Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u=ϕ x vào kết quả tìm được.. Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu ux và vx là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức
Trang 1Bảng các tích phân cơ bản
ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự
1
1
n
n
+
+
1
ln
∫
e dx e = + C
∫
ln
x
a
∫
sin x dx = − c x C os +
∫
os sin
c x dx = x C +
∫
os
dx
x C
∫
sin
dx
x C
x = − +
∫
1
1
n
n
+
+
1
ln
∫
e du e = + C
∫
ln
u
a
∫
sin u du = − c u C os +
∫
os sin
c u du = u C +
∫
( 2 )
os
du
( 2 )
sin
du
Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh:
1. ln tan 2
sin
x
dx
C
∫
Chưng minh:
Đặt
2 2
2
x c
( 2)
1 1 2
dt = + t dx
Ta có công thức lượng giác sau:
Trang 22 2 2 2
2sin os 2 tan
1
c t
c
2 2
2 1
ln ln tan 2
sin
1
x
dt t
t
t
+
+
os
x
dx
C
c x
π
∫
Chứng minh:
Ta có os sin
2
c x = x + π
Làm tương tự bài trên:
Đặt
2 2
x c
π
( 2)
1 1 2
dt = + t dx
( 2)
2
2 1
2
1
dt t
t
t
π
+
Trang 33. 2 2 1
ln 2a
C
+
Chứng minh:
2a
dx
dx
a x
a x
+
−
ln 2a
C
−
Chứng minh:
2a
dx
dx
x a x a x a
x a
x a
−
+
2dx 2 ln x x a C a , 0
+
∫
Chứng minh:
Đặt u = + x x2 + a2
+
u
+
Trang 46 2 2
−
∫
Chứng minh:
Đặt u = + x x2 − a2
−
u
x a
−
x + Adx = x + + A x + x + + A C
∫
Chứng minh:
2
+
2
2
x
+
2 2
2
+ −
+
∫
2
dx
+
Trang 52 2 2
2 ∫ x + Adx x x = + + A A ln x + x + + A C
x + Adx = x + + A x + x + + A C
∫
Các phương pháp tính tích phân:
Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến
Đổi biến dưới dấu tích phân
Cần tính tích phân ∫ f x dx( ) Giả sử có thể tìm được hàm khả vi u = ϕ ( ) x và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân ∫ f x dx ( ) có thể viết dưới dạng:
[ ] '
( )
( ) ( ) ( ) ( )
u x
ϕ
ϕ
=
Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến u = ϕ ( ) x
dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới u = ϕ ( ) x .
Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến u = ϕ ( ) x là việc tính tích phân ∫ f x dx( ) được đưa đến tí ch phân ∫ g u du ( ) , thường đơn giản hơn tích phân ban đầu Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u=ϕ( )x vào kết quả tìm được
Phương pháp tính tích phân từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn
( ) ( )' ( ) ( ) '( ) ( )
b a
u x v x dx = u x v x − u x v x dx
Hay
.
b a
udv u v = − vdu
Giải thích:
Trang 6Ta có: dv v dx = ' ,
'
du u dx =
Một sô cách tính hay biến đổi tích phân
Biến đổi lượng giác
Nếu tích phân có chứa căn thức a2 − x2 thì đặt x = asint, do đó
2 2 a cos
a − x = t , dx a = cos d t t
Nếu tích phân có chứa căn thức x2 + a2 thì đặt x = atant, do đó
cos
a
os
a dt dx
=
