DAI SO 11 NC HKII

+ Kĩ năng: -Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản.. MỤC TIÊU + Về kiến thức: Giúp học sinh - Có một cách nhìn nhận m

Tuần 20

Tiết PP: 49, 50, 51 CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I MỤC TIÊU

+ Kiến thức: Giúp cho học sinh

- Có khái niệm về suy luận quy nạp;

-Nắm được phương pháp quy nạp toán học

+ Kĩ năng:

-Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản

+ Thái độ, tư duy:

-Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi

-Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán

II.CHUẨN BỊ:

- Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.

- Học sinh: đọc trước bài ở nhà.

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

+ Ổn định lớp : Kiểm tra sỉ số, tác phong của hs

+ Kiểm tra bài cũ: Không kiểm tra

+ Bài mới:

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng

1 Hãy kiểm tra với n =

1, 2 ?

2 Cm n=3 (1) đúng

3 có thể thử với mọi n

không?

- Tuy nhiên dựa vào lập

luận trên ta có thể đưa

1 Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có:

3

) 2 )(

1 ( ) 1 (

3 2 2

(1)

Khái quát: Ta có thể c/m được

mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1

Giái bài toán trên:

+ n = 1: 1=1 (đúng)

+ Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương)

3

) 2 )(

1 ( ) 1 (

3 2 2

k k

3

) 3 )( 2 )(

1 ( ) 2 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 (

) 2 )(

1 ( ) 1 (

3 2 2 1

+ + +

= + + + + +

= + + + + + + +

k k k k

k k

k k

k k k

1 2

2( 1)2 4

* HS chứng minh H2

- 1 HS lên bảng cm

- Các Hs khác nhận xét

3 2 1

2 2

3 3

4

) 1 (

) 1 ( 4

) 1 ( ) 1 (

3 2 1

2 2

2 2

3 2

2 3 3

3 3 3

+ +

= + + +

=

+ + +

= + + + + + +

k k k

k k

k k

k k

* HS cm vd4

Với n = 3 ta có: 8 > 7 đúng

Với n = k ta có: 2k >

2k + 1Với n = k +1 ta CM:

- 2k+1 > 2(k+1) +1Thật vậy:

2k+1=2.2k>2(2k+1)=

4k+2>2k+3>2(k+1)+1( vì k ≥ 3)

CMR ∀n∈N* , ta luôn có:

12 + 32 + 52 + +(2n−1)2 =

3

) 1 2 4

- 1 hs cm bài toán

- HS nhận xét bài làm của bạn

* HS theo dõi đề btấp 2

n

(1)Giải:

+ n = 1 ta có: 1 =

2

) 1 1 (

Vậy (1) đúng với n = 1 (*)+ GS (1) đúng với n = k ta có:

1 + 2 + 3 + + k =

2

) 1 (k+

k

Chứng minh (1) đúng` với n = k +

1 Túc 7 là c/m: 1 + 2 + 3 + + (k +1)=

2

) 2 )(

1 (k+ k+

Thật vậy:

VT = 1 + 2 + 3 + +k + (k +1) =

2

) 1 (k+

k

+(k +1) =

2

) 2 )(

1 (k+ k+

= VP

* HS theo dõi đề btấp 3

- 1 hs cm bài toán

- HS nhận xét bài làm của bạn

− HS chú ý lắng nghe

* HS theo dõi đề btấp 6

- 1 hs cm bài toán

- HS nhận xét bài làm của bạn

22 +4 2 + + (2n)2 =

3

) 1 2 )(

1 (

Bài 3 SGK/100

CMR ∀n∈N* , ta luôn có:

n n

1 1

1

11

2

11

++

<

+++++

k

k k

k

11

111

1)1(2

+

=+

+++

<

+

++

k

k k k

k k VP

11

2

12

1

3

12

1

+

++++++

1 1 2

1 2

1

3

1 2

1 1

1

+

− +

+ + + + + +

+ +

+ +

=

k k k

k k

k k

24

13 ) 1 2 )(

1 ( 2

1 2

1

3

1 2

1 1

+ + + + + +

+ +

+ +

=

k k k k

k k

Bài 6 SGK/100

CMR ∀n∈N* , un = 7.22n − 2 + 32n − 1 chia chia cho 5

Giải:

Với n = 1 ta có : U1 = 7 + 3 = 10 

5Với n = k ta có: uk = 7.22k − 2 + 32k − 1

Cm với n = k +1uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 +

32k-1+2 =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5

IV CỦNG CỐ, DẶN DÒ:

- Phương pháp quy nạp và cách cm bài toán bằng pp quy nạp toán học

- Xem lại bài và làm các bài tập SGK/100

Tuần 21

I MỤC TIÊU

+ Về kiến thức: Giúp học sinh

- Có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số

- Hiểu được khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi (còn gọi là dãy số hằng), dãy

số bị chặn

- Nắm được các phương pháp đơn giản khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của một dãy số

+ Về kỹ năng: Giúp học sinh

- Dựa vào định nghĩa để cho ví dụ về dãy số

- Tìm được một số hạng nào đó của một dãy số đơn giản cho trước

- Biết vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản

- Biết cách khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của các dãy số đơn giản

+ Về tư duy, thái độ.

- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự

- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

+ Kiểm tra bài cũ:

Chứng minh ∀ n ∈ N, un = 13n – 1 chia hết cho 6

1

;4

1

; … (1)

Một học sinh đứng dậy trả lời

ở dãy số (1) là số

251

1

;4

1

; … (1)

1;

)2(3 ;

Hãy điền số còn thiếu vào chỗ trốngĐịnh nghĩa 1: SGK

- Viết ví dụ lên bảng - Theo dõi câu hỏI

- Yêu cầu học sinh trả

- Dãy số này có 5 số hạng

Cho hàm số :U(n)=n3xác định trên tậpM={1,2,3,4,5,6} Viết dạng khai triển của dãy số này

- Từng học sinh giải bài tập

- Một học sinh lên trình bày

1,

13

5

;17

8

;5

3

;5

4

;1

2,

5

1

;0

;3

1

;0

;

b/ Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của

mỗi dãy số được cho bởi công thức của số hạng tổng quát sau:

2; Un =

n

n

2sin ∏

- Theo dõi hoạt động

của Học sinh

- Nhận xét các câu trả

lời, chính xác hóa nội

c/ Hãy tìm công thức của số hạng

tổng quát của mỗi dãy số được cho dưới dạng khai triển dưới đây

- Cử đại diện lên trình bày

1

;4

1

;21

- Theo dõi hoạt động

của HS

- Các nhóm theo dõi bài giải trên bảng và nhận xét

U2 = 3,02 = 3+0,02 = 3+ 2

102

⇒ Un = 3 + n

102

- Theo dõi và ghi nhớ

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức

- Thảo luận tìm hiểu dãy số

- Tri giác phát hiện vấn đề

- Nhận biết khái niệm mới

- Hs suy nghĩ, xác định tính tăng, giảm

3 Dãy số tăng, dãy số giảm:

ĐỊNH NGHĨA 2:

Dãy số ( )u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n <u n+ 1 Dãy số ( )u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n >u n+ 1

Ví dụ 6: (SGK)a) Dãy số ( )u n với u n =n2 là dãy

2

2 ( 1), = < + = +

u n

( )u n :u n =( )−1n n?

- Gọi Hs trả lời

- Gv sửa lại cho chính

xác, dãy số như vậy

gọi là dãy số không

tăng cũng không giảm

H Đ5: Hãy cho một

ví dụ về dãy số tăng,

dãy số giảm và một ví

dụ về dãy số không

tăng cũng không giảm

- Gv theo dõi Hs, đưa

1,

hiểu rõ khái niệm

mới qua vd7 trong

SGK

- Yêu cầu mỗi nhóm

tự cho 1vd đơn giản

về các khái niệm này

rồi trao đổi có sự

- Hs suy nghĩ, có thể thảo luận theo từng nhóm

- Đại diện nhóm lên bảng trình bày Các Hs còn lai theo dõi và nhận xét

- Hs suy nghĩ và trả lời

- Hs tiếp nhận khái niệm mới

- Hs tiếp nhận và dần hiểu rõ tính bị chặn

- Hs suy nghĩ và thảo luận theo nhóm

- Đại diện từng nhóm lên trình bày, các Hs còn lại theo dõi và nhận xét

4 Dãy số bị chặn:

ĐỊNH NGHĨA 3:

a) Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ∀n∈N*,u n ≤M

.b) Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho ∀n∈N*,u n ≥m

.c) Dãy số (u n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số M và

M u m N

- Ôn lại kiến thức đã học ở bài này

+ Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

+ Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn

- Làm bài tập trang 105 SGK

Tuần 21, 22

Tiết : 54, 55 Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

I MỤC TIÊU:

+ Kiến thức: Giúp cho học sinh

- Nắm được khái niệm cấp số cộng;

- Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng

- Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên

+ Kĩ năng:

- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng

- Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu

- Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế

+ Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi

- Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế

II CHUẨN BỊ:

+ Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT

+ Học sinh: đọc trước bài ở nhà

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

+ Ổn định tổ chức:

+ Kiểm tra bài cũ:

- Nêu các tính chất của dãy số

- Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số: (3n+1); n

a) Là CSC có d= 2 và u1=0

ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là CSC ⇔u n =u n-1 + d, ∀n ≥ 2.

+ d không đổi gọi là công sai

+ Kí hiệu CSC: ÷u1, u2, u3, …, un, …

Ví dụ 2:

a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, …b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12

+ Tính uk-1, uk+1 theo

+ Giả sử A≤B≤C, ta có:

C A B C

C B A

2 90

180 0

0

⇒A=300; B=600 và C=900

vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC Tính 3 góc đó

un=u1+(n-1)d

Chứng minh lại bằng quy nạp

sinh tính tiền lương

sau n năm theo 2

2

)(u1 u n

12

13 1

2

3136

.2

1

+

=

−+

5,13222

5,0.147.24

2 1

2

n

n T T

n n n

n T

viết công thức un.

+ Biểu diễn um, uk qua

++

=+

k k k

u u k u

S S

Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5

Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết:

8

7 2

3 7

u u

u u

Bài 3: Bốn số lập thành CSC Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166 Tìm

4 số đó (ĐS: 1, 4, 7, 10)

Tuần 22, 23

I MỤC TIÊU:

+ Về kiến thức : Giúp học sinh :

- Nắm vững khái niệm cấp số nhân ;

- Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ;

- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

+ Về kĩ năng : Giúp học sinh :

- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ;

- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các trường hợp không phức tạp ;

- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số

nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống

+ Về tư duy và thái độ :

Biết khái quát hoá , tương tự Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

II CHUẨN BỊ:

+ Giáo viên : SGK , Giáo án Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán

mở đầu và

bài toán nêu trong mục Đố vui

+ Học sinh : Học thuộc bài cũ Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

ngân hàng nói trên và

giả sử lãi suất của

+ Bài toán mở đầu:

+ Với mỗi số nguyên dương n ,ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể

từ ngày gửi Ta có :

u 1 = 10 7 1,004 ;

u 2 = u 1 1,004 ;

u 3 = u 2 1,004 ;

u n = u n - 1.1,004

sau , kể từ ngày gửi ,

b) Cùng câu hỏi như

trên , với thời điểm

u n = u n - 1 + u n - 1.0,004 =

u n -1.1,004 Tổng quát , ta có :

u 12 = ? u 11 = 1,004+ Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004

b) không là cấp số nhân c) là cấp số nhân , công bội q = 0

+ Trả lời theo yêu cầu của giáo viên

+ Nếu (u n) CSN thì u k2 =

u k - 1 u k +1 , (∀ ≥k 2)+ u k = u k - 1 q (k≥ 2)

u u q

+

=

(k≥2

)Nhân các vế tương ứng, ta

Nếu (u n) CSNthì u k = u k - 1 u k +1 , ∀ ≥k 2

u n = u n - 1.1,004 =u 1 (1,004) n - 1 ,∀ ≥n 2

u n = u 1 ( q ) n - 1 ,∀ ≥n 2

Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm

u 6 và u 12 ?

H3 : SGK Tr 119

S n – q; S n = u 1 - u n + 1 =

u 1(1 - q n ) (1 - q) S n = u 1 (1 - q n ) với q ≠1 Suy ra đpcm + Tìm u 1 và q

u 1 = u 4 : u 3 = 2 ; 24 = u 3= u 1 2 2 ⇒ u 1 = 6

S 5 = 186 + Gọi u n là số tiền mà nhà

tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n Ta

có u 1 = 1 và q = 2

30 1

1 10737418231

q u q

c) Sau cuộc mua - bán nhà

tỉ phú "lãi"

300.000.000 - 1.073.741.823

= - 773.741.823 (đ)

4 Tổng n số hạng đầu tiên của một CSN

Nếu (u n) là CSN có số hạng đầu

u 1 với công bội q ≠1 thì S n là :

S n = 1

1.1

n q u q

- Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp.

- Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số

- Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi biết một số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn

+ Về tư duy, thái độ

- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự Biết quy lạ thành quen.

- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

II CHUẨN BỊ:

+ Giáo viên : Giáo án, hệ thống câu hỏi và bài tập minh họa, bảng phụ, đồ dùng dạy học

+ Học sinh: Đọc trước bài ở nhà, đồ dùng học tập

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

+ Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong của học sinh

+ Kiểm tra bài cũ:

Đan xem trong quá trình sửa bài tập

+ Giảng bài mới

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng

* GV đưa ra bài toán

? Gọi hs nhắc lại các

bước chứng minh quy

nạp

- Hs trả lời câu hỏi 1 Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán: Cho p là một số nguyên dương Hãy c/m mệnh đề A(n) đúng với mọi n≥p

Bước 1: CM A(n) đúng khi n=p Bước 2: Giả sử A(n) đúng với n≥k (với k≥p)

