Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 01

Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất: V.1.. Một số ví dụ: PHẦN D: SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN



PHƯƠNG PHÁP TÍNH

TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CUA HÀM ĐA THỨC

BẰNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON

Giáo viên hướng dẫn: TS Trịnh Công Diệu Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Thu Trang

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :

II Các dạng biểu diễn đa thức:

III Mệnh đề :

IV Định lý về tính duy nhất của đa thức:

PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

I Sai phân:

I.1 Định nghĩa:

I.2 Công thức tính sai phân:

I.3. Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

II Tỉ sai phân:

II.1 Định nghĩa:

II.2 Các tính chất của tỉ sai phân:

III Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

IV Công thức nội suy Newton thứ nhất:

IV.1 Đa thức nội suy Newton :

IV.2 Công thức nội suy Newton thứ nhất

IV.3 Công thức nội suy Newton thứ hai

V Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:

V.1 Thuật toán dạng bảng:

V.2 Thuật toán dạng mã giả :

VI Thuật toán chuyển công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc:

VI.1 Thuật toán dạng bảng:

VI.2 Thuật toán dạng mã giả:

VII Một số ví dụ:

PHẦN D:

SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA HÀM ĐA THỨC KHI CÁC MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU

I Thuật toán chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều về bài toán

có mốc nội suy đều Sau đó sử dụng công thức Newton xác định công thức của hàm đa thức:

I.1 Thuật toán 1:

I.2 Thuật toán 2:

I.3 Ví dụ :

II Thuật toán xác định công thức của hàm số trên cơ sở dùng công thức nội suy Newton đối với bài toán có mốc nội suy không cách đều:

II.1 Thuật toán dạng bảng:

II.2 Thuật toán dạng mã giả:

PHẦN E: NHẬN XÉT

PHẦN A: MỞ ĐẦU

III. Đặt vấn đề :

Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x)nhưng trên thực tế, nhiều trường hợp ta không xác định biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhậnđược những giá trị rời rạc: y0, y1, … yn tại các điểm tương ứng x0, x1, … xn (Các giá trị nàyđược cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán) Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tạitất cả các điểm còn lại Muốn vậy, cần xây dựng hàm g x( ) sao cho:

Bài toán xây dựng hàm g x( ) gọi là bài toán nội suy

Hàm g x( ) gọi là hàm nội suy của f x( ) trên a b,  , các điểm x i, i0,n là các mốc nội suy.Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của hàm f x( )nhưng nó quá phức tạp Khi đó cần tìm hàm nội suy xấp xỉ với hàm f x( ) để việc khảo sát vàtính giá trị đơn giản hơn

IV. Mục tiêu của đề tài :

Với P(x) là một hàm đa thức bậc n theo biến x Giả sử biết giá trị của P tại (n+1) điểm x i (

0,

i n) phân biệt nhau đôi một sao cho: P x( )i y i f x( )i , i0,n

Mục tiêu của Tiểu luận là sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thứccủa hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng, sau đó chuyển công thức trên về dạng chính tắc Trong thực tế, các điểmx i có thể được phân bố cách đều hoặc không Tiểu luận trình bày cáchgiải quyết cả hai trường hợp: các nốc nội suy cách đều và các nốc nội suy không cách đều

I Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :

Cho a h, ,n* Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h là số:

Quy ước: Trường hợp h =1 ta viết a(n)thay cho a(n;h) và đọc vắn tắt là lũy thừa suy rông bậc ncủa a

II. Các dạng biểu diễn đa thức:

Cho P x  là đa thức bậc n theo biến x

Dạng chính tắc của P(x) là:

 

0

n i i i

i



  với d0,d , ,d1 n là các hằng số

Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên:

 Khi x0 0,h0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc

 Khi x0 0,h1thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng

 Khi h 0thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc

Do vậy nếu xây dựng được thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng ta sẽ chuyển được về dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc

III. Mệnh đề :

Mọi đa thức hệ số thực có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng

Chứng minh:

Giả sử P x  là đa thức bậc n trong vành đa thức hệ số thực  x

Chọn x h0, ;là các số thực tùy ý Ta sẽ chứng minh hệ các đa thức

1, x x h , x x h , , x x n h là một cơ sở của n x

(n x là không gian vectơ các đa thức hệ số thực bậc không quá n)

Vì hệ trên gồm n 1 đa thức thuộc vào n x , nên nếu ta chứng minh hệ trên độc lập tuyến tính thì nó chính là cơ sở của n x

Giả sử tồn tại a a0, , ,1 a   n không đồng thời bằng 0 sao cho:

 ; 

0 0

i h n

0,

n

i h i

i h n

i i



  có bậc là i0 n, nghĩa là P x 

không thể là đa thức không, ta gặp mâu thuẫn

Vậy hệ đa thức trên độc lập tuyến tính trong n x nên là một cơ sở của n x

Do P x  n x nên P x  có biểu diễn tuyến tính duy nhất theo hệ trên

 Mọi đa thức hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng nên mọi đa thức hệ số thực đều biểu diễn được dưới dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc.

