Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 20

ai được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó an được gọi là hệ số cao nhất và a0 được gọi là hệ số tự do.. Do đó nếu ta tiếp tục tìm UCLN với các số b và r ta sẽ có kết quả Mô tả thu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

A.ĐA THỨC

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 3

II CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

2.1 Đa thức và các phép toán trên đa thức thức 3

2.2 Đa thức bằng nhau 3

2.3 Phép cộng, trừ đa thức 3

2.4 Phép nhân đa thức 3

2.5 Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức 4

2.6 Phép chia có dư 4

2.7 Sự chia hết Ước và bội 5

III THUẬT TOÁN EUCLIDE 6

3.1 Thuật toán tìm ước chung lớn nhất 6

3.2 Bội số chung nhỏ nhất 7

3.3 Tính chất của phép chia hết 8

3.4 Các ví dụ 9

B SỐ NGUYÊN TỐ PHẦN I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ I ĐỊNH NGHĨA 11

II MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 11

III.CÁCH NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ 12

IV SỐ CÁC ƯỚC SỐ VÀ TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA 1 SỐ 13

V.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU 14

VI.MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐẶC BIỆT 14

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Dạng 1 :TÌM SỐ NGUYÊN TỐ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 15

Dạng 2:NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ SỰ PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ TRONG N

17

Dạng 3:CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ 18

C.THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VÀ TAM THỨC NEWTON I ĐẶT VẤN ĐỀ 20

II CƠ SỞ LÍ LUẬN 21

2.1 Nhị thức Newton (Niu-tơn) 21

2.2 Chứng minh công thức tổ hợp 22

2.3 Công lập tam giác Pascal 22

2.4.Công thức Newton (Niu-tơn) 22

III THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON n a b NHƯ SAU 24

3.1 Thuật toán 24

3.2 Ví dụ áp dụng bài toán bất đẳng thức từ nhị thức Newton 25

IV MỞ RỘNG THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON, KHAI TRIỂN TAM THỨC NEWTON 27

4.1 Thuật toán khai triển tam thức Newton n a b c như sau 28

4.2 Ví dụ 29

4.3 Mã Giả 30

4.4 Chương trình khai triển tam thức Newton 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

A.ĐA THỨC

I.ĐẶT VẤN ĐỀ

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số

Sau đây là hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về đa thức

II CƠ SỞ LÍ LUẬN

2.1 Đa thức và các phép toán trên đa thức

Định nghĩa: Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng

Trong đó a i  R và an  0 ai được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó an được gọi là hệ

số cao nhất và a0 được gọi là hệ số tự do n được gọi là bậc của đa thức và ký kiệu là n =

deg(P) Ta quy ước bậc của đa thức hằng P(x) = a0 với mọi x là bằng 0 nếu a0  0 và bằng

 nếu a0 = 0

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức P(x) bậc n thì vẫn có các

hệ số ak với k > n, nhưng chúng đều bằng 0

Tập hợp tất cả các đa thức 1 biến trên trường các số thực được ký hiệu là R[x] Nếu các

hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với

hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp Q[x], Z[x]

2.5 Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức

Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây

Định lý 1 Cho P(x), Q(x) là các đa thức bậc m, n tương ứng Khi đó :

a) deg(P  Q)  max{m, n} trong đó nếu deg(P)  deg(Q) thì dấu bằng xảy ra Trong trường hợp m = n thì deg(P  Q) có thể nhận bất cứ giá trị nào  m

b) deg(P.Q) = m + n

2.6 Phép chia có dƣ

Định lý 2 Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ, trong đó deg(Q)  1, tồn tại duy nhất các

đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:

( ) ( ) ( )

m n m n

n m

m n m

Theo ký hiệu của định lý thì S(x) được gọi là thương số và R(x) được gọi là dư số trong phép chia P(x) cho Q(x)

