Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của dòng nước.. Cho đường tròn O, từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước..
Trang 1PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
- Môn thi TOÁN
- Ngày thi: 23-01-2011
- Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm)
2 6
48 13 5 3 2
= +
+
− +
b. Cho biểu thức A xy x2y2 x2 +x2−x2xy2 −2y
+
−
−
= với x≠1;x≠2y
- Rút gọn A
-Tính giá trị của biểu thức khi y= 4+ 12
Câu 2 (5 điểm)
a Cho đa thức: f( )x =2x3 −3ax2 +2x+b
Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2.
b Chứng minh rằng : n4 +6n3 +11n2 +6n24 với mọi n∈Z
Câu 3 (4,5 điểm)
Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ Nếu canô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của dòng nước
Câu 4 (4 điểm)
Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O
a. Chứng minh rằng: I A = A B'
b Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH
c Khi B di động trên đường tròn Chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và đường phân giác BD Chứng minh rằng:
DC AD BC AB
BD2 = −
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Đáp án và thang điểm
Câu 1 (4 điểm)
2 6
48 13 5 3 2
= +
+
− +
) 1 3 ( 2
) 1 3 ( 2 2 6
3 2 2 2
6
12 4 3 2 2
6
48 13 5 3
2
= +
+
= +
+
= +
− +
= +
+
− +
Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 1 điểm 2 đ
b Cho biểu thức A xy x2y2 x2 +x2−x2xy2 −2y
+
−
−
= với x≠1;x≠2y
Rút gọn
y y x y
y x y x y
x
y
x
x y x
x y
x y
x y
xy x x
x y
xy
x
A
1 ) 2 (
2 2
2 )
2
(
) 1 )(
2 (
) 1 ( 2 )
2 ( 2 2
2 2
2 2 2
=
−
−
=
−
−
−
=
+
−
+
−
−
=
−
− +
+
−
−
=
Các bước biến đổi cho 0,25 điểm nhưng không quá 0,75 điểm
1,5 đ
Tính giá trị của biểu thức khi y= 4+ 12
2
1 3 1 3
1 3
2 4
1 12
4
1
+
= +
= +
=
=
y
Câu 2 (5 điểm)
a Cho đa thức: f( )x =2x3 −3ax2 +2x+b
Xác định a, b để f(x) chia hết cho x-1 và x+2.
Khi f(x) chia hết cho x-1 nên ta có f(1) = 0
4 3
0 2
3
2− + + = ⇔ − =
Khi f(x) chia hết cho x+2 nên ta có f(-2) = 0
20
12 − =−
⇔ a b (II)
Từ (I) và (II) ta tính được ; 12
3
8 =−
−
a
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ
b Chứng minh rằng : n4 +6n3 +11n2 +6n24 với mọi n∈Z
Phân tích
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 3[ ]
) 3 )(
2 )(
1
(
) 6 5 )(
1
(
) 1 ( 6 ) 1 ( 5 )
1
(
) 6 6 ( ) 5 5 ( )
(
) 6 11 6
( 6 11
6
2
2
2 2
3
2 3 2
3
4
+ +
+
=
+ + +
=
+ + + +
+
=
+ + + + +
=
+ + +
= + +
+
n n
n
n
n n
n
n
n n
n n
n
n
n n n n
n
n
n n n n n n n
n
Mà 24 = 23.3
Vậy tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và chia hết cho 8 nên chia hết
cho 24
Vậy n4 +6n3 +11n2 +6n24 với mọi n∈Z
0,25 đ 0,25 đ 0.25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 3 (4,5 điểm)
Một canô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5
giờ Nếu canô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ Tính
vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (x>0; y>0; x, y tính bằng
km/h; x>y)
Theo đề ra ta có hệ phương trình
=
−
+
+
=
−
+
+
9 110
112
5 44
84
y
x
y
x
y
x
y
x
Đặt X=x+y; Y=x-y ta có hệ phương trình
=
+
=
+
9 110
112
5
44
84
Y
X
Y
X
Giải ra ta được X=28; Y=22
Thay vào tìm được x=25; y= 3
Vậy vận tốc của ca nô là 25 km/h
Vận tốc của dòng nước 3 km/h
0,25 đ 1,75 đ
0,25 đ 0,25 đ
1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O), từ điểm B bất kì thuộc đường tròn kẻ đường
vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm A cho trước Gọi I
là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của
điểm B qua tâm O
a. Chứng minh rằng: I A = A B'
b Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH
c Khi B di động trên đường tròn Chứng minh rằng đường phân giác
Trang 4ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định.
a Ta có góc BIB’ = 1V (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
' //
' ) ( ,
' BH Ax BH gt IB Ax A I A B
⇒
0,25 đ 0,75 đ
b OA⊥ Ax (vì Ax là tiếp tuyến của (O) tại A)
OA BH gt
Ax
BH ⊥ ( )⇒ //
OAB
AMB=
⇒ (1)
OBA
OAB=
⇒ (OA=OB=R) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AMB=OBA, tia BA nằm giữa hai tia BO và BM, vậy
BA là phân giác góc OBH
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ
c gọi BA’ là đường phân giác ngoài (A’∈ (O)) của góc OBH
⇒
=
⇒ A ' BH 900 AA’ là đường kính (vì A’BA là góc nội tiếp chắn nữa
đường tròn)
1,0 đ
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và đường phân giác BD Chứng minh rằng:
DC AD BC AB
BD2 = −
Trang 5Gọi đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C Đường phân giác của góc B cắt
cung nhỏ AC tại E
Xét hai tam giác ABE và DBC, chúng có Bˆ1 =Bˆ2(gt),Eˆ =Cˆ (hai góc nội tiếp
chắn cung AB) Vậy ∆ABEđồng dạng với ∆DBC
BC
BE BD
AB
=
⇒
BD DE BC AB BD
BD DE BD
BD DE BD BE
BD
BC
AB = =( + ) = 2 + ⇒ 2 = −
⇒
Tương tự ta có
ABE
∆ đồng dạng với ∆ABE DE BD AD DC
BD
AD DC
DE
=
⇒
=
⇒
Thay vào ta được điều phải chứng minh
0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ
1,0 đ 0,25 đ Lưu ý:
Nếu học sinh có cách giải khác vẫn cho điểm tối đa