Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H I/ C«ng thøc nguyªn hµm : Nguyªn hµm cđa c¸c hµm sè c¬ b¶n Nguyªn hµm cđa hµm hỵp ( du = u dx )’ dx x c = + ∫ 1 1 x x dx c α α α + = + + ∫ sin xdx cosx c= − + ∫ sincosxdx x c= + ∫ 2 1 tandx x c cos x = + ∫ 2 1 cot sin dx x c x = − + ∫ 1 lndx x c x = + ∫ x x e dx e c= + ∫ ln x x a a dx c a = + ∫ (a>0) 2 1 1 dx c x x − = + ∫ 1 2dx x c x = + ∫ tan lnxdx cosx c= − + ∫ cot ln sxdx inx c= + ∫ du u c= + ∫ 1 1 u u du c α α α + = + + ∫ sin cosudu u c= − + ∫ cos sinudu u c= + ∫ 2 1 tandu u c cos u = + ∫ 2 1 cot sin du u c u = − + ∫ 1 lndu u c u = + ∫ u u e du e c= + ∫ ln u u a a du c a = + ∫ (a>0) 2 1 1 du c u u − = + ∫ 1 2du u c u = + ∫ tan ln cosudu u c= − + ∫ cot ln sinudu u c= + ∫ II/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n : A. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) B. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì : ( ) 0 b a f x dx = ∫ • Tính chất 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ • Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;a b thì: ( ) b a cdx c b a= − ∫ GV: Ph¹m Xu©n Trung. 1 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H • Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ • Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b và [ ] ( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥ ∫ ∫ • Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤ − ∫ • Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b thì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ • Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ • Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ] ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa là : ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ 1, Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc . VÝ dơ1: tÝnh 2 cos xdx ∫ dïng ct h¹ bËc 1 2 2 2 cos a cos a + = 1 2 2 2 cos a sin a − = 2 tan xdx ∫ dïng ct 1 2 cos α = 1+ tan 2 α 1 1 3 dx x x+ − + ∫ ; 2 1 1 3 dx x x+ − − ∫ dïng c¸ch nh©n liªn hỵp . 5cosx cos xdx ∫ ; .sin 5cosx xdx ∫ dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng 2 2 3 2x x dx − − − ∫ ; ( ) 2 1 2 1x x dx − − − ∫ chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt® 3 0 1 sin 2 2 x cos xdx Π ± ∫ cã 1 sin 2 cos 2 2 x x cos x cos sinx x± = ± 2 5 2 5 3 x dx x x − − + ∫ t×m A,B sao cho 2 5 2 5 3 1 2 3 x A B x x x x − = + − + − − 2 3 2 5 sinx cosx dx sinx cosx − + ∫ t×m A,B sao cho 2 3 (2 5 ) (2 5 )sinx cosx A sinx cosx B cosx sinx− = + + − GV: Ph¹m Xu©n Trung. 2 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H 3 2 2 6 tan cot 2x x dx Π Π + − ∫ 2 0 1 2 cos dx sinx x Π + − ∫ cã 2 cos 2(1 cos( )) 4 sinx x x Π + − = − + VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau: 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 3) 1 0 x 1 xdx− ∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 8) 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ 9) 4 2 0 1 sin2x dx cos x π + ∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin2x cos2x dx sin x cosx π π + + + ∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+ − 0 2 2 32 4 dx xx 18) ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx VÝ dơ3: 1) 3 2 3 x 1dx − − ∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ 5) 3 x 0 2 4dx− ∫ 6) 0 1 cos2xdx π + ∫ 7) 2 0 1 sin xdx π + ∫ 8) dxxx ∫ − 2 0 2 VÝ dơ4: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4= ∫ 2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + = ∫ 2, Ph ¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I D¹ng 1: 2 2 a x dx− ∫ 2 2 1 a a dx a x − − ∫ 2 2 2 x a x dx− ∫ §Ỉt x = a.sint ( hc x = a.cost ) dx = a.cost.dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau a, 2 2 2 4 x dx − − ∫ b, 1 2 1 1 1 dx x − − ∫ c, 1 2 2 1 1x x dx − − ∫ d, 1 2 0 2x x dx− ∫ D¹ng 2: 2 2 1 a a dx x a − + ∫ 2 2 a x dx+ ∫ GV: Ph¹m Xu©n Trung. 3 Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH Đặt x = a.tant dx = a(1+ tan 2 t ).dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính Ví dụ: tính các tích phân sau a, 2 2 2 1 4 dx x + b, 1 2 1 1 x dx + c, 1 2 1 1 1 dx x x + ( hoặc mẫu là bậc 2 vô nghiệm) Tớnh caực tớch phaõn sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx 2) 2 5 0 cos xdx 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x + 4) 1 3 2 0 x 1 x dx 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx + 6) 4 4 0 1 dx cos x 7) e 1 1 ln x dx x + 8) 4 0 1 dx cosx 9) e 2 1 1 ln x dx x + 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx 11) 6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x + 12) 3 4 0 tg x dx cos2x 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x + + 14) + 2 0 22 sin4cos 2sin dx xx x 15) + 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) + 2 0 2 )sin2( 2sin dx x x 17) 3 4 2sin )ln( dx x tgx 18) 4 0 8 )1( dxxtg 19) + 2 4 2sin1 cossin dx x xx 20) + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx 21) + 2 0 cos1 cos2sin dx x xx 22) + 2 0 sin cos)cos( xdxxe x 23) + 2 1 11 dx x x 24) + e dx x xx 1 lnln31 25) + 4 0 2 2sin1 sin21 dx x x 3, Ph ơng pháp 3: Đổi biến loại II. Đặt t = U(x) ( U(x) thờng là các biểu thức trong căn, trong luỹ thừa) dt = U.dx ' dt dx U = đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính. Ví dụ: tính các tích phân sau: a, 2 2 0 1 a dx x a đặt t = ln ( 2 2 x x a+ ) dt = 2 2 dx x a GV: Phạm Xuân Trung. 4 Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dông cña tÝch ph©n. LT§H b, 5 3 2 1 1 x dx x − ∫ hoÆc 5 2 1 1 1 dx x x − ∫ ®Æt t = 2 1x − c, 2 2 1 1 x dx x + ∫ ®Æt t = 1x + d, 7 3 0 1x dx x + ∫ ®Æt t = 3 1x + e, 2 5 1 2 1 x dx x +    ÷ +   ∫ hoÆc 3 1 2 1 x dx x + + ∫ ta cã 2 1 1 1 1 x x x + = + + + ®Æt t = 1 1 1x + + f, 2 3 1 1 2 1 2 1 dx x x+ − + ∫ ®Æt t = 6 2 1x + g, 1 2 1 3 2 5 x dx x x − + − + ∫ cã 2 2 1 (2 2) 4 3 2 2 5 2 5 x x x x x x − + + = − + − + h, 2 2 3 0 sin .x cos xdx Π ∫ ®Æt t = sinx k, 4 3 0 tan xdx Π ∫ hoÆc 4 4 0 1 cos dx x Π ∫ ®Æt t = tanx l, 3 2 2 0 cos .sin sin 1 x x dx x Π + ∫ hoÆc 2 3 2 0 cos .sin sin 1x x x dx Π + ∫ ®Æt t = 2 sin 1x + 2 2 2 0 sin 2 4sin 9 s x dx x co x Π + ∫ ®Æt t = 2 2 4sin 9 sx co x+ m, 2 0 cos 3. cos x dx sinx x Π ± ∫ cã cos 2sin( ) 3 cos 3. cos x x x sinx x Π ± = ± ®Æt t = 3 x Π ± 5 2 3 2 cos 2 cos 3. x dx x sinx Π Π − ∫ n, 2 2 2 0 3s 4cos 3 4 cos inx x dx sin x x Π + + ∫ 0, 3 2 4 tan 1 x dx cosx cos x Π Π + ∫ ; 2 3 2 4 1 tan (1 t ) x dx anx Π Π + + ∫ ; 2 3 0 5 4 n ( n ) cosx si x dx cosx si x Π − + ∫ ®Æt t = tanx p, ln 2 0 x x x x e e dx e e − − + − ∫ ®Æt t = e x q, ln 2 2 0 1 1 x dx e+ ∫ ®Æt t = 1+e 2x GV: Ph¹m Xu©n Trung. 