Phép chứng minh nói trên cũng cho chúng ta thuật toán tìm thương số và dư số của phép

chia hai đa thức, gọi là phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner

Ví dụ: Thực hiện phép chia 3 – 2x3 x2 4 7 x cho x2 2x

3x3 – 2x2 + 4x + 7 | x2 + 2x 3x3 + 6x2 | 3x - 8

Trong phép chia P(x) cho Q(x), nếu dư số R(x) đồng nhất bằng 0 thì ta nói rằng đa

thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Như vậy, P(x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức S(x) sao cho P(x) = Q(x).S(x) Trong trường hợp này ta cũng nói Q(x) chia hết P(x), Q(x)

là ước của P(x) hoặc P(x) là bội của Q(x) Ký hiệu tương ứng là Q(x) | P(x) và P(x) Q(x).

Cho P(x) và Q(x) là các đa thức khác 0 Ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x) là đa thức

D(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) D(x) là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng 1

ii) D(x) là ước chung của P(x) và Q(x), tức là D(x) | P(x) và D(x) | Q(x)

iii) Nếu D‟(x) là ước chung của P(x) và Q(x) thì D‟(x) cũng là ước của D(x) Tương tự, ta có khái niệm bội chung nhỏ nhất của hai đa thức

Cho P(x) và Q(x) là các đa thức khác 0 Bội chung nhỏ nhất của P(x) và Q(x) là đa thức

M(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

iv) M(x) là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng 1

v) M(x) là bội chung của P(x) và Q(x), tức là P(x) | M(x) và Q(x) | M(x)

vi) Nếu M‟(x) là bội chung của P(x) và Q(x) thì M‟(x) cũng là bội của M(x)

Ký hiệu UCLN và BCNN của hai đa thức P(x), Q(x) là (P(x), Q(x)), [P(x), Q(x)]

Hai đa thức P(x), Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (P(x), Q(x)) = 1

III.THUẬT TOÁN EUCLIDE

3.1.Thuật toán tìm ƣớc chung lớn nhất

Thuật toán Euclid là một thuật toán để xác định ước số chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của 2 phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: các số nguyên) Điều quan trọng chủ yếu là nó không yêu cầu việc phân tích thành thừa số của 2 số nguyên

Chứng minh:

Giả thiết a và b là các số tự nhiên mà UCLN phải xác định Bây giờ, giả thiết b > 0, và phần dư của phép chia a cho b là r Do đó a = qb + r với q là thương của phép chia Bất kì phép chia thông thường nào của a và b cũng cho một số dư r Để thấy sự đúng đắn

đó, ta coi r có thể được viết là r = a – qb Bây giờ nếu có một ước chung d của a và b, như vậy a = sd và b = td, khi đó r = (s-qt)d, ta có thể thấy rằng r chia hết cho d Những phân tích trên là đúng cho bất kì số chia d nào, vì thế, UCLN của a và b cũng là UCLN của b và r Do đó nếu ta tiếp tục tìm UCLN với các số b và r ta sẽ có kết quả

Mô tả thuật toán với phép chia:

Cho 2 số tự nhiên a và b, không đồng thời bằng 0: kiểm tra nếu b bằng 0, thì a là ước chung lớn nhất (UCLN) Nếu không, lặp lại xử lý sử dụng b và phần còn lại sau khi lấy a chia cho b Phần còn lại sau khi chia a cho b thường được viết là a mod b

Các thuật toán này có thể sử dụng trong bất kì hoàn cảnh nào khi còn phần dư Điều này bao gồm các nhóm đa thức như nhóm số nguyên Gauxơ Thuật toán không chỉ áp dụng cho số tự nhiên mà còn áp dụng cho nhiều trường hợp tổng quát khác (số nguyên Gaussian, đa thức, )

Bài toán tìm ƣớc chung lớn nhất của 2 số a,b

Input :a,b

Output: ucln(a,b)