 Với mỗi x h0, ,P x  x tồn tại duy nhất biểu diễn:

IV Định lý về tính duy nhất của đa thức:

Cho bộ ( , )x y   i i  (i 0,n) Nếu x i x jkhi ij(i j,  0,n) thì tồn tại duy nhất một đa thức( )

P x bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho: y i P x i( ),i 0,n

Đa thức P x( ) tồn tại duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có duy nhất nghiệm

Gọi A là ma trận hệ số của hệ (*) Ta có:

1 1 1

n n

 Hàm số thực định bởi h f x:  h f x( ) được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h

 Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ: h : f  h f

Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có: h f  x0 0 tại mọi x

 Toán tử sai phân cấp hai, bước nhảy h là ánh xạ:  2h: f   2h f

Định nghĩa tương tự cho các sai phân cấp cao hơn

Quy ước :

 Khi cần nhấn mạnh cấp của sai phân, ta gọi sai phân của hàm f trong định nghĩa là sai phân cấp một của hàm f, hơn nữa để đơn giản trong trình bày, ta quy ước gọi hàm f là sai phân cấp 0 của hàm f Kí hiệu: sai phân cấp i, bước nhảy h của hàm f là: i h f ; i 0,n

 Khi h = 1 ta bỏ bớt nhóm từ “bước nhảy h” trong các thuật ngữ trên và kí hiệu: f thaycho 1f

I.2 Công thức tính sai phân:

vi. Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số

Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng không

(Do giả thiết quy nạp)

Vậy: ta đã chứng minh được i   0,

n i

0 0

(x x )n h .n h

I.3 Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h tại x0

Ví dụ 1: Lập bảng sai phân các cấp của hàm f tại x0, biết:

II Tỉ sai phân:

Khi các mốc nội suy không cách đều, ta có khái niêm tỉ sai phân của hàm số f tại xi như sau:

Nhận xét: Muốn tính tỉ sai phân cấp k của hàm f tại xi cần có k+1 mốc nội suy

II.2 Các tính chất của tỉ sai phân:

iv Tỉ sai phân của hằng số bằng không.

v Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số

Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng không

II.3 Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm x0:

Tỉ sai phân cấp k tại xi viết là: TSPk( ) xi

Ta có bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại x0 được xác định bởi bảng sau:

x x

- -

-=-

-= -

n

III Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

Khi các mốc nội suy cách đều, ta có công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:

1 1

i

i

i i

-IV Công thức nội suy Newton:

IV.1) Đa thức nội suy Newton:

Cách tính của Newton dựa trên định nghĩa tỉ sai phân:

n n

n h

1.3.2.1

3.2.1 3!

n h

Theo công thức nội suy Newton ta có được công thức tính P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc

suy rộng Sau đó, dùng thuật toán ở chủ đề 2 để đưa công thức trên về dạng chính

tắc.

V. Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn

tắc, trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:

Với mỗi k chạy từ 2 đến n

Với mỗi i chạy từ 0 đến n – k

VI.1 Thuật toán dạng bảng của nhóm 2:

Cột màu xanh (bên trái bảng): các giá trị của xi

Cột n: các biến được gán giá trị của dn

Đường chéo màu vàng: các biến được gán giá trị của d i ; i n ,0

Dòng màu đỏ (cuối bảng): các giá trị tính được bi; i n ,0

Với mỗi j giảm từ n-1 tới 1

Với mỗi i giảm từ j-1 tới 0

b bi:  id j*Z ij

Thuật toán 2:

 Input : n d d ; , , ,dn; ; h

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng [ , ]

Với mỗi k chạy từ 0 đến n – 1 thực hiện:

Với mỗi i lấy giá trị chạy từ 1 đến n – k thực hiện:

Chuyển công thức của hàm P(x) từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc:

3

13

8 569 18Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:

