Chuyên đề thể tích khối đa diện

Bài toán 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy... Bài toán 4: Tứ diện có mặt bên vuông góc với mặt Cho hình chóp S.ABC có tam giác SA

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Nội dung chuyên đề gồm:

A Kiến thức cơ bản cần thiết:

B Các dạng toán:

I Các phương pháp tính thể tích

1 Các Phương pháp tính trực tiếp

2 Phương pháp tính gián tiếp

II Một số dạng toán liên quan:

1 Tỷ số thể tích

2 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT:

b a

b a

c a

b a

2 Tính chất 2: ( Dùng để chứng minh hai đường

thẳng vuông góc)

b

a b

)

(

α

α Hệ quả: Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của

tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại.

3.Tính chất 3: (Dùng để chứng minh đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng)

)

( )

( )

(

) ( )

( ), (

)

(

α γ

β

γ α

(

) (

) (

), (

)

(

α β

β α

II Các bài toán cơ bản về khoảng cách:

1 Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy Xác định d(A, (SBC))? S

2

1 1

1

AM SA

Cách giải

∈

2 Bài toán 2: (Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau)

ii SA, SB, SC nghiêng đều với đáy

iii Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

3 Bài toán 3: (Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều

HM = HN = HP H là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC.

4 Bài toán 4: (Tứ diện có mặt bên vuông góc với mặt

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Xác định d(S,(ABC))?

Cách giải

⊥

∈

) (

), (

) (

) (

), (

) (

ABC SH

AB SH

SAB SH

AB ABC

SAB ABC

2

11

1

SB SA

III Các bài toán cơ bản về góc:

S

A

B

C M

1 Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)?

Cách giải

+ Kẻ AM BC,(M BC) SM BC

⇒ ((SBC),(ABC)) = ∠ SMA

2 Bài toán 2: (Góc giữa hai mặt phẳng tạo bởi hai tam

giác cân chung đáy)

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC và

tam giac ABC là hai tam giác cân chung đáy BC

3 Bài toán 3: (Góc giữa hai mặt phẳng tạo bởi hai tam giác

bằng nhau chung đáy)

Cho chóp S.ABC có tam giác SBC bằng tam giác ABC Tính góc giữa hai mp (SBC) và (ABC)? S

A

C

B M

mp(ABC) và tam giác ABC vuông tại B Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC)?

4 Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với

5 Bài toán 5: (Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai đường

((SAB),(SCD)) =

IV Thể tích khối đa diện:

1 Thể tich khối chóp:

+ B: là diện tích đáy + h: là chiều cao

h B.

3 Phân chia khối lăng trụ tan giác thành ba khối tứ

C B B A ABC A

4 Công tức chia tỷ lệ thê tích:

* Lưu ý: Chỉ sử dụng cho hình chóp tam giác.

* Công thức:

+ Cho hình chóp S.ABC Trên các tia SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ thì ta có:

B’

C’

C S

SC B

S

SB A

S

SA V

V

C B A S

A

A ≡ ′

C S

SC B

S

SB V

V

C B A S

A

A ≡ ′ B ≡ B′

C S

SC V

V

C B A S

B.CÁC DẠNG TOÁN:

I Các phương pháp tính thể tích:

1 Phương pháp tính trực tiếp:

Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích khối đa diện là

chiều cao và diện tích đáy Trong quá trình tính cần chú ý:

* Với khối chóp cần chính xác hóa vị trí chân đường cao của hình chóp, cụ thể:

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau ( hoặc nghiêm đều với đáy) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy nếu hình chiếu của đỉnh hình chóp thuộc miền trong của đáy.

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân

đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó với mặt đáy.

+ Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt đó.

* Với khối lăng trụ có thể tính thể tích theo các hướng trên hoặc chia nhỏ thành nhiều khối chóp đơn giản để tính.

* Với khối đa diện phức tạp ta thường chia nhỏ thành nhiều khối chóp, lăng trụ đơn giản để tính.