Thuật Toán

Bước 1: nhập 2 số a,b vào

Bước 2: nếu b>a thì

bước 4: quay lại bước 3;

ví dụ: tìm ước chung lớn nhất của 2 số 1071,1029

Nhận xét rằng a b trong mỗi lần gọi Nếu ban đầu, b > a, không có vấn đề gì, trước hết

ta chỉ cần hoán đổi 2 giá trị cho nhau, sau đó các bước hoàn toàn tương tự

là các đa thức đơn khởi, ta suy ra D = D‟

Định lý trên giải thích cho thuật toán Euclide để tìm UCLN của hai đa thức theo như ví dụ dưới đây:

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức x 5 – 5x + 4 và x3 – 3x2 + 2

Ta lần lượt thực hiện các phép chia

x5 – 5x + 4 cho x3 – 3x2 + 2 được x2 + 3x + 9 dư 25x2 – 11x – 14

x3 – 3x2 + 2 cho 25x2 – 11x – 14 được (25x – 64)/625, dư (354/625)(x-1)

25x2 – 11x – 14 cho x-1 được 25x + 14 dư 0

Nhắc lại, hai đa thức P(x), Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (P(x), Q(x)) = 1 Ta

có định lý thú vị và có nhiều ứng dụng sau về các đa thức nguyên tố cùng nhau:

Định lý 4: (Bezout) Hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại

các đa thức U(x), V(x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1

Chứng minh:

Giả sử tồn tại các đa thức U(x) và V(x) thoả mãn điều kiện P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1 Đặt D(x) = (P(x), Q(x)) thì D(x) | P(x), D(x) | Q(x) suy ra D(x) | 1 = P(x).U(x) + Q(x).V(x) Suy ra D(x) = 1

Ngược lại, giả sử (P(x), Q(x)) = 1 Ta chứng minh tồn tại các đa thức U(x) và V(x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1 Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = min{deg(P), deg(Q)}

Nếu m = 0 thì điều cần chứng minh là hiển nhiên Chẳng hạn nếu deg(Q) = 0 thì Q = q là hằng số và ta chỉ cần chọn U(x) = 0, V(x) = q -1

thì ta được P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1

Giả sử ta đã chứng minh định lý đúng đến m Xét hai đa thức P(x), Q(x) có min{deg(P), deg(Q)} = m+1 Không mất tính tổng quát, giả sử m+1 = deg(Q) Thực hiện phép chia P(x) cho Q(x) được thương là S(x) và dư là R(x) Không thể xảy ra trường hợp R(x) = 0

vì khi đó 1 = (P(x), Q(x)) = q* -1 Q(x) Vì vậy, ta có

1 = (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))

Lúc này, do min(deg(Q), deg(R)) = deg(R) < m +1 nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại các

đa thức U*(x), V*(x) sao cho Q(x)V*(x) + R(x)U*(x) = 1 Thay R(x) = P(x) – Q(x).S(x), ta được

ii) Q | P, P | R suy ra Q | R (tính bắc cầu)

iii) Q | P, P | Q suy ra tồn tại số thực khác 0 a sao cho Q = aP (ta gọi P và Q là các đa thức

Để chứng minh các tính chất v) và vi), ta sẽ áp dụng định Bezout

v) Từ giả thiết Q | P.R và (P,Q) = 1 suy ra tồn tại S sao cho P.R = Q.S và U, V sao cho P.U + Q.V = 1

Khi đó R = (P.U+Q.V).R = (P.R)U + Q.V.R = Q.S.U + Q.V.R = Q.(SU+VR) suy ra Q |

R

vii) Từ giả thiết Q | P, R | P và (Q, R) = 1 suy ra P = Q.S Vì P = Q.S chia hết cho R, mà (Q, R) = 1 nên theo v) suy ra S chia hết cho R, tức là S = R.S1 Vậy P = Q.S = (Q.R).S1suy ra P chia hết cho Q.R

Nếu C = 1 thì a = 6, b = 4 Nếu C = -1 thì a = 2, b = -4

Vậy có hai cặp số (a, b) thoả mãn yêu cầu bài toán là (6, 4) và (2, -4)

Bài toán 2 Cho đa thức P(x) và hai số a, b phân biệt Biết rằng P(x) chia cho x-a dư A,

P(x) chia cho x-b dư B Hãy tìm dư của phép chia P(x) cho (x-a)(x-b)

Giải:

Giả sử P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + Cx + D Lần lượt thay x = a, b, ta được

A = Ca + D, B = Cb + D

Từ đó suy ra C = (A-B)/(a-b), D = A – (A-B)a/(a-b) = (aB – bA)/(a-b)

Bài toán 3 Tìm dư trong phép chia x100 cho (x – 1)2

3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số

4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố

Ta thấy (2) mâu thuẫn (1)

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố

2/ Định lý 2:

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)

Chứng minh:

* Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố:

Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n

Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh

Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)

Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các thừa số nguyên tố

* Sự phân tích là duy nhất:

Giả sử mọi số m < n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta chứng minh điều đó đúng với n:

Nếu n là số nguyên tố thì ta được điều phải chứng minh

Nếu n là hợp số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau:

n = p.q.r

n = p‟.q‟.r‟

Trong đó p, q, r và p‟, q‟, r‟ là các số nguyên tố và không có số nguyên

tố nào cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số thoả mãn điều kiện như trên, ta có thể chia n cho số đó lúc đó thường sẽ nhỏ hơn n, thương này có hai cách phân tích ra thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp)

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p‟ lần lượt là các số nguyên

tố nhỏ nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai

 pp‟ | n = pp‟ | p.q.r => p‟ | q.r => p‟ là ước nguyên tố của q.r

Mà p‟ không trùng với một thừa số nào trong q,r (điều này trái với gỉa thiết quy nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất)

Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên

tố (Định lý được chứng minh)

III/ Cách nhận biết một số nguyên tố

Cách 1:

Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7

Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố

Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố

Cách 2:

Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố

Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:

Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvượt quá A

Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc,

tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp

số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không

+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số

+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không

pn

Xn

Trong đó: pi P ; xi  N ; i = 1, n

a) Số các ước số của A tính bằng công thức:

T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) (xn + 1)

Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30

Ư(30) có 8 phân tử Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố

3100 có (100 + 1) = 101 ước

1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước

Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có

thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa

b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức:

Thuật toán kiểm tra số nguyên tố

 B1 Nhập N

 B2 Nếu N <= 1, dừng và xuất kết quả sai

 B3 Nếu N = 2 hoặc N = 3, dừng và xuất kết quả đúng

 B4 Nếu N % 2 = 0, dừng và xuất kết quả sai

 B4 Cho i = 2

o Nếu i = N, dừng vòng lặp và xuất kết quả đúng

o Nếu N % i = 0, dừng và xuất kết quả sai

 B5 Quay lại bước 4

V/ Hai số nguyên tố cùng nhau:

1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có

ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1

a, b nguyên tố cùng nhau <=> (a,b) = 1 a,b  N

2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau

4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau <=> (a,b,c) = 1

5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau

a,b,c nguyên tố sánh đôi <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1

VI/ Một số định lý đặc biệt

1) Định lý Đirichlet

Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:

p = ax + b (x  N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau)

Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt

Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5

PHẦN II

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

Bài tập số 1:

Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố

Giải: (Phương pháp: Chứng minh duy nhất)

Vậy nếu p  3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số

=> không thỏa mãn bài ra

p = 11 cũng thoả mãn bài ra

Vậy với bài tập này, học sinh chỉ cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ

Bài tập số 3:

Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều

số nguyên tố nhất

Giải:

Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp,

có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2)

Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố

+) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7

+) Nếu k = 1 từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11

+) Nếu k > 1 từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5 số nguyên tố