1(n2 − n+

n

, ∀n≥ 2 (1)Giải:

Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.22=4; VP(1)=4 suy ra (1)

- HS sữa bài tập

đúngBước 2: Giả sử (1) đúng với n=k (k

≥2), tức là ta có:

1.22+2.32+…+(k-1).k2 =

12

)23)(

1(k2 − k+

k

Ta cần CM (1) cũng đúng n=k+1, tức là:

(1’)Thật vậy:

VT(1’)=

12

)53)(

2_)(

1(k+ k + k+

k

; VP(1’)=

12

)53)(

2)(

1(k+ k+ k+

Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k (k

≥1), tức là ta có: uk= 1 1

2

12

−

− +

k k

Ta cần CM (2) cũng đúng với n=k+1, tức là uk+1= k k

=

2

12

12

1

1+

dãy số - Cho bằng công thức số hạng tổng quát

- Cho bởi hệ thức truy hồi

- Diễn đạt bằng lời+(Un) Tăng<−> un < un+1

2 Ôn tập về dãy số

a Các cách cho dãy số

- Cho bằng công thức số hạng tổng quát

- Cho bởi hệ thức truy hồi

- Diễn đạt bằng lời

+ HS giải bài tập 46

- 1 HS lên chứng minh bài

toán

- 1HS nhận xét bài làm của bạn

HS sữa bài tập

b Dãy số tăng, dãy số giảm + (Un) Tăng <−> un < un+1 <−> un+1 − un >0 <−>

1

)1

+

−

n n

2

)1(

)1(2+

+

n

n n

Sn=u1+u2+….+un

2

)(u1 u n

2

)(u1 u n

= u − u + k

Tổng của n số hạng đầu tiên:

Sn=u1+u2+….+un

)1(

;1

)1(

n n

*Giái và điền vào ô trốngTheo nhóm

Đối với dãy số 1:

-Tính d: Sử dụng công thức: un=u1+(n-1)d

-Tính Sn: Sử dụng công thức

2

)1(

2u1 n d

Suy nghĩ và định hướng giải (theo câu hỏi gợi ý của GV)

Hay: u k = u k−1.u k+1;k ≥2

4 Tổng của n số hạng đầu tiên:

Sn=u1+u2+….+un

)1(

;1

)1(

n n

* Bài tập Bài 1 Hãy điền vào ô trống để hoàn thiện CSC sau đây:

Bài 3:

Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có tổng của chúng

là 7, đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và số hạng thứ 4 của một cấp số cộng Tìm ba

=

=++

032

7

2

y z x

xz y

z y x

z y x

3)Từ mối liên quan

IV CỦNG CỐ, DẶN DÒ:

- Phương pháp chứng minh quy nap toán học

- Cách xác định số hạng tổng quát của dãy số

- Ôn tập lại các kiến thức về CSC và CSN

- HD học sinh ∀ề nhà giải bài tập SGK/124

- Có kĩ năng tính toán, suy luận.

+ Tư duy và thái độ:

- Luyện tập kĩ năng tính toán, làm bài tập trắc nghiệm, bài tập tự luận

+ Xem lại các dạng toán kiểm tra

+ Làm lại các bài làm sai

Tuần 24 CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Tiết: 62, 63 Bài 1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

I MỤC TIÊU

+ Về kiến thức: Giúp học sinh

- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0

- Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

+ Về kỹ năng:

- Biết vận dụng định lí và các kết quả đã nêu ở mục 2) để chứng minh một dãy số có giới hạn 0

+ Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

II CHUẨN BỊ :

+ Giáo viên:

- Soạn giáo án

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | un | như trong SGK

+ Học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

+ Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số,tác phong học sinh, vệ sinh của lớp.

+ Kiểm tra bài cũ: Không kiểm tra

+ Giảng bài mới:

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng

- Biểu diến dãy số:

+ Hs đứng tại chỗ thực hiện hđ1 SGK

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

+ Hs nghe và hiểu cách cm định lí

+ PP: tìm dãy (vn) có giới hạn 0 sao cho | un | ≤ vn

và cử đại diện trình bày.

- HS giải Vd1

- HS giải Vd2

+ Hs phát biểu đlí 2 trong SGK

+ Hs thảo luận theo nhóm

và cử đại diện trình bày

Nếu | u n | ≤ v n với mọi n và lim v n

⇒ Kể từ sô hạng thứ N trở đi, mọi

số hạng của dãy số (u n) đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đã cho trước

- Gọi HS nhắc lại định nghĩa dãy số có giới hạn bằng 0

- Gọi Hs nêu một vài dãy số có giới hạn bằng 0

- Xem lại bài và làm các bài tập SGK/ 130