Vậy: P(x) ghi ở dạng chính tắc của P(x) là: P x( ) 18 x2  97x193

3) Ví dụ 3 : Xác định công thức của P(x) ghi ở dạng chính tắc bằng công thức nội suy Newton, biết:

P x d

Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:

I Thuật toán chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều về mốc nội suy đều Sau đó sử dụng công thức Newton xác định công thức của hàm đa thức: I.1 Phân tích:

Xét bài toán xác định công thức của hàm P(x) bằng công thức nội suy Newton ghi ở dạng chính tắc, biết:

b) Bước nhảy h=3 xuất hiện nhiều nhưng không liên tiếp

Nếu chọn: x0 =0, h = 3 thì số mốc nội suy mới là 5 => cần tính 5 giá trị của hàm số

c) Bước nhảy h=2 xuất hiện nhiều và liên tiếp

Nếu chọn h=2 và giữ nguyên giá trị của x4 thì số mốc nội suy mới là 3 => cần tính 3 giá trị

Nếu chọn cách này thì trong nhiều trường hợp, số mốc nội suy tạo mới và các giá trị của hàm số cần tính là ít nhất.

I.2 Thuật toán 1:

Chuyển bài toán có mốc nội suy không cách đều về bài toán có mốc nội suy đều với cách chọn : x0 =0, h = 1

i i i

b b W

  

I.3 Thuật toán 2:

Chuyển bài toán có mốc nội suy không cách đều về bài toán có mốc nội suy đều với mục tiêu: số mốc nội suy tạo mới và các giá trị của hàm số cần tính là ít nhất.

Các bước thực hiện:

 Chọn bước nhảy có số lượng nhiều nhất và xuất hiện liên tiếp làm bước nhảy đều

 Giữ lại các mốc nội suy liên tiếp gắn với bước nhảy đều

 Tạo mốc nội suy mới

 Tính giá trị hàm số tại các mốc nội suy mới đó

{ Nếu 2 bước nhảy liên tiếp ko bằng nhau thì tìm tiếp

Khi bước nhảy sau bằng bước nhảy liền kề trước thì đếm số bước nhảy

Nếu số lượng bước nhảy bằng nhau là cao nhất thì chọn bước nhảy đó làm bước nhảy đều

và lưu giữ vị trí mốc nội suy đầu tiên của dãy mốc nội suy có bước nhảy đều }

i:= 0 ; h:= bn0 ; k:= 1

Khi i < n – 1

Nếu bn i1bn i thì

i:= i + 1 quay lại Bước 2

I.4 Ví dụ :

1) Ví dụ 1 : Chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều thành bài toán có

các mốc nội suy cách đều với bước nhảy h = 1, biết:

i h





x x

- -

-=-

-= -

n

Lập bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại x0:

II.2 Thuật toán dạng mã giả:

i i

d1: sp [0]

 Bước 3:

Với mỗi k chạy từ 2 đến n, thực hiện:

Với mỗi i chạy từ 0 đến n – k, thực hiện:

II.3 Ví dụ : Xác định công thức của P(x) ghi ở dạng chính tắc bằng công thức

nội suy Newton, biết:

Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc:

bổ sung các điểm quan sát mới thì phải tính lại từ đầu Phương pháp nội suy Newton củaP(x) khắc phục được nhược điểm này, không cần tính lại đa thức Tuy nhiên phương phápnội suy Newton, phức tạp hơn đối với bài toán có các mốc nội suy không cách đều

Trong thực tế, các điểmx i có thể được phân bố cách đều hoặc không Trong trường hợp, bàitoán có các mốc nội suy không cách đều, có hai cách xử lý:

 Đưa bài toán trên về bài toán có các mốc nội suy cách đều (bằng cách áp dụng công thức

nội suy Lagrange tính giá trị của hàm P(x) tại một số điểm) Sau đó sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thức của hàm P(x)

 Sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất và tỉ sai phân để xác định công thức của hàmP(x) với bài toán có các mốc nội suy không cách đều

Cách xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm f(x) Tương tự nhưtrên, cách xây dựng đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn của f(x)

Tài liệu tham khảo

1) Bài giảng môn Phương Pháp Tính - TS Trịnh Công Diệu

2) Giải Tích Số - Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật - Lê Trọng Vinh3) Phưong pháp tính - Nhà xuất bản Giáo dục - Tạ Văn Đĩnh

4) Giáo trình - Học viện bưu chính viễn thông - Phan Thị Hà

5) Giáo trình - Đại học bách khoa Đà Nẵng - Đỗ Thị Tuyết Hoa