Tích phân ( hay quá )

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn Thể tắch khối tròn xoay ựược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ựường sau quay quanh trục Ox 112 yxxy ;2 y x xy.

Tính nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số

ðịnh lý : Cho hàm số u = u x( ) có ñạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f u( ) liên tục sao cho  ( )

=

∫

xdxx

+ ++

+

∫

3 2

x dx

e +

∫

2 2

1

x x

edx

edxe

∫

6 0

xdxx

tancos

xdxx

∫

4

cos

dxx

∫

6

sin

dxx

∫

6

1cos xdx

∫

1

5+4 cosxdx

∫sin cos

dx

x ± x

∫cos 2

1 sin cos

xdx

+

∫sin cossin 2

.1

x

x

−+

∫

2 3 2

1

x dxx

−

∫

Tích Phân

Ví dụ :

+ ++

x

π π

(x +x x dx)

∫

5 3 1

1xdxx

+

∫

2 2 1

1

x+

∫

2 2 1

.(1 )

x dxx

3

2

dxdx

x − a + x +a dx

∫

3 2 1

x x x

e e

dxe

−+

sin sin 2 sin 3x x xdx

π

∫

2 3 6

cossin

xdxx

Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số

Công thức dổi biến số ∫ ( ) = ∫

( )

( )

u b b

f u x u x dx f u du

0 1

dxx+

x dxx+

x +

∫

2 3 1

11

x +

∫

2 0

21

dxx

++

∫

−∫ −

7 3 0

21

xdxx

++

−∫ + +

4

1

(1 )

0 cos

dxx

π

∫

6 0

sincos

xdxx

π

+

∫

1 2 sin

1 sin 2

xdxx

π

−+

∫

4

2 0

sin 4

1 cos

xdxx

π

+

∫

3 2

2 0

sin cos

1 cos

dxx

π

+

∫

2 2 6

cotsin 1

xdxx

π

+

∫

2 0

sin

1 3

xdxcosx

π

+

∫

2 0

2 cos

3 2 sin

xdxx

π

+

∫

2 0

sin 2

1 cos

xdxx

π

+

∫

4 0

cos 2

1 2 sin 2

xdxx

sin 2

1 sin

xdxx

sin 2 cos

1 cos

dxx

π

+

∫

2 2 0

cos xcos 4xdx

π

∫

3 2

2 0

sin cos

dxx

sin cos (1x x cos ) x dx

π

+

∫

3 2

π

π

−∫ +

2 4

0

1 2 sin

1 sin 2

xdxx

π

−+

sin 2 sin

1 3 cos

dxx

π

++

π

π

−+

tancos 1 cos

xdx

π

∫

4−x dx

∫

1 2

2 0

1 xdxx

−

∫

1 2

2 2

.1

1(1+3 )x dx

∫

1

3.(1 2 )

xdxx+

∫

1 2 0

3

xdx

x + x +

∫

1 2 2 0

x

dxx

++

∫

1 2 0

11

dx

x +

∫

1 5 2 0

.1

−+

∫

2

2

1(1 ln )

e

e

dxcos + x

∫

ln 1

e

xdx

x x +

∫

2 2 1

∫

2

2

1 lnln

e

e

xdx

∫

1

01 x

dxe+

edx

edx

(1 )1

x

edxe

++

∫

6

2 0

π

+

∫

2 0

4 sinsin cos

xdx

cos 2sin cos 2

xdx

0

sinsin 3 cos

xdx

0

cossin 3 cos

xdx

3 2

cos 2cos 3 sin

xdx

π

∫

u x v x dx u x v x v x u x dx

Dạng 1

β α

ax

ax

f x cosax dxe

ln

I = ∫x xdx

2 0

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn

2 2

2

12

xdxdu

−∫

0 cos

xdxx

π

∫

3

2 4

sincos

dxx

π

+

∫

2 3 4

cossin

x xdxx

π π

∫

0

tan cos 2

x dxx

∫

4

01 cos 2

xdxx

0

15

x x + dx

∫

10 2 1

lg

x xdx

∫

2 1

ln

e

xdxx

∫

1

ln1

e

e

xdx

x +

∫

2 2 1

ln 1 x

dxx

+

∫

3 3 1

ln

e

x dx x

1 ln 1

ln sincos

xdxx

π

π

∫

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn

1 2 2 0

ln11

xdxxx

1

dxx

sin cosx xln cosx dx

( 1)

u x

x dxdv

π

++

∫

( )1 cos 4

++

∫

( )1 cos 2

0

1 sinln

1 cos

x

x

dxx

++

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn Tìm x > sao cho 0

1 2

2 0

1( 1)

x

t edx

−

++

∫ 2 sin sin 3 cos 51 x

dxe

π

π

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn

2

3 0

y x

xy

y e

y ex

3 60; 4

4 2

xy

xy

1

xx

88

y xxy

yx

2727

y xxy

yx

x

y ex

0,2

xy

xy

π π

Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt http://www.maths.vn Thể tắch khối tròn xoay ựược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ựường sau quay quanh trục Ox

112

yxxy

;2

y x xy