Các ví dụ minh họa:

Loại 1: Hình chóp, lăng trụ biết trước đường cao

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy,

tam giác ABC vuông tại B và AB =a, BC =2a Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa (SB,(SAC)) = 450 ?

A

B

C H

+ Kẻ BH ⊥ AC, H ∈ AC Ta CMĐ:

HSB SAC

SB SAC

HSB

HB SB

a

V S ABC =

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy,

tam giác ABC đều cạnh a Tính thể tích khối chóp SABC biết

Kẻ AM vuông góc với BC, tam giác ABCđều

=> M là trung điểm của BC và AM = a23

a

VS ABC = Vậy

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam

giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a và góc giữa mp(SBC)với mp(SAC) là 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC ?

1:

AB SA

AK

∆

2 2

2

1

1 2

1

AC SA

a

V S ABC =

Ví dụ 4: Cho chóp SABC có SA vuông góc với đáy Tam giác

ABC cân tại B có AB = a và góc ABC = 1200 Tính thể tích khối

chóp SABC biết d(A,(SBC)) = ?

+Vì tam giac ABC có góc ABC = 1200

M thuộc tia đối tia BC và góc ABM = 600

⇒

AM =AB.sinABM =

⇒ +

2

1 1

1

AB SA

3

a

V S ABC =

Ví dụ 5: Cho hltrụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, (BB’,(ABC)) = 600 , tam giác ABC vuông tại C, góc BA’C = 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết hình chiếu của B’ lên mp(ABC) là trọng tâm tam giác ABC.

=

26

13 3

16

39 3

16

9 4

60

tan

2

2 2

0

a y

a x

a

y x

y x

+ VABC.A’B’C’ =

208

273

a

Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a Biết H

là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và H thuộc cạnh AB t/m

HB = 2HA, ((SBC),(ABC)) = 600 Tính thể tích khối chóp SABC?

3

a

+

Loại 2: Hình chóp chưa biết đường cao

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, SA = 2a

+ Gọi O là tâm đáy, vì hình chóp đều nên suy ra:

ABC ABC

V ABC

3

1 )

sin2

2

2 OA a SA

SO

a A

a

Vậy

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có A’A= A’B=A’C

= 2a; tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = Tính thể tích khối lăng trụ

HD:

3

a

Áp dụng Bài toán 2 về khoảng cách ta có:

+ Gọi H là trung điểm BC, tam giác ABC vuông tại A => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => A’H là đương cao

B A’

A

C

H

B’ C’

a AC

A H

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có các mặt bên cùng tạo với mặt

đáy các góc = 600 và AB = a, AC = 2a, BC = a Tính thể tích khối chóp

BC HN

AB HM

) 2 3

( 2

a CA

3 (

3 −

= a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp

S.ABCD biết ABCD là hình vuông cạnh a

HD: Áp dụng Bài toán 4 về khoảng cách ta có:

S

A

D H

a

V S ABCD =

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác đều

M

60 0

A

Áp dụng Bài toán 4 về khoảng cách ta có:

+ Goi H là trung điểm AB, tam giác SAB cân tại S suy ra:

)

(ABC

SH AB

a

V S ABC =

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông

tại A, ABB’A’ là hình thoi cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích hình lăng trụ biết góc A’AB = 600

2 2

S a

AH HC

Ví dụ 7 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông

tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a Biết ((SBC),(ABCD)) = 600 Gọi I là trung điểm của AD Biết hai mp (SBI) và (SCI) cùng

vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối VS.ABCD

C D

H

I 600

Gọi H là hình chiếu của I lên BC Từ giả

thiết suy ra SI vuông góc với đáy

2 2

2

32

.