5 Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH t, 3 2 1 ln ln 1 e x x dx x + đặt t = 3 2 ln 1x + Tớnh caực tớch phaõn sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx 2) 2 5 0 cos xdx 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x + 4) 1 3 2 0 x 1 x dx 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx + 6) 4 4 0 1 dx cos x 7) e 1 1 ln x dx x + 8) 4 0 1 dx cosx 9) e 2 1 1 ln x dx x + 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx 11) 6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x + 12) 3 4 0 tg x dx cos2x 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x + + 14) + 2 0 22 sin4cos 2sin dx xx x 15) + 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) + 2 0 2 )sin2( 2sin dx x x 17) 3 4 2sin )ln( dx x tgx 18) 4 0 8 )1( dxxtg 19) + 2 4 2sin1 cossin dx x xx 20) + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx 21) + 2 0 cos1 cos2sin dx x xx 22) + 2 0 sin cos)cos( xdxxe x 23) + 2 1 11 dx x x 24) + e dx x xx 1 lnln31 25) + 4 0 2 2sin1 sin21 dx x x 4, Ph ơng pháp 4: Tích phân từng phần b b b a a a udv uv vdu = Dạng 1: ( ). b a f x cosxdx hoặc ( ).s b a f x inxdx Đặt ( ) . or . u f x dv sinx dx dv cosx dx = = = Ví dụ: tính các tich phân sau. 3 0 . 2x cos xdx 3 0 (2 1). 2x cos xdx 3 2 0 .x cos xdx 3 2 0 (2 ).sinx x xdx GV: Phạm Xuân Trung. 6 Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH Dạng 2: ( ). b x a f x e dx hoặc ( ). b x a f x a dx Đặt ( ) . or . x x u f x dv e dx dv a dx = = = Ví dụ: tính các tich phân sau. 2 0 . x x e dx 2 0 (2 1). x x e dx ( ) 2 0 3 . x x a dx 1 2 0 (2 ). x x x e dx Dạng 3: . b x a e cosxdx hoặc .s b x a e inxdx Đặt . or . x u e dv sinx dx dv cosx dx = = = phải đặt 2 lần tích phân từng phần Ví dụ: tính các tich phân sau. 3 0 . 2 x e cos xdx 3 0 (2 1).sin 2 x e xdx 3 2 0 . x e cos xdx 2 0 1 sin 1 x x e dx cosx + + Dạng 4: ( ).ln b a f x x dx hoặc ln ( ) b a f x dx Đặt ln or u ln ( ) ( ). or u x f x dv f x dx dv dx = = = = Ví dụ: tính các tích phân sau. 3 0 .lnx xdx 3 0 (2 1).ln 2x xdx 3 2 0 .lnx xdx 3 3 2 0 1 . n x l xdx x + 3 0 ln( 1)x x dx + 3 2 0 ln( 1)x x dx + Bài tập: Tớnh caực tớch phaõn sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx 2) 2 5 0 cos xdx 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x + 4) 1 3 2 0 x 1 x dx 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx + 6) 4 4 0 1 dx cos x 7) e 1 1 ln x dx x + 8) 4 0 1 dx cosx 9) e 2 1 1 ln x dx x + 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx 11) 6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x + 12) 3 4 0 tg x dx cos2x GV: Phạm Xuân Trung. 7 Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x + + 14) + 2 0 22 sin4cos 2sin dx xx x 15) + 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) + 2 0 2 )sin2( 2sin dx x x 17) 3 4 2sin )ln( dx x tgx 18) 4 0 8 )1( dxxtg 19) + 2 4 2sin1 cossin dx x xx 20) + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx 21) + 2 0 cos1 cos2sin dx x xx 22) + 2 0 sin cos)cos( xdxxe x 23) + 2 1 11 dx x x 24) + e dx x xx 1 lnln31 25) + 4 0 2 2sin1 sin21 dx x x 5, Một số tích phân đặc biệt khác . VD1: Tính . a, 2 2 n . 1 x l x dx e + b, 2 3 3 1 x x cosx dx e + c, 3 3 tan 6 1 x x x dx + HD: 2 0 2 1 2 2 2 0 n n n . . . 