Bài soạn ứng dụng tích phân

Người ta tính thể tích của một con tàu như thế nào ?... Bài 6:THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY I.. Tính thể tích của một vật thể.. Thể tích khối chóp cụt.. a bO Đặt khối chóp sinh ra khối chóp

KIỂM TRA BÀI CŨ

? Em hãy nêu công thức và cách tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) liên tục trên

đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a ; x = b



b a

dx x

g x

f ( ) ( ) S

)

(x f

y 

)

(x g

y 

)

(x

f

y 

)

(x

g

y 

KIỂM TRA BÀI CŨ

? Em hãy tính diện tích phần gạch sọc ?





2

0

.dx

x S

x

y 

3

2 4

2 0

) 3

2 ( 2

3



S

? Bây giờ ta cho đường cong quay quanh trục Ox em sẽ được một khối tròn xoay ? Hãy tính thể tích khối tròn xoay đó?

? Tính diện tích các khối tròn xoay ?

Người ta tính được lưu lượng dòng chảy như thế nào ? Người ta tính thể tích của một con tàu như thế nào ?

Nhắc lại công thức tính thể tích của một số khối trong không gian

h B

3

1



h R

V

3





h R

V 2.





) (

3

r Rr

R h

3

3

4

R

Bài 6:

THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

I Tính thể tích của một vật thể

Bài toán:

I.1 Thể tích khối chóp cụt.

I.2 Thể tích khối chóp

II Thể tích khối tròn xoay

II.1 Khối chỏm cầu.

II.2 Khối nón cụt

II.3 Khối nón.

II.4 Khối trụ

a x b

Cho vật thể trong không gian Oxyz Gọi B là phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a, b

như hình vẽ

Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x [a; b]

Giả sử S(x) là một hàm

liên tục trên đoạn [a; b]

Thể tích của vật thể là:  

b

a

dx x

S

1 Thể tích của một vật thể

a b

O

Thể tích khối chóp cụt.

)

.(

3

1 )

( x dx h S0 S0S1 S1

S

a







 

h: chiều cao.

S 0 : diện tích đáy nhỏ

S 1 : diện tích đáy lớn

V: thể tích khối chóp cụt

công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h , diện tích đáy B:

B h

3 1

a b

O

Đặt khối chóp (sinh ra khối chóp cụt) có đường cao trùng với

trục Ox và đỉnh trùng với gốc O.

S(x): thiết diện tại điểm có

hoành độ x thuộc đoạn [a; b]

vuông góc với trục Ox.

2 2

1

)

(

b

x S

x

S



Theo tính chất đồng dạng ta luôn có:

)

.(

3 1

) (

1

1 0 0

2

2

b

x S

dx x

S V

b

a

b

a















2

2 1

0

) (

b

a S

a S S





với

2 Thể tích khối tròn xoay :

Cho hàm số y = f(x) liên tục, và không âm trên đoạn [a; b].

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x =a; x= b khi quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn

xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức:





b a

dx x

f



O R - h

2

2 x R

R

Thể tích khối chỏm cầu

) 3

.(

R h

Trong mặt phẳng Oxy, xét hình phẳng giới hạn bởi cung tròn tâm O bán kính R có phương trình , trục hoành và đường thẳng x = R – h (0 < h ≤ R) Quay hình phẳng đó quanh trục Ox ta thu được khối chỏm cầu bán kính R, chiều cao h.

2

2 x R

y  

Thể tích của khối chỏm cầu được tính theo công thức:

Chứng minh:

Thể tích của khối chỏm cầu:

) 3

(

) 3

(

).

( ).

(

2

3 2

2 2

2

h R

h

x x

R

dx x

R dx

x f

V

R h R

R

h R

b

a































? Em hãy nêu công thức tính thể tích khối cầu bán kính R ?

3

3

4

R

V  

h = …

?

x

y 

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, Ox và các

đường thẳng x = 1, x = 2 khi quay quanh Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi đường cong

y = x 2 , Ox và các đường thẳng

x = 1, x = 2 khi đường cong này quay quanh Ox được tính theo công thức:









2

1

2 2

2

) (

).

(

dx x

dx x

f V

b a





Cho đường cong có phương trình x = g(y), trong

đó g là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [c; d]

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = g(y) , trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay

T ương tự

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức:





d c

dx y

g



R r

Thể tích khối nón cụt

Thể tích khối nón cụt

Cho khối nón cụt có chiều cao h, bán kính đáy lớn

và đáy nhỏ lần lượt là R và r

Thể tích của khối nón cụt là:

) (

3

r Rr

R h

 Khi r = 0 khối nón cụt trở thành ……… có thể tích:

2

.

3

1

R h

 Khi r = R khối nón cụt trở thành ……… có thể

.

R h

CỦNG CỐ





?

?

?

V   

b

a

dx x

f

V 2( ).



Em hãy nêu công thức để tính diện tích các hình vẽ sẵn ?

?

?

?

S  

Em hãy nêu công thức để tính thể tích các khối theo hình vẽ ?

( )

b

a

S   f x dx

CỦNG CỐ





?

?

?

2

2 1

( ).



 

Em hãy nêu công thức để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho đường cong x = f(y) quay xung quanh trục Oy như hình vẽ ?