hệ thống bài tập về thể tích khối đa diện

Tính th tích kh i chóp O.ABC... Tính th tích kh i chóp S.ABC.. Tính th tích kh i chóp S.ABCD... Bi$t hai m*t ph8ng SBI và SCI cùng vuông góc v i mpABCD, tính th tích kh i chóp S.ABCD the

H TH NG I T P V TH CH KH I A DI N

ThS NGUY N TH M

A t v n

c sinh luôn m t i n !"p c sinh !#i quy$t i n % y, tôi & xây d'ng “ H th ng i t(p v th ch kh i a di n ” v i vi c phân ) ng c i n

th ng g*p theo c mô nh a di n c ph +ng , p !#i cho t-ng ) ng n Trong m.i ) ng n luôn )/ minh a c i t(p t' luy n & p s !"p

c sinh kh0c sâu ph +ng , p 1ng th i v(n )/ng t' !#i quy$t c i n

B Giair quy t v n

!#i quy$t c v n & 2 nh y 3 trên, h th ng i t(p 4c chia nh 2

ph n :

Ph n I: 5 c i n nh th ch kh i a di n

Ph n II: 6ng )/ng 7a th ch nh #ng ch t- m t i m $n m t m*t

1 Tính th tích kh i a di n

nh ! n ti$p

1.1 Tính tr c ti p

V i ph +ng , p nh tr'c ti$p, :y o mô nh, c nh ch t / th 7a a di n

cho hai mô nh kh i p kh i l ng 2/

1.1.1 Th tích kh i chóp

tính th tích kh i chóp ta c n nh di n tích a giác áy ) i ng cao 7a nh p Tùy vào i u ki n c7a t-ng kh i chóp mà ta có th xác =nh 4c chân

ng cao và t- ó tính dài ng cao và tính 4c th tích áy D i ây m t

D ng 1 Hình chóp có các c nh bên b ng nhau ho c các c nh bên h p v i áy các góc b ng nhau: chân ng vuông góc h t nh trùng v i tâm ng tròn ngo i ti p

a giác áy

Ví d 1: Cho hình chóp O.ABC có OA =

OB = OC = a, góc AOB = 600, góc BOC = 900,

góc COA = 1200 Tính th tích kh i chóp

O.ABC

>!#i

xu ng m*t ph8ng (ABC) Do OA = OB = OC

% i ti$p tam ! c ABC

AC=a 3;BC=a 2 suy ra tam ! c ABC

vuông i B do tam ng 2?n % i ti$p 7a tam ! c 2:ng v i trung i m 7a

AC

2

3

i t p t ng t :

i 1 Cho kh i chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các

c nh bên h4p v i áy các góc bAng nhau và bAng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC

3

25 3

2

=

i 2 Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác nh n và cân 3 A, AB = AC = a,

0< <90

Tính th tích kh i chóp S.ABC

3

cos tan a V

6

D ng 2 Hình chóp có các m t bên h p v i áy các góc b ng nhau: chân ng cao h t nh ch u c nh a a giác áy

Ví d 2 Cho kh i chóp S.ABC có áy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, các m*t bên h4p v i áy các góc bAng nhau và bAng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC

>!#i

> i H chân ng vuông c

HF, HG l n l 4t vuông c v i AC, BC,

thi$t c c SHE, SFH, SGH bAng nhau

do c tam ! c vuông SHE, SFH,

SGH bAng nhau suy ra HE = HF = HG

do H tâm ng 2?n n i ti$p tam

! c ABC

Theo công thBc Herong ta nh

Suy ra SH=r.tan 600 =2 2

3

V=6 3a

D ng 3 Hình chóp có m t c nh bên vuông góc v i áy (ho c có hai m t bên vuông góc v i áy): ng cao c a hình chóp chính là c nh bên ó (ho c là giao tuy n c a hai m t bên ó)

Ví d 3 Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t, AB = a, c nh SA vuông góc v i áy, c nh SC t o v i áy góc 450và t o v i mp(SAB) góc 300 Tính th tích

kh i chóp S.ABCD

>!#i

mp(ABCD)

*t BC = x SA=AC= a2+x2

Trong tam ! c SBC SB = x 3

Theo =nh Pitago cho tam ! c SAB

SB =SA +AB

3

3

B i t p t ng t : (A – 09 ) Cho hình

chóp S.ABCD có áy ABCD là hình

thang vuông t i A và D; AB = AD = 2a,

CD = a; góc gi a 2 m*t ph8ng (SBC) và

(ABCD) bAng 600 G i I là trung i m c7a

c nh AD Bi$t hai m*t ph8ng (SBI) và

(SCI) cùng vuông góc v i mp(ABCD), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a

3

3 15a V

5

=

D ng 4 Hình chóp có m t m t bên vuông góc v i m t áy thì chân ng cao h

t nh thu c giao tuy n c a m t bên và m t áy ó

Ví d 4 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, m*t bên SAB là tam giác cân t i S, góc ASB = α Tính th tích kh i chóp S.ABCD

>!#i

> i H trung i m 7a AB Do tam ! c SAB cân nên SH vuông c v i AB Theo !# thi$t mp(SAB) ⊥mp ABCD( ) nên theo =nh C v giao tuy$n 7a 2 mp vuông c ta SH⊥(ABCD)

Trong tam ! c SHA ta

3

i t p t ng t : Cho hình chóp có áy là

m t tam giác vuông cân c nh góc vuông

bAng a M*t bên qua c nh huy n vuông góc

v i áy, hai m*t bên còn l i u t o v i áy

m t góc 450 Tính th tích kh i chóp

3

a V 12

=

1.1.2 Th tích kh i l ng tr

D ng 1 Kh i l ng tr ng: ng cao chính là c nh bên

Ví d 5 Cho l ng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác cân Dnh A Góc

gi a AA’ và BC’ là 300 và kho#ng cách gi a chúng là a Góc gi a hai m*t bên qua AA’ là 600 Tính th tích l ng tr/

>!#i

AI⊥ BCC'B' AI=a

BC

3

3

2a 3

3

D ng 2 L ng tr xiên

L ng tr/ xiên r t a d ng, xác =nh ng

cao c7a l ng tr/ kF t- Dnh ta ph#i v(n d/ng các ph +ng pháp khác nhau d'ng

ng vuông góc t- i m $n m*t ph8ng

Ví d 6 Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có các c nh bên bAng a, áy ABCD là hình ch nh(t, AB=a 3;AD=a 7 Hai m*t bên (ABB’A’) và (ADD’A’) l n l 4t

t o v i áy góc 450 và 600 G i H là hình chi$u vuông góc c7a A’ trên mp(ABCD) H thu c mi n ch nh(t ABCD Tính th tích hình h p

>!#i

*t A’H = h GF HK//AD, HI//AB

suy ra c AKH = 450 do HK = h E i

3 3

H9t tam ! c vuông A’AH

7

3 ABCD.A ' B'C ' D '

i t p t ng t : Cho l ng tr/ ABC.A’B’C’ có áy là tam giác u c nh a, A’A = A’B = A’C = b

a) Tính b theo a m*t bên ABB’A’ h4p v i áy góc 600

b) Tính th tích l ng tr/ theo a (v i b tìm 4c 3 câu a)

3

V 8

=

1.2 Tính gián ti p

1.2.1 Phân chia kh i a di n c!n tính th tích thành các kh i a di n n gi"n ho c ghép thêm vào kh i a di n c!n tính c kh i a di n ã có cách tính th tích

Ví d 7 Cho l ng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có t t c# các c nh bAng a M*t ph8ng i qua A’B’ và tr ng tâm c7a tam giác ABC c0t AC và BC theo thB t' t i E và F Tính

th tích kh i chóp C.A’B’FE

>!#i

Ta mp(CA’F) chia kh i p C.A’B’FE nh 2 kh i p CA’EF CA’B’F,

do

C.A ' B' FE CA ' EF CA ' B' F

(AA 'C'C) FK (A 'FC)

> i N trung i m 7a B’C’ suy ra A’N vuông c v i mp(BCC’B’) suy ra

CA ' B ' F A ' FCB '

3

5 3a V

54

=

1.2.2 Dùng t s th tích

tích th tích c7a kh i a di n H ta tính tD s th tích c7a H và kh i H’, trong ó

th tích c7a kh i H’ có th tính 4c m t cách t +ng i +n gi#n, t- ó suy ra th tích c7a kh i H