1 1 1 x x x l x l x l x dx dx dx I I e e e = + = + + + + đặt t = -x I 1 = 2 2 0 0 n n . . 1 1 t x t x e l t e l x dt dx e e = + + I= 2 0 nl x dx VD2: Tính . 2 0 sin 4 x dx cos x + đặt t = x VD3: Tính a, 2 2 10 1 (2 )x x dx b, 3 3 100 0 (3 )x x dx VD4:Tích phân hàm số lẻ. ( ( ) 0 a a f x dx = ) Tính . a, 2 3 2 2 tanx xdx b, 3 3 2 3 ln ( 1)x x dx + + c, 5 3 3 2 3 1 1 x x x dx x + + VD5: C/m. 2 2 0 0 (sin ) ( )f x dx f cosx dx = áp dụng tính 6 2 6 6 0 sin sin cos x dx x x + 2 0 sin sin cos x dx x x + VD6: Giải a, 4 0 3 (4sin ) 0 2 t x dx = b, 3 4 2 ln ln 1 2 x x x e dt dt t t + < GV: Phạm Xuân Trung. 8 Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH 6/ Các ứng dụng của tích phân: Tính diện tích- Thể tích- C/m đẳng thức niwtơn. A: Tính diện tích . b a S = f(x) dx Nếu S ={y=f(x), y=0} b a S = f(x)- g(x) dx Nếu S ={y=f(x), y=g(x)} Note: - phải giải PT g(x)=f(x) hoặc f(x)=0 tìm cận x=a,x=b - nếu S ={y=f(x), y=g(x), y=h(x)} ta phải tìm giao của các h/s trên tìm cận, sau đó tính S=S 1 +S 2 +S 3 . Ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 ; 5 , 2 2; 2 , 8 16; 24 48 27 , ; ; 27 , ; 8 2 3 f,y=(2+cosx)sinx;y=0;x= ;x= 2 2 a y x y x b y x y x c y x y x x d y x y y x x e y x y = = = = = + = = + = = = + = B: Tính thể tích . b 2 x a V = y dx ; 2 ( )f y b y a V = dy Nếu V ={y=f(x), y=0} b 2 2 x a V = f (x)- g (x) dx ; b 2 2 y a V = f (y)- g (y) dy Nếu V ={y=f(x), y=g(x)} Note: - phải giải PT g(x)=f(x) hoặc f(x)=0 tìm cận x=a,x=b - nếu V ={y=f(x), y=g(x)} ta phải tìm giao của các h/s trên tìm cận, sau đó tính V=V 1 - V 2 Ví dụ: tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi. 4 4 2 2 2 2 2 2 , khi cos ; 0; ; 2 , khi 1; 1 , ; khi (x-2) ( 3) 1 , ; khi 2 ;0 ( 4) , ; khi 1 4 16 f, ; khi y= x-1;y=2;0x;0y x x x y x y x y x y a V y sin x x y x x b V y x y x c V V y d V V y x x x x y e V V V V = + = = = = + = + + = = + C : c/m đẳng thức Niwtơn . GV: Phạm Xuân Trung. 9 ( gồm 2 phần) Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH Công thức Niwtơn: (a b) n = 0 1 1 2 2 1n n n n n n n n n n n a a b c c c (-1) c + (-1) c 2 n-1 b + a b .+ ab n-1 n Ví dụ: chứng minh các đẳng thức hoặc tính các tổng sau. 1 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 19 19 19 19 19 0 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 2 , 1 1 , 3 6 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b S c S d S e S f S + + = + = = = = + = + n n n 2 1 a, 1 + + . 3 n 1 1- + - . 3 n 1 1 + + . 4 6 2n 1 1 + - .- 3 4 21 1 1 .2 + .2 + . 2 3 n 1 + 9 1 c c + c +1 (-1) c c + c +1 (-1) c c c + c + 2 1 c c c c c c c + c +1 c c 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 4 2 2 2 2 2 2 1 , 2 , n n n n n n n n n n n n g S h S = + = + 3 2n+ + . 3n 2 -1 1 + + . 3 2n 1 1 + + . 3 5 2n 1 1 + c + 3 2 -1 c c + c +1 1 c c c + c +1 HD: Sử dụng 1 2 0 (1 ) n x x dx hoặc 1 0 (1 ) n x dx hoặc 1 1 (1 ) n x dx để c/m GV: Phạm Xuân Trung. 10 . 1 a, 1 + + . 3 n 1 1- + - . 3 n 1 1 + + . 4 6 2n 1 1 + -. . .- 3 4 21 1 1 .2 + .2 + . 2 3 n 1 + 9 1 c c + c +1 (-1 ) c c + c +1 (-1 ) c c c + c + 2 1 c. a V = f (x )- g (x) dx ; b 2 2 y a V = f (y )- g (y) dy Nếu V ={y=f(x), y=g(x)} Note: - phải giải PT g(x)=f(x) hoặc f(x)=0 tìm cận x=a,x=b - nếu V ={y=f(x),