Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác.. Gọi O là trung điểm của BC, D và E lần lợt
Trang 1Luyện thi HSG toán 9
Năm học : 2010 - 2011
Đề số 1
Câu 1: ( 4 điểm) Giải các phơng trình sau:
a) b) Câu 2: ( 4 điểm) a) Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng: a2 + b2+ c2+ d2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
Câu 3: (4 điểm) a) Cho a = x + y; b = x2 + y2; c = x3 + y3 C/m rằng: a3 - 3ab +2c = 0
b) Cho 2 số x, y thoả mãn: 2x2 +=4, (x 0).Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất Câu 4: ( 6 điểm) Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH chia cạnh BC thành 2đoạn
BH = 4cm và CH = 9cm Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N
a) Tính độ dài DE
b) C/m M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c) C/m 2 BDH và BHA đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng
d) Tính diện tích tứ giác DENM
Câu 5: (2 điểm) Cho ABC có góc ABC bằng 300, góc BAC bằng 450
Gọi M là trung điểm của BC Tính số đo góc AMC
Đề số 2:
Câu 1: ( 4 điểm) Giải các phơng trình sau:
1) 2) Câu 2: ( 4 điểm)
1) C/mr nếu và a + b + c = abc thì
2/ Biết a, b là hai số thực dơng thoả mãn ĐK a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh rằng
với mọi n N* ta có:
1)
2) + + Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao
điểm các đờng trung trực của tam giác Chứng minh rằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH
2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG
3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a, đờng cao AH Gọi O là
trung điểm của BC, D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Tìm giá trị lớn nhất của;
1) Độ dài DE 2) Diện tích tứ giác ADHE
Đề số 3:
Câu 1: (4 điểm) Giải các PT sau:
1)
b)
Câu 2: (4 điểm) 1) Cho a + b > 1 C/m
rằng: a4 + b4 >
2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
Câu 3: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng:
2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
2
9 12 x 4x 4
x x x x
1
x x x x
2 2
1 4
y
x
2
2x 1x 1
x x x x
1 1 1
2
a b c
2
a b c
2
1 1
2 2
a b
(n 1). n n n 1 n n 1
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 4 5
1
1 (n 1). n n n 1
2 2 3 x 3
2x 2 4x 6 1
8
a b c b c a c a b a b c
Trang 2Câu 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng
AB, ta kẻ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB Lấy trên Ax một điểm C
và trên By một điểm D sao cho: AC.BD = (*) và gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB
1) C/m hệ thức CD2 = OC2 + OD2
2) C/m ODC P AOC
3) Tìm quỹ tích hình chiếu I của điểm O trên đoạn thẳng CD khi C và D di chuyển nhng (*) vẫn đợc thoả mãn
Câu 5: (2 điểm) Cho nhọn ABC , AB = c, BC = a, CA = b
Chứng minh rằng: b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
Đề số 4:
Câu1: (3 điểm) Trong hệ toạ độ xôych hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d1) và y = - x + 2 (d2) Gọi giao điểm của d1 và d2 là A, giao điểm của d1, d2 với Ox lần lợt là B, C
1) Tính diện tích tam giác ABC
2) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 2: (4 điểm) Giải các phơng trình:
1/ x4 + x2 - 2 = 0 2/
Câu 3: (6 điểm)
1/ Cho a là số thực không âm Chứng minh rằng:
2) C/mr nếu a, b là 2 số dơng thoả mãn
ĐK a + b = 1 thì 3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2ac + bc + cd Trong đó a, b, c, d là những số thực thoả mãn ĐK: 4a2 + b2 = 2 và c + d = 4
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các
điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác Chứng minh rằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH
2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG
3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Câu 3: (2 điểm) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC Biết góc ASB bằng 600, góc BSC bằng 900, góc ACS bằng 1200 và các cạnh SA = SB = SC = a
Đề 5.
Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
2/
Câu 2: (4 điểm)
1/ Tìm a, b, c biết a, b, c là
những số dơng và
2/ Tìm a, b, c biết: a = ; b = ; c
=
Câu 3: (4 điểm) :
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
= 2/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn : a(a-1) + b(b-1) + c( c-1) C/mr: - 1
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB và AC Biết BH = 4cm, HC = 9cm
a) Tính độ dài AE
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N
Chứng minh M là trung điểm của BH; N là trung điểm của CH
d) Tính diện tích tứ giác DENM
2
4
AB
2 2 1 6 4 2 6 4 2
x x
a a a a
6
ab a b
2
x
x x x
x x x x
2
2
2 1
b b
2 2
2 1
c c
2 2
2 1
a a
2 2
2 2009
x x x
4 3
4
a b c
2
2x 1x 1
x x x x
2
1
1
x x
16ab
1
C 30 0
Trang 3Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A Hãy xác định trên cạnh AB điểm D, trên cạnh
AC điểm E sao cho DE song song với BC và DE = DB + EC
Đề số 6:
Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
1/ 2/
Câu 2: (4 điểm) 1/ Rút gọn biểu
thức:
A = 2/ Tìm x, y biết: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0
Câu 3: (4 điểm ) 1/ Chứng minh rằng: Nếu a > 0, b > 0 thì: (a + 2)(b + 2)(a + b)
2/ Chứng minh rằng với mọi a
2 thì
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC
vuông ở A, , BC = 10cm
a) Tính AB, AC
b) Từ A kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với các đờng phân giác trong và ngoài của góc B Chứng minh: MN//BC và MN = AB
c) Chứng minh: MAB đồng dạng với ABC Tìm tỉ số đồng dạng
Câu 5: (3 điểm) Cho ABC có Gọi D là trung điểm của
AC Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = CD Tính tổng diện tích các ECD và ABD
Ngày 21/11/09: Đề số 7: (Thời gian làm bài 150/)
Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
a) b) Câu 2: (4 điểm) Tính các tổng sau:
a) A =
b) B = Biết và (Trong đó: a; b; c; x; y; z
là các số khác nhau và khác không)
Câu 3: (5 điểm)
1) Trong hệ trục toạ độ xOy cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d1) và
y = - x+2 (d2) Gọi giao điểm của d1 và d2 là A, giao điểm của (d1), (d2) với Ox lần lợt là B, C
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2) Cho biểu thức: A = (với x) a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông ở A, AB = 9cm, AC = 12cm
a) Tính BC,
b) Phân giác của góc A cắt BC ở D Tính BD; CD;
c) Qua D kẻ DE AB, DF AC Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích tứ giác
AEDF
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện tích bằng 100 cm2 Điểm D nằm trên cạnh huyền BC có khoảng cách đến 2 cạnh góc vuông là 4m và 8cm Tính độ dài các cạnh AB, AC
Đề 8: (Thời gian làm bài 150/)
Câu 1: (2 điểm) Cho điểm A có toạ
độ (xa; ya), điểm B có toạ độ (xb;
yb)thì độ dài đoạn thẳng AB = (1)
Căn cứ vào (1) c/mr ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(2; 1+),C(3;1)là tam giác
đều
Câu 2: (5 điểm) Giải các phơng trình:
2
2x 1x 1
x x x x
2
1
1
x x
16ab
1
C 30 0
60 , 0 20 , 0 4
B C BC cm
x 3x x
3 2
x x
1 2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2025
x y z
a b 0c
a b c
x yz 1
x y z
a b c
2 2
1
2 1
x x
x x
1
; ;
B C
x b x a2y b y a2
3
Trang 4a) ; b) c)
Câu 3: (5 điểm)
1) C/mr , từ đó suy ra:2004<1+<2005
2) Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a) A= ;
b) B = 1-
Câu 4:( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, sin; AD =
42cm, kẻ CE BD và DF AC
a) AC cắt BD ở O, tính sin
b) C/m tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích củ nó
c) Kẻ AG BD và BH AC, c/m tứ giác EFGH là hình chữ nhật và diện tích của nó
Câu 5: (3 điểm) Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, hãy tìm tam giác
có chu vi nhỏ nhất
Đề 9: (Thời gian làm bài 150/)
Câu1:(4 điểm) Giải các phơng trình:
a) b) Câu 2: (3 điểm)
Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên
Câu 3: (6 điểm) 1) Cho x + y + z = 3
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 + z2
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx
2) chứng minh rằng a, b, c
> 0 thì:
3) Cho x, y, z là các số thực dơng, chứng minh rằng:
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A Kẻ đờng thẳng song song với
cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N Biết MB =12 cm, NC = 9 cm, trung
điểm của MN và BC là E và F
a) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng
b) Trung điểm của BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác EFG
c) Chứng minh GEF đồng dạng với ABC
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC Hãy dựng một đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho
DE + DF có giá trị nhỏ nhất
Đề 10: (Thời gian làm bài 150/)
Câu1:(4 điểm) Giải các phơng trình:
a) ; b)
Câu 2: ( 6 điểm)
1) Cho a + b + c = 6 và ab + bc
+ ca = 9.Chứng minh rằng: 0 và
2) Cho a + b + c = 2 và a2 + b2 + c2 =
2.Chứng minh rằng: và
3) Cho a, b, c là các số dơng thoả
mãn diều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của tích: A =abc
Câu 3:(5 điểm) Cho ABC có BC = a,
Về phía ngoài ABC vẽ các hình
vuông ABDE và ACFG Giao điểm của các đờng chéo của hai hình vuông là Q và N
Trung điểm của BC và EG là M và P
a) Chứng minh: AEC = ABG;
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông
x 2 2x x 2 32 4 xx x 3 6 x
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
1 1 1
2 3 1006009
2
9 x
x x
DAC
AOD
2
1 9 x 6x 2x 6
4x 12 9x 27 4 x 3 3 x 0
2
4 4
1
x x
b c c a a b b c c a a b 1 1 1 1 1 1
x y z
xy yz zx
2
49
x
x 2 1 2 x1 2
x x x x
4,
a
0 b 4
0 c 4
4 0
3
c
2
1 a1 b1 c
45 0
ABC
Trang 5c) Biết Tính diện tích hình vuông MNPQ
theo a và
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A Các điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho
BD = DE = EC Biết AD =10 cm, AE = 15cm Tính độ dài BC
Đề 11: (Thời gian làm bài 150/) Câu 1: (6 điểm)
1) Giải các phơng trình:
a) b)
2) Giải hệ phơng trình:
a) b)
Câu 2: (3 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một
tam giác Chứng minh rằng:
a) ;
b) cũng là độ dài 3 cạnh của
một tam giác
Câu 3: (3 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức M = , biết: và
2) Cho 2 số dơng x, y có tổng x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
Câu 4: (6 điểm) Cho 3 điểm A, B, C
theo thứ tự đó trên một đờng thẳng và AB =
4BC
Vẽ hai nửa đờng tròn tâm O và tâm O/ đờng kính AB và BC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC Tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn có tiếp điểm với đờng tròn(O)
ở F và nửa đờng tròn (O/) ở G, tiếp tuyến này cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đờng tròn (O) và (O/) theo thứ tự ở D và E Tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn tại B cắt DE ở I
a) Chứng minh các tam giác ôI/; DOI và IO/E là các tam giác vuông
b) Tính BI, EG và AD theo O/C = a (a là độ dài cho trớc)
c) Tính diện tích tứ giác ACED theo a
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân có AB =AC = 10cm Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D AB, F AC, E BC)
Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
Phòng gd & đt thọ xuân
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010
Môn: toán lớp 9 (thời gian làm bài 150 phút) Câu I (4,0 điểm) Giải các phơng trình sau:
1/ x6 - 9x3 + 8 = 0
2/
Câu II (4,5 điểm)
1/ Tìm các số dơng a, b, c biết abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6
2/ Giải hệ phơng trình:
Câu III (4,5 điểm)
1/ Chứng minh rằng:
2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
=
Câu IV (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, HB = 20cm, HC = 45cm Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm khác điểm H)
1/ Chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng
2/ Tính diện tích tứ giác BMNC
BGC
x x2 3 2 x2 22x 3x22 2x x 1 0 26
x y z
x y z
3
b c a a c b a b c 1 1 1
a b b c c a
x y z
a b 0c
a b c
x yz 1
x y z
a b c
x x x
4 1
4 1
4 1
x y z
y z x
z x y
2 2
3
x x
x x
2
x
60 0
AOB