Tổng hợp bài tiểu luận môn phương pháp tính

Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất: V.1.. Một số ví dụ: PHẦN D: SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG TH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN



PHƯƠNG PHÁP TÍNH

TIỂU LUẬN

ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CUA HÀM ĐA THỨC

BẰNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON

Giáo viên hướng dẫn: TS Trịnh Công Diệu Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Thu Trang

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :

II Các dạng biểu diễn đa thức:

III Mệnh đề:

IV Định lý về tính duy nhất của đa thức:

PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

I Sai phân:

I.1 Định nghĩa:

I.2 Công thức tính sai phân:

I.3 Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

II Tỉ sai phân:

II.1 Định nghĩa:

II.2 Các tính chất của tỉ sai phân:

II.3 Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

III Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

IV Công thức nội suy Newton thứ nhất:

IV.1 Đa thức nội suy Newton :

IV.2 Công thức nội suy Newton thứ nhất

IV.3 Công thức nội suy Newton thứ hai

V Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:

V.1 Thuật toán dạng bảng:

V.2 Thuật toán dạng mã giả:

VI.1 Thuật toán dạng bảng:

VI.2 Thuật toán dạng mã giả:

VII Một số ví dụ:

PHẦN D:

SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA HÀM ĐA THỨC KHI CÁC MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU

I Thuật toán chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều về bài toán

có mốc nội suy đều Sau đó sử dụng công thức Newton xác định công thức của hàm đa thức:

I.1 Thuật toán 1:

I.2 Thuật toán 2:

I.3 Ví dụ :

II Thuật toán xác định công thức của hàm số trên cơ sở dùng công thức nội suy Newton đối với bài toán có mốc nội suy không cách đều:

II.1 Thuật toán dạng bảng:

II.2 Thuật toán dạng mã giả:

PHẦN E: NHẬN XÉT

PHẦN A: MỞ ĐẦU

III Đặt vấn đề:

Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x) nhưng trên thực tế, nhiều trường hợp ta không xác định biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được những giá trị rời rạc: y0, y1, … yn tại các điểm tương ứng x0, x1, … xn (Các giá trị này được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán) Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tại tất cả các điểm còn lại Muốn vậy, cần xây dựng hàm g x( ) sao cho:

Bài toán xây dựng hàm g x( ) gọi là bài toán nội suy

Hàm g x( ) gọi là hàm nội suy của f x( ) trên  a b, , các điểm x i, i0,n là các mốc nội suy Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của hàm f x( )

nhưng nó quá phức tạp Khi đó cần tìm hàm nội suy xấp xỉ với hàm f x( ) để việc khảo sát và tính giá trị đơn giản hơn

IV Mục tiêu của đề tài:

Với P(x) là một hàm đa thức bậc n theo biến x Giả sử biết giá trị của P tại (n+1) điểmxi

(i 0,n) phân biệt nhau đôi một sao cho: P x( )i  y i  f x( )i , i0,n

Mục tiêu của Tiểu luận là sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thức của hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng, sau đó chuyển công thức trên về dạng chính tắc Trong thực tế, các điểmx i có thể được phân bố cách đều hoặc không Tiểu luận trình bày cách giải quyết cả hai trường hợp: các nốc nội suy cách đều và các nốc nội suy không cách đều

PHẦN B: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :

a h n Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h là số:

Quy ước: Trường hợp h =1 ta viết a(n)thay cho a(n;h) và đọc vắn tắt là lũy thừa suy rông bậc

n của a

II Các dạng biểu diễn đa thức:

Cho P x  là đa thức bậc n theo biến x

Dạng chính tắc của P(x) là:

 

0

n i i i

n

i h i

i



  với d0, d , , d1 n là các hằng số

Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên:

 Khi x0 0,h0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc

 Khi x0 0,h1thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng

 Khi h0thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc

Do vậy nếu xây dựng được thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng ta sẽ chuyển được về dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc

III Mệnh đề:

Mọi đa thức hệ số thực có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng

Chứng minh:

Giả sử P x  là đa thức bậc n trong vành đa thức hệ số thực  x

Chọn x h0, ;là các số thực tùy ý Ta sẽ chứng minh hệ các đa thức

        

1, xx h , xx h , , xx n h là một cơ sở của n x

( n x là không gian vectơ các đa thức hệ số thực bậc không quá n)

Vì hệ trên gồm n1 đa thức thuộc vào n x , nên nếu ta chứng minh hệ trên độc lập tuyến tính thì nó chính là cơ sở của n x

Giả sử tồn tại a a0, , ,1 a n không đồng thời bằng 0 sao cho:

 0 ;

0

i h n

0,

n

i h i

i i



  có bậc là i0 n, nghĩa là P x 

không thể là đa thức không, ta gặp mâu thuẫn

Vậy hệ đa thức trên độc lập tuyến tính trong n x nên là một cơ sở của n x

Do P x  n x nên P x có biểu diễn tuyến tính duy nhất theo hệ trên

0 0

IV Định lý về tính duy nhất của đa thức:

Cho bộ ( ,x y i i)  (i0,n) Nếu x i x jkhi i j(i j, 0,n) thì tồn tại duy nhất một đa thức



  i  0, n (*) (*) là hệ n + 1 phương trình theo n +1 ẩn a j,j0,n

Đa thức P x( ) tồn tại duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có duy nhất nghiệm

Gọi A là ma trận hệ số của hệ (*) Ta có:

111

n n

PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

 Hàm số thực định bởi h f x: h f x( ) được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h

 Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ: h: f h f

Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có: h f x0 0 tại mọi x

 Khi h = 1 ta bỏ bớt nhóm từ “bước nhảy h” trong các thuật ngữ trên và kí hiệu: f thay

I.2 Công thức tính sai phân:

Mệnh đề 1: (Tính chất của sai phân)

vi Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số

Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng không

Mệnh đề 2: ( Sai phân của hàm lũy thừa ) :

(Do giả thiết quy nạp)

Vậy: ta đã chứng minh được i hf x      0, i n

Ta chứng minh: n hf x ( )  n h ! n (**) bằng phương pháp quy nạp

n i

 

I.3 Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h tại x0

Ví dụ 1: Lập bảng sai phân các cấp của hàm f tại x0, biết:

II Tỉ sai phân:

Khi các mốc nội suy không cách đều, ta có khái niêm tỉ sai phân của hàm số f tại xi như sau:

1

( ) ( ) [ , ] i i ; 1,

i

i

i i

 Tỉ sai phân cấp n của hàm f tại x0 kí hiệu là:

Nhận xét: Muốn tính tỉ sai phân cấp k của hàm f tại xi cần có k+1 mốc nội suy

II.2 Các tính chất của tỉ sai phân:

iv Tỉ sai phân của hằng số bằng không

v Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số

Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng không

II.3 Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

Tỉ sai phân cấp k tại xi viết là: TSPk( ) xi

Ta có bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại x0 được xác định bởi bảng sau:

1 0 0

0 2 0

t t u

2 1 1

1 2 1

t t u

3 2 2

2 2 2

t t u

-= -

n

III Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

Khi các mốc nội suy cách đều, ta có công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

1 1

i

i

i i

-IV Công thức nội suy Newton:

IV.1) Đa thức nội suy Newton:

Cách tính của Newton dựa trên định nghĩa tỉ sai phân:

0

0 0

( ) ( ) [ , ] f x f x

n n

IV.2) Công thức nội suy Newton thứ nhất:

Định lí : Cho bộ ( ,x y i i)  trong đó x i x0ih(h ,i0,n) Giả sử P là một hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sao cho P x( )i  y i; i0,n. Khi đó:

n h

1.3.2.1

3.2.1 3!

n h

Theo công thức nội suy Newton ta có được công thức tính P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng Sau đó, dùng thuật toán ở chủ đề 2 để đưa công thức trên về dạng chính tắc

V Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc,

trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:

i i

x y2 t2  y3y2 u2  t3 t2 … m 2 d2 m u2 03

V.2 Thuật toán dạng mã giả:

Với mỗi k chạy từ 2 đến n

Với mỗi i chạy từ 0 đến n – k

i i

VI Thuật toán chuyển công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc:

VI.1 Thuật toán dạng bảng của nhóm 2:

Diễn giải:

Cột màu xanh (bên trái bảng): các giá trị của xi

Cột n: các biến được gán giá trị của dn

Đường chéo màu vàng: các biến được gán giá trị của di ; in, 0

Dòng màu đỏ (cuối bảng): các giá trị tính được bi; in, 0

Với mỗi j giảm từ n-1 tới 1

Với mỗi i giảm từ j-1 tới 0

1 1, 1 1,:

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng [ , ]

0 ( )( )

n

n

i h i

Thuật toán 2:

 Input : n d d ; 0, 1, ,dn; ; h

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng [ , ]

0 ( )( )

n

n

i h i

Với mỗi k chạy từ 0 đến n – 1 thực hiện:

Với mỗi i lấy giá trị chạy từ 1 đến n – k thực hiện:

1( ( ) ).

Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng là:

3

P x  x     x       Chuyển công thức của hàm P(x) từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc:

0 0

i i

3

13

Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:

P x d

Xét bài toán xác định công thức của hàm P(x) bằng công thức nội suy Newton ghi ở dạng chính tắc, biết:

a) Nếu chọn: x =0 0, h = 1 thì số mốc nội suy mới là 6 => cần tính 6 giá trị của hàm số

Trong một số trường hợp, nếu chọn cách này phải tính rất nhiều mốc nội suy và các giá trị hàm số tương ứng Tuy nhiên, với h = 1 thì sau khi chuyển về bài toán có mốc nội suy cách đều, việc xác định công thức của hàm số đơn giản hơn

b) Bước nhảy h=3 xuất hiện nhiều nhưng không liên tiếp

Nếu chọn: x =0 0, h = 3 thì số mốc nội suy mới là 5 => cần tính 5 giá trị của hàm số

Nếu chọn bước nhảy xuất hiện nhiều nhưng không liên tiếp thì không làm giảm các thao tác tính toán (Cách làm này không tốt)

c) Bước nhảy h=2 xuất hiện nhiều và liên tiếp

Nếu chọn h=2 và giữ nguyên giá trị của x4 thì số mốc nội suy mới là 3 => cần tính 3 giá trị của hàm số

Nếu chọn cách này thì trong nhiều trường hợp, số mốc nội suy tạo mới và các giá trị của hàm số cần tính là ít nhất

I.2 Thuật toán 1:

Chuyển bài toán có mốc nội suy không cách đều về bài toán có mốc nội suy đều với cách chọn : x =0 0, h = 1

I.3 Thuật toán 2:

Chuyển bài toán có mốc nội suy không cách đều về bài toán có mốc nội suy đều với mục tiêu: số mốc nội suy tạo mới và các giá trị của hàm số cần tính là ít nhất

Các bước thực hiện:

 Chọn bước nhảy có số lượng nhiều nhất và xuất hiện liên tiếp làm bước nhảy đều

 Giữ lại các mốc nội suy liên tiếp gắn với bước nhảy đều

 Tạo mốc nội suy mới

 Tính giá trị hàm số tại các mốc nội suy mới đó

 Bước 2:

{ Nếu 2 bước nhảy liên tiếp ko bằng nhau thì tìm tiếp

Khi bước nhảy sau bằng bước nhảy liền kề trước thì đếm số bước nhảy

Nếu số lượng bước nhảy bằng nhau là cao nhất thì chọn bước nhảy đó làm bước nhảy đều

và lưu giữ vị trí mốc nội suy đầu tiên của dãy mốc nội suy có bước nhảy đều }

i:= 0 ; h:= bn0 ; k:= 1

Khi i < n – 1

Nếu bni1 bni thì

i:= i + 1 quay lại Bước 2

I.4 Ví dụ :

1) Ví dụ 1: Chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều thành bài toán có các

mốc nội suy cách đều với bước nhảy h = 1, biết:

Lần lượt thay xi = 1; 2; 4 ; 5 ; 6 ;7 vào biểu thức trên, ta tính được cácyi tương ứng:

2) Ví dụ 2: Xác định công thức của P(x) ghi ở dạng chính tắc bằng công thức nội suy

Áp dụng công thức nội suy Newton để xác định công thức của hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:

II.1 Thuật toán dạng bảng:

Lập bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại x0:

1 0 0

0 2 0

t t u

n

r r s

2 1 1

1 2 1

t t u

3 2 2

2 2 2

t t u

-= -

II.2 Thuật toán dạng mã giả:

h  x x

 Bước2:

Với mỗi i chạy từ 0 đến n – 1 thực hiện:

1 1

i i

Với mỗi k chạy từ 2 đến n, thực hiện:

Với mỗi i chạy từ 0 đến n – k, thực hiện:

[ 1] [ ]

[ ]

i

i kx

II.3 Ví dụ : Xác định công thức của P(x) ghi ở dạng chính tắc bằng công thức nội suy Newton, biết:

i

i

Lập bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại x0:

Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc:

bổ sung các điểm quan sát mới thì phải tính lại từ đầu Phương pháp nội suy Newton của P(x) khắc phục được nhược điểm này, không cần tính lại đa thức Tuy nhiên phương pháp nội suy Newton, phức tạp hơn đối với bài toán có các mốc nội suy không cách đều

Trong thực tế, các điểmx i có thể được phân bố cách đều hoặc không Trong trường hợp, bài toán có các mốc nội suy không cách đều, có hai cách xử lý:

 Đưa bài toán trên về bài toán có các mốc nội suy cách đều (bằng cách áp dụng công thức

nội suy Lagrange tính giá trị của hàm P(x) tại một số điểm) Sau đó sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thức của hàm P(x)

 Sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất và tỉ sai phân để xác định công thức của hàm P(x) với bài toán có các mốc nội suy không cách đều

Cách xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm f(x) Tương tự như trên, cách xây dựng đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn của f(x)

Tài liệu tham khảo

1) Bài giảng môn Phương Pháp Tính - TS Trịnh Công Diệu

2) Giải Tích Số - Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật - Lê Trọng Vinh

3) Phưong pháp tính - Nhà xuất bản Giáo dục - Tạ Văn Đĩnh

4) Giáo trình - Học viện bưu chính viễn thông - Phan Thị Hà

5) Giáo trình - Đại học bách khoa Đà Nẵng - Đỗ Thị Tuyết Hoa

GVHD: TS Trịnh Công Diệu Lớp: Toán VB2-K2 – NHÓM 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

Khoa Toán – Tin

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1

1 Định lí về phép chia có dư 2

2 Thuật toán tính giá trị của đa thức 3

3 Cơ sở lí luận cho bài toán chuyển đổi 3

4 Chuyển đa thức từ dạng ctsr này sang dạng ctsr khác 7 4.1 Thuật toán 7 4.2 Ví dụ 8 4.3 Chương trình 10 III KẾT LUẬN 11

IV Bổ sung dạng chuyển đổi đa thức 11

1 Chuyển đa thức từ dạng chính tắc sang dạng chuẩn tắc suy rộng ……… 11

2 Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang dạng chính tắc ……… 13 V.TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

MỤC LỤC

II Giải quyết vấn đề:

Trong trường số thực R, cho hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ của vành , trong đó

deg(Q)  1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:

( ) ( )

n

i h i

2

Chứng minh

Tồn tại.Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = deg(P), n = deg(Q) Nếu deg(P) < deg(Q) thì ta có

thể chọn S(x)  0 và R(x) = P(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện i) và ii) Giả sử m  n và định

lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn m Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc m Giả sử

Vậy đặt S(x) = (am/bn)xm-n + S*(x) và R(x) = R*(x) ta được biểu diễn cần tìm cho P(x)

Duy nhất Giả sử ta có hai biểu diễn P(x) = S(x).Q(x) + R(x) và P(x) = S*(x).Q(x) + R*(x) thoả

mãn điều kiện ii) Khi đó Q(x).(S(x)-S*(x)) = R*(x) – R(x) Ta có, theo điều kiện ii) và định lý 1 thì deg(R*(x) – R(x)) < deg(Q) Mặt khác, nếu S(x) – S*(x) không đồng nhất bằng 0 thì deg(Q(x).(S(x)-S*(x))) = deg(Q(x)) + deg(S(x)-S*(x))  deg(Q) Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau Theo ký hiệu của định lý thì S(x) được gọi là thương số và R(x) được gọi là dư số trong phép chia P(x) cho Q(x)

k

k

k x Q x b x a

x

P

0 0

)(,)

(

)

()

(

)()

()

(

1 1 1

0 0

1 1

n m m

n n n m n

m m

m m m

n m n m

x b

b a a

b x

b x b

a a x a x

a x

a

x Q x b

a x P x