17 CHUYÊN đề THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a 3 ,BC a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên SBC tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Biên soạn: Đoàn Công Chung – TT Luyện thi Tri thức Việt – SĐT: 0903.454.368

Công thức tính thể tích khối đa diện:

– Thể tích khối chóp: V 1S.h

3 , S là diện tích đáy và h là chiều cao

– Thể tích khối lăng trụ: V S.h, S là diện tích đáy và h là chiều cao

– Thể tích của khối lập phương cạnh a: V a3

Thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước a, b, c là: V abc

Tỉ số thể tích: Cho hình chóp tam giác S.ABC có M, N, P lần lượt thuộc SA, SB, SC Khi đó ta đó:

S.MNP S.ABC

V SA SB SC (1)

Chú ý: Công thức (1) chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác Với các hình chóp tứ giác, ngũ giác,

thì cần chia thành các hình chóp tam giác rồi mới áp dụng công thức trên

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A Biết AB a, BC 2a, SA a 3

và SA vuông góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABC là:

A a3 B

3a

3a

3

a 36

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật Biết AB a,BC 2a,SA 3a là cạnh

SA vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A a 3 B

32a

3

3a3

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a Biết SA a và vuông góc với

đảy Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A a3 B

3a

39a D 3a3

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và có độ dài bằng a Tính thể tích khối tứ diện S.BCD

A 3

3a

3a

3a2

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật Biết AB a, BC 2a và cạnh

SA a 3 vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ACD

cao SA 2a Gọi G là trọng tâm của ABC Tính thể tích khối chóp S.GBC

Lời giải Ta có

2 GBC ABC

Lời giải Ta có

2

2 ABI ABM ABC

ΔABC vuông tại B nên BC AC2 AB2 a

2 ABC

Câu 11 Cho khối chóp S.ABC có SA ABC ; đáy là tam giác vuông tại B Biết các cạnh

AB a; AC a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC a 6

3

a 156

Lời giải

SA SC AC a 3 ; BC AC2 AB2 a 2 ;

2 ABC

Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA ABC ; đáy là tam giác vuông tại B Biết các cạnh

AB a; AC a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SB a 5

Lời giải

B S

B S

2 2

SA SB AB 2a ; BC AC2 AB2 a 2 ;

2 ABC

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a 3 ,BC a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải

Ta có : SBA 60 ; o SA AB.tan60o 3a ;

2 ABC

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải

B S

B S

Ta có : SCA 60 ;o 2

ABCD

S a ;SA AC.tan 60o a 6 Vậy

3 2

Ta có SBA 45 ;SAo AB.tan 45o a;

0

BC

3tan 60 3

2 ABC

Câu 17 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SC a 3

Lời giải

Ta có SA ABC ; SA SC2 AC2 a 2

2 ABC

a 3S

4Vậy

Câu 18 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng SC a 3

Lời giải

B S

B S

Ta có SA ABC ; AC a 2; SA SC2 AC2 a ;

2 ABCD

S a

nên

3 2 S.ABCD ABCD

Chọn D

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải

ABCDSCA 60 ;S a ;SA AC.tan60 a 6 Vậy

3 2

3a

32a3

Cần nhớ: Nếu hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc thì thể tích khối

Thể tích của khối chóp O.ABC là:

A a 3 B

3a

3a

3a3

Lời giải Ta có

3 O.ABC

Câu 22 Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

biết các mặt bên là tam giác đều

3

a 62

3 2 S.ABCD ABCD

Câu 24 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SC và

3a3Lời giải

Ta có SCA 450; AC a 2;

SA AC.tan 45 a 2 a

2 Vậy

3 2 S.ABCD ABCD

Chọn D

Câu 25 Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD 2AB 2a Gọi H là trung

điểm của AD, biết SH ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 60 0

3a

3a3

Ta có SCH 60 ;CH0 CD2 DH2 a 2 ;

0

SH CH.tan 60 a 6 Vậy

3 S.ABCD ABCD

Chọn B

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a Tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD

39a 3

3

39a2

Gọi O là trọng tâm của ABC SO ABC

Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SA=2a Gọi I là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD

3a

3 2 I.ABCD ABCD

Câu 29 Cho khối chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SM và

(ABCD) bằng 60 , với M là trung điểm của BC 0

3a3

Lời giải

O

B S

O I

C

B

S

Chọn A

Câu 30 Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc

giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 0

3a4

Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, chiều cao SA Biết độ dài các cạnh lần

lượt là AB a,BC b,SA c Gọi M,N tương ứng là trung điểm của BC và CD Khi đó thể

tích khối chóp S.MNC là:

A V abc

abcV

abcV

abcV48

Lời giải Ta có VS.MNC 1SA.S MNC 1SA CM.CN1 abc

Lời giải Ta có

3 2 K.CBAD ABCD

Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=3a vuông góc với mặt phẳng

đáy Trên các cạnh SB, SC ta lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE 1SB,SF 1SC

3 5 Tính thể tích của khối chóp S.AEF

Câu 36 Cho khối chóp S.ABC có M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC và thỏa mãn:

S.ABC S.MNP

Câu 37 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và đáy là tam giác vuông đỉnh B Biết

độ dài các cạnh SA AB BC a Gọi M,N tương ứng là hình chiếu vuông góc của đỉnh A

trên các cạnh SB, SC Gọi V và V’ tương ứng là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.AMN Tỉ

Lời giải

Ta có SA2 SM.SB SN.SC

2 2

2 2

Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Gọi H và K lần lượt là

trung điểm của SB, SD Tỉ số thể tích S.ABCD

Ta có S OHK 1S SBD VA.OHK 1VA.SBD 1VS.ABD

Câu 39 Cho một khối chóp S.ABC có thể tích là V Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC tương

ứng tại M, N, P sao cho SM 1SA,SN 1SB

1V

1V2

Lời giải

Theo công thức tỉ số thể tích ta có S.MNP

S.MNP S.ABC

Chọn A

Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA a 3 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối

3a

3a3

Lời giải

Theo công thức tỷ số thể tích, ta có

A.SMN A.SBC

S.ABC S.AMN A.SMN A.SBC

V1

2

3 S.ABC ABC

V

4 4 Chọn B

K H

Câu 41 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh a Góc giữa cạnh bên và

mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung

điểm cạnh BC Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

Lời giải

Gọi H là trung điểm BC A'H ABC A' AH 30 0

Ta có

2 0

4 4 4 với h a là chiều cao của lăng trụ Chọn C

Câu 43 Cho khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có thể tích là 36cm Gọi M là một điểm bất kỳ 3

thuộc mặt phẳng (ABCD) Thể tích khối chóp M.A’B’C’D’ bằng:

Câu 44 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là một tam giác đều Mặt phẳng (A’BC) tạo

với đáy một góc bằng 30 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ 0

Câu 45 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a 4 và diện tích

tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC AMA' A' BC , ABC

ABC ABC A' BC

Câu 46 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V Gọi I, J lần lượt là trung điểm

của hai cạnh AA’ và BB’ Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng:

A 3V

4V

3V

2V3

Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D Biết

SA ABCD ,SA a,AB 2a,AD DC a Thể tích khối chóp S.ABCD là:

2 ABCD

2 3 S.ABCD ABCD

Câu 49 Cho khối chóp S.ABC có SA ABC ; ABC vuông tại B Biết

AB a; AC a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa SB và (ABC) bằng

Chọn C

Câu 50 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là một hình thoi và hai mặt chéo (ACC’A’),

(BDD’B’) đều vuông góc với mặt phẳng đáy Hai mặt này có diện tích lần lượt bằng 100cm và 2

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình thoi ABCD và A’B’C’D’ Suy ra OO' ABCD và OO' 10cm

Ta có SACC'A' OO'.AC 10 AC 100 AC 10cm ; BDD' B'

S OO'.BD 10BD 105 BD 10,5cm ;

2 ABCD

D

A

B'