3

a

2 Phương pháp tính gián tiếp:

Các bài toán loại này dựa vào việc phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản hoặc so sánh thể tích

của nó với khối đa diện cơ bản khác

Trong nhiều bài toán tính thể tích một cách trực tiếp có thể gặp khó khăn vì hai lý do:

+ Hoặc là khó xác định và tính chiều cao

+ Hoặc là tính diện tích đáy không dễ dàng

Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể làm như sau:

+ Phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hay hiệu các khối

đã biết thể tích hoặc dễ dàng tính được thể tích

Với loại bài toán này ta hay dùng công thức chia tỷ lệ thể tích

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a, góc

ASB = 60 0 , góc BSC = 90 0 , góc CSA = 120 0 Tính VS.ABC.

S

SB V

V

C B SA

SABC nên VS.ABC = 6.VS.AB’C’

+ Tính VS.AB’C’: Xét các tam giác:

SAB’: SA = SB’ = a và góc ASB’ = 60 0 nên AB’ = a SAC’ có: SA = SC’ = a và góc ASC’ = 120 0

a

+ Vì SA = SB’ =SC’ = a, tam giác AB’C’ vuông tại

B nên theo Bài toán 4 về khoảng cách ta có:

Gọi H là trung điểm AC’=> SH ⊥ (A B′C′ ) => SH = sin600 a = a23

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh cm 5 đường chéo AC = 4cm Đoạn SO = 2 2 cm và vuông góc với đáy,

ở đây O là giao điểm của AC với BD Gọi M là trung điểm của SC và N

là giao điểm của SD với (ABM) Tìm thể tích khối chóp A.BMNC

S

C D

ABD S

ABN S

V

.

.

.

4

1 2

1 2

BCD S BMN

S BCD

SN V

V

.

.

.

8

1 4

1 4

Dễ thấy V S.ABCD = 21 SO.S ABCD = 21 31 SO.AC.BD = 832

Suy ra VS.ABMN = 2

Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD đều, có cạnh đáy AB = a, cạnh

bên SA = a Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,SB,CD Tìm thể tích tứ diện AMNP

SM V

V

ABP S

MNP S

Suy ra:

SO HP AB SO

S

V S MNP ABP .

24

1 3

1 4

1

48

6 2

.

24

a a

a − =

= ( O và H tương ứng là tâm của đáy

ABCD và trung điểm AB)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a

SA = 2a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N tương ứng là hình

chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính VA.BMNC

N

Ta có: VA.BMNC = VS.ABC – VS.AMN (1)

+ Theo bài toán tỷ lệ thể tích thì:

SC

SN SB

SM V

V

ABC S

2 4

5 1

1

1

2 2

2 2

a SM

a AM

a SA

.

.

25

16 25

3

2

3

.

a

a a

V S ABC = = Vậy 3 50 3

3

a

V S BCMN =

II Một số bài toán liên quan:

+ Chọn một trong hai phần để tính thể tích và gọi đó là V1

+ Tính và so sánh V1 với thể tích của khối ban đầu là V Ta giả

sử V1 = k.V (0 <k <1)Khi đó: k

k V

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC Gọi M là trung điểm của SB

Dựng của hình chóp với mặt phẳng qua M và //SA,SB.Cmr

P

*) Dựng thiết diên: MNPQ như hình vẽ

Kẻ MR//AB => R là trung điểm SA

*) Gọi V1 là thể tích khối đa diện SAMNPQ,

V là thể tích khối chóp S.ABC

Ta có V1 = VS.MRQ + VMRQ.NAP

V

V SA

SR SC

SP SB

SM V

V

MRQ

S ABC

S

SMRQ

8

18

1

.

=

⇒

=

=

+ Vì R là trung điểm của SA nên VS.MRQ = VA.MPR mà

VMRP.ANP =3.VA.MPR suy ra V1 = 4VS.MQR (2)

V

21

Từ (1) và (2) ta có V1 = (đpcm)

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bằng cạnh a

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và A’D’ Tính tỷ số thể

tích của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (B’MN)

E K

3

2 2 2

4 3

2 3

4 ( 6 1

)

.

.

