Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 09

Hướng giải quyết vấn đề Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy P x của f x rồi... Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát Áp dụng các định lý trên

NỘI DUNG

I ĐẶT VẤN ĐỀ

II CƠ SỞ LÝ LUẬN

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

IV THUẬT TOÁN

V CÁC VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN

( )

f x tại một số điểm thì công thức Newton – Lepniz tỏ ra không hiệu quả và không thể tính

I  f x dx với một sai số cho trước ?

II CƠ SỞ LÝ LUẬN:

1 Một số định nghĩa:

a) Hàm nội suy:

Giả sử ( )f x xác định trên đoạn  a b; và biết y i  f x( ),i  i 0, ,n x i a b;

Hàm nội suy của f trong đoạn  a b; là hàm F xác định trong đoạn  a b; sao cho

F x  y  i n

b) Đa thức nội suy:

Nếu hàm nội suy F là hàm đa thức bậc n thì ta nói F là đa thức nội suy bậc n của

f

4 Định lý 1 (định lý về sự tồn tại đa thức nội suy):

Cho các cặp x y i, i,i0,1, ,n với x i x j nếu i j Khi đó tồn tại duy nhất ( )P x là đa

thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho y i P x i( ),i 0,1, ,n

1 1 0

0

n i i i n i i i

n i

i n n i

5 Định lý 2 (Định lý về sai số của hàm nội suy và đa thức nội suy)

Giả sử f là hàm xác định trong đoạn  a b và ; y i  f x( ),i  i 0, ,n x i a b;

Nếu f khả vi liên tục đến cấp ( n1) trong khoảng ( ; )   a b; với  x  a b; , tồn

7 Hướng giải quyết vấn đề

Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy ( )P x của ( ) f x rồi

III Giải quyết vấn đề

1 Giải quyết vấn đề 1

a Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát

Áp dụng các định lý trên, khi biết giá trị của ( )f x tại một số điểm, ta tìm hàm đa thức

nội suy P x của ( ) f x Theo định lý 1, ( ) P x tồn tại duy nhất Ta dùng ( )( ) P x cho hàm

i a

dx n

diễn như sau:

Trong đó, x ii 0, n là các mốc nội suy

Trên mỗi đoạn x x i, i1 , ta tìm đa thức nội suy P x i  của f x  và tính i 1  

bởi x x i, i1và P x  bởi P x i  ta được:

i 1 i

diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y f x y( ), 0,xa x, b

Ta chia đoạn  a b; thành n đoạn cong bằng nhau bởi các điểm chia x i

0 1 n 1 n

ax   x x  x b

i 0

b ah

Làm tròn J thành J rồi lấy J thay cho I

Công thức  1 còn được gọi là công thức hình thang

Nếu lấy J thay cho I thì sai số định bởi:

Ví dụ 1: Tính tích phân sau với n4 và đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2

5 1

dx I x

         

Ví dụ 2 : Hãy tính gần đúng tích phân :

1 2 0

11

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả

d Công thức parabol (Simpson)

Một công thức khác cho kết quả xấp xỉ tích phân bằng việc thay các đoạn thẳng bởi parabol để xấp xỉ đường cong Ta chia đoạn  a b; thành 2n đọan con với độ dài

Nếu y i  f x( )i thì P x y i( ,i i) là điểm trên đường cong nằm phía trên x (với i

i

x  a ih i n) Một đường Parabol đi qua ba điểm liên tiếp P P i, i1,P i2

Để cho đơn giản trong tính toán, đầu tiên ta xét trường hợp khi x0  h x, 10 và x2 h Ta biết rằng phương trình của parabol đi qua P P P0, ,1 2 có dạng yAx2Bx C và do diện tích phía dưới parabol từ x h đến xh là:

Bây giờ bằng cách di chuyển parabol này theo chiều nằm ngang mà không thay đổi miền diện tích phía dưới của nó Điều này có nghĩa là diện tích dưới parabol đi qua P P0, và 1 P2 từ xx0

Ta nhận được kết quả xấp xỉ cho trường hợp mà f x( )0, tuy nhiên nó vẫn đúng cho bất kỳ

hàm liên tục f và được gọi là quy tắc Simpson do nhà toán học người Anh, Thomas Simpson

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simpson rồi so sánh kết quả

2

b a h

So với kết quả đúng, dùng công thức Simpson tính ta có sai số tương đối là 0,00011%

 Nhận xét : Phương pháp tính gần đúng giá trị tích phân xác định dùng công thức

Simpson cho kết quả độ chính xác cao hơn dùng công thức hình thang

giản cho việc tính sai số, ta chọn các mốc nội suy x , i=0, ni cách đều nhau Đặt sai số cho trước

là , ta sẽ xác định được ,n l để tính gần đúng tích phân với sai số không lớn hơn  Muốn vậy

ta chọn k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho  10k Khi đó ta sẽ ghi kết quả gần đúng của tích phân làm tròn đến chữ số hàng thứ - k ( vì nếu làm tròn đến chữ số hàng thứ -m với m <k

là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi ,n l tiến ra vô

cùng nên phải tồn tại cặp n l0, 0 n , l0 0 thỏa  4 Khi đó

 3

k 2

 4

k 3

Nghĩa là sai số thỏa yêu cầu vấn đề đặt ra

VI THUẬT TOÁN:

1 Thuật toán 1: (Tính I khi f x  cho bởi bẳng giá trị)

Bước 1: Ta xác định P x là hàm đa thức nội suy của   f x  ứng với bộ mốc nội suy

x , x , , x0 1 n Khi đó P x là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n và :

 

n b

k i

V CÁC VÍ DỤ CHO THUẬT TOÁN

Ví dụ 1: (Công thức tổng quát) Cho hàm f x  xác định và liên tục trên đoạn 1;3 , f x 

nhận các giá trị như bảng sau:

Nhận thấy x2    x1 1 2 x3 x2 nên các mốc nội suy không cách đều

rồi chuyển sang dạng chính tắc ta được:

Ví dụ 2: (Công thức hình thang) Cho hàm f x  xác định và liên tục trên đoạn 1;2 , f x 

nhận các giá trị như bảng sau:

65

66

6h

Tài liệu tham khảo

1 Bài Giảng Phương Pháp Tính – Thầy Trịnh Công Diệu

2 Phương pháp tính – Tạ Văn Đĩnh

3 Giải tích số – Phạm Kỳ Anh

4 Bài giảng Phương pháp số Đại học Thủy Lợi – Vũ Mạnh Tới

5 Bài giảng Phương pháp số Học viện bưu chính viễn thông – Phan Thị Hà, Phan Đăng Cầu

6 Bài tiểu luận lớp Toán 4A – Trường ĐH Sư Phạm T.p Hồ Chí Minh