sinx cos ) 5 0x
sin 2x 4(cosx sin ) 4x
Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh : a 1 sin 3 cos3 3sin 2x
2
x x
b sin 3 cos 3 2 (sin cos ) 1
x
Ph ơng pháp khác:
DAẽNG 1: Các phơng pháp hay dùng:
Phửụng phaựp 1: Bieỏn ủoồi pt ủaừ cho veà moọt trong caực daùng pt lửụùng giaực cụ baỷn
ủaừ bieỏt
Vớ duù: Giaỷi phửụng trỡnh:
0
2
3 2 sin cos
sin 4 4
x
Phửụng phaựp 2: Bieỏn ủoồi pt ủaừ cho veà daùng tớch soỏ
Cụ sụỷ cuỷa phửụng phaựp laứ dửùa vaứo caực ủũnh lyự sau ủaõy:
0 A=0
B=0
A B
hoaởc
A=0 0 B=0
C=0
A B C
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :
Trang 6a sin 2x sin 2 2 x sin 3 2 x 2 b sin 3 2 x cos 4 2 x sin 5 2 x cos 6 2 x
c 2sin 3x cos2x cosx 0 d ) 3 0
4 sin(
2 cos 2 2 2 sin x x x
e, (sinx+1)(2 sinx+1)= cosx
Phửụng phaựp 3: - Dùng công thức hạ bậc:
- Dùng công thức nhân đôi:
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a cos 3x cos 2x cosx 1 0 b 4 cos 3 cos 2 4 cos 1 0
x
c 2 cos2 8cos 7 1
cos
x
d sin 4 cos 2 2 2
x
Phửụng phaựp 4: Dùng công thức biến tổng thành tích:
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh
a, cos3x+cos5x = sin2x-sin6x b, sin4x+cos5x= sinx + cos2x
c, tan2x+tan3x = sin5x d, sin2x+ sin6x- cos8x=-1
Phửụng phaựp 5: Dùng CT biến tích thành tổng:
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh
a, cosx.cotcos5x = sin2x.cotsin6x b, sin4x.cotcos5x + sinx = cos2x
c, tan2x.cottan3x -1= cos5x d, sin2x+ sin6x- cos8x=-1
Phửụng phaựp 6: PT theo tanx và cotx:
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh
a, 2 tan x sinx 3 cot x cosx 5 0 b, 3tan 6 2 tan 2 2 4cot 4
sin 8
x
c,
3 2
3
1 cos tan
1 sin
x x
x
d, tanx- cotx= sinx +cosx e, 3(tanx+cotx) = 2(2+sin2x)
Bài Tập tự luyện:
Baứi 1: Giaỷi caực phửụng trỡnh lửụùng giaực sau
4 sin(
2 cos 2 2 2
2
5 cos 2
sin 2
3 cos 2
7 sin x x x x x x
2 3 ( cos ) 2 2 ( cos ) 2 (
x
4)
) 4 ( sin 2
2 sin 1 2
sin
2
sin 2 cos
2
4 4
x
x x
x x
5) cos 7x sin 8x cos 3x sin 2x
6) 2 sinx cosx sin 2x 1
Baứi 2 : Giaỷi caực phửụng trỡnh lửụùng giaực sau
1.2sin 3x cos2x cosx 0 8 sin ( 2 ) 2 cos 2 0
2 sin cos4 sin 22 4sin (2 ) 7
x
x x x 9 cos (cos2 1) 2(1 sin )
sin cos
Trang 73 9sinx 6 cosx 3sin 2x cos2x 8 10 2 1cos sin3
3
tg x tgx x x
4 sin4 cos4 1cot 2 1
11 2 cos2 8cos 7 1
cos
x
4
(2 sin 2 )sin3 1
cos
tg x
x
12 cot 1 cos2 sin2 1sin2
x
tgx
6 3 tgx tgx( 2sin ) 6 cosx x 0 13 cot 4sin 2 2
sin 2
x
7 cos2x cos (2x tg x2 1) 2 14 cos cos 2 sin (1 )
2
x tgx x x x tgx tg
DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)
Chuyển phương trình về phương trình đại số
Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
sin 2 0
4
1 2 cos cos
x
x x
gx tgx
x
cos
1 sin
1 cot
( 2
1 1 cos sin
có nghiệm
2
;
0
x
cos
2 ( ) cos cos
4 (
x m x x
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ).
2
; 0 (
Bài 4: Cho phương trình : 3 ( cot ) 1 0
sin
x
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Bài 5: Xác định m để phương trình :
2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 04 4
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2
Bài 6: Cho phương trình : sin 2x 4 (cosx sinx) m (1)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 7: Tìm m để phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4 4 6 6 2 có nghiệm
Bài 8: Cho phương trình cos4x 6sin cosx x m 0
Định m để phương trình có nghiệm 0;
4
x
Trang 8Bài 9: Tìm m để phương trình : 2 cos 2x (sinx cosx m)(sinx cosx) 0
có nghiệm trên đoạn
2
;
0
Bài 10: Cho phương trình: mtgx
x x
x x
2 2
6 6
sin cos
sin cos
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình: sin4x (sinx 1 )4 m
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : 2 2sin2x m(1 cosx) 2 có nghiệm
( cßn nhiỊu d¹ng bµi tËp n÷a, t¸c gi¶ sÏ cËp nhËt sau)