( 6

1

3 1

1

a a

a a

a a

a a a

a V

E D N D D I CM CK

JC I

C C B C J V

Ví dụ 3:Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a Gọi M,

N là

hai điểm thuộc cạnh BB’ và DD’ sao cho BM = DN = x

(0 < x < a/2) Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai

N

E

I

J K

+ Dễ thấy thiết diện là hbh AMEN

+ Mặt phẳng qua MN và song song

với mặt phẳng (ABCD) cắt hộp theo

miền hình bình hành MJNI

+ Goi V1 là phần thể tích của phần

chứa A’,B’,C’,D’ thì:

V1 = VIMJN.A’B’C’D’ – VEJMN + VAIMN

+ Gọi K là tâm hbh AMEN suy ra: d(A,(IMN)) = d(E,(JMN))

từ đó suy ra: VAIMN = VEJMN suy ra V1 = VIMJN.A’B’C’D’

MB V

V = ' = −

2 1

Ví dụ 4: Cho khối tứ diện ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của

+ Ta có: VAIMJND = VAIMJN + VADNJ

VBIMJNC = VBIMJN + VBIMC

+ Mà: VAIMJN = VBIMJN (vì cùng đáy và chiều cao)

+ Vậy ta cần chứng minh: VADNJ = VBIMC

Thật vậy: V V DN DB DC DJ 12 DN DB (1)

DABC

) 2

( 2

1

AB

CMN DC

CJ AB

CM V

1 1

BD

ND AC

MC ND

NB MC

MA

ND

NB MA

MC ND

NB IB

IA MA

MC CJ

2 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách:

Các bài toán về tìm khoảng cách:

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể quy về bài

toán thể tích khối đa diện Việc tìm khoảng cách này dựa vào công

thức sau:

B

V h

tích đáy, chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc

ở đây V, B, h lần lượt là thể tích, diện

B

V h

Bh

V = ⇔ =

đối với hình lăng trụ)

Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau:

Giả sử ta có thể quy bài toán tìm khoảng cách về bài toán

tìm chiều cao của một hình chóp ( hoặc hình lăng trụ) nào đó Dĩ nhiên các chiều cao này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lý Pitago, dùng các công thức lượng giác… Tuy nhiên các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy

Như vậy chiều cao của nó dễ dàng được xác định bởi công thức trên.

Lược đồ sử dụng phương pháp thể tích để tính khoảng cách như sau:

1/ Sử dụng các định lý hình học không gian sau:

+ Nếu AB //(P), trong đó (P) chứa CD thì: d(AB,CD) = d(AB,(P))+ Nếu (P)//(Q), trong đó các mặt phẳng (P), (Q) lần lượt chứa AB,

Tính diện tích đáy ứng với đỉnh S Từ đó suy ra chiều cao kẻ từ S cần tìm

Xét một vài ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a,

góc ASB = 600, góc BSC = 900, góc CSA = 1200 Tính (S,(ABC))

Ví dụ 2(K.D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là

tam giác ABC vuông tại B Giả sử AB = a; AA’ = 2a; AC = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và A’C.Tìm thể tích tứ diện IABC.Tìm d(A,(IBC))

I

H

E K

Ta tính được:

3

=

=

CA

CI CA

CH AB

HE

3

2 3

4 9

16 2 2

2

HE IH

2

1 3

1

= <=> AK = d(A,(IBC)) =

3 5

2a

Ví dụ 3(K.A-2004): Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi ABCD

có SO vuông góc với đáy và O là giao điểm cảu AC và BD Giả sử

SO = 2 , AC = 4,AB = Gọi M là trung điểm của SC

M

Vì M là trung điểm của SC ta có: OM//SA,SA//(OBM) =>

d(SA,BM) = d(SA,(OBM)) = d(S,(OBM)) = d(C,(OBM)),(do MS

= MC) Ta có: OB2 = AB2 – OA2 = 1 => OB = 1 Kẻ MH ⊥ (ABCD)

2 2

1, SA = SO2 + OA2 = Khi đó ta có: