BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN HỌC GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU LỚP: VB2 K2 Nhóm 22 gồm: Hồ Thị Thu Sương Lê Thị Mỹ Tiên Chung Thị Bích Ngọc Nguyễn Văn
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN – TIN HỌC
GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU LỚP: VB2 K2
Nhóm 22 gồm:
Hồ Thị Thu Sương
Lê Thị Mỹ Tiên Chung Thị Bích Ngọc Nguyễn Văn Minh
TP.Hồ Chí Minh năm 2014
Bài thuyết trình môn:
Vấn đề:
Thuật toán xác định biểu diễn thập phân căn bậc n của một số thực không âm (n là số nguyên dương); Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân.
Từ đó xây dựng thuật toán xác định dạng thập phân căn bậc n của một số thực.
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE
Trang 2Mục lục
I Đặt vấn đề: 3
II Đa thức nội suy Lagrange: 3
1 Định nghĩa: 3
2.Cách xác định: 4
III Đánh giá sai số của nội suy lagrange: 5
IV Ứng Dụng Và Ví Dụ 7
V Thuật toán tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy lagrange: 10
Trang 3PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY LAGRANGE
I Đặt vấn đề:
Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị các hàm yf x( )nào đó Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm f x( ) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y ,0 y1 , , y tại các điểm tương ứng n x x0, , ,1 x n
Vấn đề đặt ra là làm sao để tính yf c( ) Cho nên ta dùng phương pháp nội suy LAGRANGE
II Đa thức nội suy Lagrange :
1 Định nghĩa : cho n số ( , , , , )x x x0 1 2 x phân biệt và n số n ( , , , , )y y y0 1 2 y n
tùy ý thì tồn tại một đa thức p x( )với bậc không quá n 1 thỏa mãn:
( )i i ; 1,2,3, , (1)
Công thức nội suy:
0
( )
n
i i
j j i j i
x x
p x
,i1,2,3, , n (2)
Khi đó:
n
i
x x
x x x0, , , ,1 2 x được gọi là các nút nội suy n
Với n 2 đa thức là:
0 1
Với n 3 đa thức là:
Với n thì đa thức với bậc không quá n 1 có dạng:
Trang 4
n
i
x x
Ý nghĩa hình học:
Với deg ( ) 2,P x y P x ( )là parabol đi qua 3 điểm
Với deg ( ) 1,P x y P x ( )là đường thẳng đi qua 3 điểm không cùng phương với trục hoành
Với deg ( ) 0,P x y P x ( )là đường thẳng đi qua 3 điểm cùng phương với trục hoành
2 CÁCH XÁC ĐỊNH :
Cho n 1 mốc nội suy ( , ), ,( , )x y0 0 x y đa thức nội suy ( ) n n f x k x theo
LAGRANGE được xác định như sau:
Bước 1: chọn mốc nội suy ( , ), ,( , )x y0 0 x y sao cho thỏa điều kiện n n
0 k 0 1
n x n và cho giá trị sai số tốt nhất
Bước 2 : xác định các đa thức lagrange dưới dạng cơ bản p x i ( ) có dạng:
0 1 2 3
Trang 5 1 0
( ) k i
Bước 3 : đa thức nội suy lagrange được xác định bởi:
n
j
x x
0
1
1 0 1 2 1 3 1
n
n n
n n
y
y
y
III ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CỦA NỘI SUY LAGRANGE
a Định lý rolle
Nếu f x( )liên tục trên đoạn a b khả vi tại mọi , xa b, với f a( )f b( )thì tồn tại ( , )a b sao cho ( ) 0f
Áp dụng đánh giá sai số khi tính ( )f c L c n( )
Giả xử f x( )có đạo hàm liên tục đến cấp n 1 trên đoạn [ , ]x x0 n
Tìm các phần dư có dạng:
Trang 6
1
0 ( )
n
i
Đặt
0
n
i
Tính k sao cho F(x) có ít nhất n 2nghiệm ( , , , và c)x x0 1 x n
F(x) có n 2 nghiệm F x c n( ) ó 1 nghiệm (định lý Rolle)
F(x) có n 1 nghiệm F x c n( ) ó nghiệm (định lý Rolle)
…
Tương tự : F n1( ) x
có 1nghiệm, ta gọi nghiệm nội suy
0
n
i
Mà : n 1( ) 0( )
n
1
0
( n ( ))n ( 1)!
i i
vậy sai số có dạng cần tìm:
1
1 1
0
( )
( 1)!
n
i
f
n
n
thì sai số của lagrange có thể viết
1
0
( 1)!
n
i
M
n
b/ Chọn mốc nội suy tối ưu.
Với công thức đánh giá sai số
0
| | | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |
n
i
Trang 7Cần chọn các x i a b; để max ( ) [ ;b]
x a f x
là nhỏ nhất
IV ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ :
Với n giá trị phân biệt x x x0, , , ,1 2 x áp dụng công thức nội suy cho đa thức n
1 1
k
(deg ( )f x n 1)
1 1
1,
( )
n k
i j i i
i
x p x
Vậy biểu thức của đa thức có hệ số x n 1là
1
1
( )
( )
k n
j i
x
f x
so sánh với y f x( )x1kta được đẳng thức sau:
1
1
0 ( )
k
n
j
x
f x
k (1,2,3, , -2)n
1
1
1 ( )
( )
k n
j i
x
(1k n 1)
Ví dụ 1 : Tìm đa thức nội suy đối với hàm yf x( ) x được cho trong bảng
0 x 4
i
i
Giải: Các Đa Thức Lagrange Cơ Bản
2
0
( )
Trang 8
2
1
2
4
( )
Đa thức nội suy lagrange:
0
2
n
n
i i i
Tính f(2)=?
2
(2) 4 2 1,6666(6)
Ví dụ 2: cho f(x) bởi bảng sau: tính f(3) ? với ( )f x x, 0 x 49
i
i
Đa thức nội suy lagrange: với n=7
7
0
1
14515200 1
- x(x-1)(x-9)(x-16)(x-25)(x-36)(x-49)
10886400 1 +
x(x-1)(x-4)(x-16)(x-25)(x-14515200
n n
i i i
36)(x-49) 1
- x(x-1)(x-4)(x-9)(x-25)(x-36)(x-49)
29937600 1 + x(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-36)(x-49)
95800320 1
- x(x-1)(x-4)(x
518918400 -9)(x-16)(x-25)(x 49) 1
+ x(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-25)(x-36)
Trang 97814664 15629328 2604888 253 299 23 11 (3)
14515200 10886400 14515200 6300 40320 25200 218400 =1.828198642
Từ ví dụ 2: ta có sai số lagrange như sau:
1
1 1
0
( )
( 1)!
n
i
f
n
Với n=7, L7(3) 1.828198642
8 7
8
0
( )
8!
n
i
f
( ) ( ( )
2 3 20736 (2 )
x
8 7
8
0
8 4
( )
8!
1
( 1)( 4)( 9)( 16)( 25)( 36)( 49)
8!2 3
1
.(15629328) 0.01869367973
8!20736
n
i i
f
Vậy: f(3) 1.828198642 0.01869367973
V Thuật toán tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy lagrange:
Input: cho mảng {(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}
L=0 ;
I=0,1,2,…,n
{
//Tính giá trị đa thức Lagrange cơ bản thứ i
Pi=1
J=0,1,2,…,n
If i≠j then
Pi=Pi*(c-xj)/(xi-xj)
//Cộng yi*Li vào kết quả
o L=L+yi*Pi ;
}
Return L ; // L là giá trị gần đúng của F(c) tìm được
VI Hạn chế của đa thức nội suy lagrange:
Trang 10Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức (các đa thức lagrange
cơ bản và đa thức nội suy lagrange)
Đa thức newton khắc phục được tình trạng này
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
http://www.slideshare.net/thanhchuongnl/chuong04
http://d.violet.vn//uploads/resources/558/2050667/preview.swf
https://dangcnd.files.wordpress.com/2009/08/pptc3.pdf
Các bài giảng Phương pháp tính của TS Trịnh Công Diệu