DE ON HSG TOAN 9.4

Gọi H là chân đ-ờng vuông góc hạ từ A đến đđ-ờng kính BC.

Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-2009

Thời gian : 150 phút không kể thời gian phát đề

Bài 1: Cho ba số x, y, z thõa mãn đồng thời:

x  y y  z z  x 

Tính giá trị của biểu thức: A x 2008y2008z2008

Bài 2: Cho x, y, z là 3 số dơng thỏa mãn: x + y+ z = 4

CMR: x y  y z  z x 4

Bài 3: Giải hệ phơng trình























) 3 )(

7 2 ( ) 7 2 )(

3 (

) 4 )(

2 ( ) 2 (

y x y

x

y x y

x

Bài 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân

đ-ờng vuông góc hạ từ A đến đđ-ờng kính BC

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d

Bài 5: Cho x,y,z R thỏa mãn : x y z x y z









1

Hãy tính giá trị của biểu thức : M =

4

3

+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)

Đáp án Bài 1:

x  y y  z z  x 

(x 1) (y 1) (z 1) 0

Mà: (x1)2 0; (y1)20; (z1)20

1 0

1 0

1 0

x

y

z

 





  



 x  y z 1

Thay x   vào y z 1 A x 2008y2008z2008

Ta đợc A  ( 1)2008 ( 1)2008 ( 1)2008 3

Vậy A = 3

Bài 2:

Ta có: x; y; z > 0 thỏa mãn : x + y+ z = 4

Do đó ta có: x y x y z    4

2

Tơng tự : y z 2 y z (2)

z x 2 z x (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có:

x y y z z x      x y  y z  z x

2(x y z) 2( x y y z z x)

Mà: x + y+ z = 4 thay vào (*) ta đợc:

2( x y  y z  z x ) 2.4  x y  y z  z x  4

Vậy x y  y z  z x  (ĐPCM)4

Bài 3: Giải hệ phơng trình































2 y -2 x

0

21 6 7 2 21 7 6 2

8 4 2 2

) 3 )(

7 2 ( ) 7 2 )(

3 (

) 4 )(

2 ( ) 2 (

y x y x

x y xy x

y xy

x y xy x xy

y x y

x

y x y

x

Vậy nghiệm của hệ: (x; y) = (-2; 2)

Bài 4:

a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có

CB

CH PB

EH

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)

=>  AHC   POB

Do đó:

OB

CH PB

AH

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH

(0,25đ)

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có

O

E A P

)

2 (

2PB

AH.CB 2PB

AH.CB

 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH























Bµi 5:

Ta cã : x  y  z x  y  z

1 1

1 1











z y x z y x















z y x z

z z y x xy

y x

  ( ) 0

0 )

(

0 1

1

2































































x z z y y x

z y x xyz

xy z

zy zx y x

z y x z xy y z

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M =

4

3

+ (x + y) (y + z) (z + x).A =

4 3