Đề ôn HSG toán 9-có đáp án

Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó tại các điểm E và F.

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

Môn Toán 9

Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b

Tính giá trị biểu thức: P = 1 b 1 c 1 a

Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2

a b c   và a + b + c = abc thì ta có

2

a b c 

Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng

2

x y z x y z  

Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1

Chứng minh rằng: a b

abc



 16 Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và

CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F Chứng minh rằng:

AE  AF AD

Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết IA =

2 5cm, IB = 3cm Tính độ dài AB

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Từ gt ta suy ra a b c 2 b c a 2 c a b 2

Xét hai trường hợp

*/ Nếu a + b + c = 0  a + b = -c b + c = - a c + a = -b

Khi đó P = 1 b 1 c 1 a

a

 ( a)

b

 ( )b

c

 = abc

abc

 = 1 Nếu a + b + c 0  a = b = c  P = 2.2.2 = 8

Bài 2: Từ 1 1 1 2

a b c   

2

1 1 1

4

a b c

 12 12 12 1 1 1

a b c ab bc ca

 12 12 12

2 a b c 4

 

  theo giả thiết a + b + c = abc  a b c 1

abc

 



 12 12 12

2 4

a b c    2 2 2

2

a b c  (đpcm) Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2  2xy (1)

y2 + z2  2yz (2)

z2 + x2  2zx (3) Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 )  2( xy + yz + zx )

 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )  ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )

 3( x2 + y2 + z2 )  ( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được

x y z x y z 

2

x y z x y z  

Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y  2 xy ta có ( a + b) + c  2 (a b c )

 1  2 (a b c )  1  4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:

A + b  4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2  4ab

Do đó a + b  4(4ab)c hay a + b  16abc từ đây suy ra đpcm

Bài 5:

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G

Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)

 AE = AG

Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có

AG  AF AD do đó thay AG = AE ta được

AE  AF AD (đpcm)

Bài 6:

Kẻ AM  AC M thuộc tia CI

Chứng minh được ∆ AMI cân tại M  MI = AI = 2 5

Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )

Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC

 (2 5)2 = x.(2x + 3)

 2x2 + 3x – 30 = 0  ( 2x – 5)(x + 4) = 0

 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)

Vậy MC = 8cm

Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5)2 = 64 – 20 = 44

 AC = 44 = 2 11cm  AB = 2 11cm

F

E

B A

I

H M

C B

A