Ví d 8 Cho hình chóp S.ABC có OA = a, OB = b, OC = c, góc AOB = 600, góc BOC = 900, góc COA = 1200 Tính th tích kh i chóp S.ABC

>!#i

N sao cho OM = ON = a

Theo )/ 1 ta

3 OAMN

V

12

OABC

OAMN

OABC

abc 2

V

12

=

i t p t ng t

i 1 Cho hình chóp S.ABCD có áy

ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc

v i áy, SA = 2a G i B’ D’ l n l 4t là hình

chi$u vuông góc c7a A lên SB và SD M*t ph8ng (AB’D’) c0t SC t i C’ Tính th tích hình chóp S.AB’C’D’

3

16a

V

45

=

i 2 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi, AC c0t BD t i O, SO vuông góc v i áy, OA = 2a, OB = a, SO = 2 2 a G i M là trung i m c7a SC, m*t ph8ng (AMB) c0t SD t i N Tính th tích kh i chóp S.ABMN

3

V= 2a

2 ng d ng th tích tính kho ng cách

T- công thBc th tích hình chóp 1

3

= , trong ó h là chi u cao và S là di n tích áy , ta có th tính kho#ng cách t- m t i m $n m*t ph8ng thông qua th tích c7a

kh i chóp

Ví d 9 Cho hình h p ch nh(t ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= 2a, AA’ = a M

là i m trên o n AD sao cho AM = 3 MD Tính kho#ng cách t- M $n mp(AB’C)

>!#i

M.AB'C

AB 'C

Ta VM.AB’C = VB’.AMC =

3 2

Tam ! c ACB’ cân i C (AC2 = B’C2 = 5a2) nên ng trung tuy$n CI 1ng th i

AB'C

a

h

2

=

i t p t ng t

Ví d 1 (D – 07 ) Cho hình chóp

S.ABCD có áy ABCD là hình thang

vuông t i A và B, AB = BC = a, AD

= 2a, c nh bên SA vuông góc v i

áy, SA = a 2 G i H là hình chi$u

vuông góc c7a A trên SB Tính

kho#ng cách t- H $n mp(SCD)

a d 3

=

Ví d 2 Cho hình chóp S.ABC

có áy là tam giác vuông t i B, c nh

SA vuông góc v i áy G i E là hình

chi$u vuông góc c7a A trên SC Bi$t

AB = a, BC = b, SA = c Tính kho#ng cách t- i m E $n m*t ph8ng (SAB)

2 2 2

bc d

=

Ví d 3 Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a và SA vuông góc v i m*t ph8ng

(ABC) Tam giác ABC có AB= BC= 2a, góc ·ABC = 120 0 Tính kho#ng cách t- i m A

$n mp(SBC)

6 ( , ( )

22

a

d A SBC =

3 Bài t p t ng h p c sinh t luy n

Bài 1 Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có c nh áy bAng a G i SH là ng

cao c7a hình chóp Kho#ng cách t- trung i m I c7a SH t i m*t bên (SBC) bAng b

Tính th tích kh i chóp S.ABCD

3

2

S ABCD

a b V

=

−

60

vuông góc v i m*t ph8ng (ABCD), SA= a G i C’ là trung i m c7a SC M*t ph8ng

(P) i qua AC’ và song song v i BD, c0t các c nh SB, SD l n l 4t tai B’, D’ Tính th

tích c7a kh i chóp S.AB’C’D’

3

' '

3 18

S ABC D

a

Bài 3 Tính th tích kh i tB di n ABCD, bi$t AB = a, AC = b, AD = c và

60 BAC = CAD = DAB =

2 12 ABCD

abc

Bài 4, Cho hình chóp tB giác u S.ABCD có c nh áy bAng a, góc gi a c nh bên

ϕ <ϕ< Tính tan c7a góc gi a hai m*t ph8ng (SAB) và (ABCD) theo ϕ Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ

3

.

2 tan 6

S ABCD

a

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông t i B, c nh SA vuông góc

v i áy, góc ·ABC = 60 0, BC= a, SA = a 3 G i M là trung i m c7a c nh SB

a) ChBng minh mp(SAB) vuông góc v i mp(SBC)

b) Tính th tích kh i tB di n MABC

3

4 MABC

a

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có t t c# các c nh u bAng nhau Bi$t th tích là

3

9 2

2

V = a Tính dài c nh c7a hình chóp

x = 3 a

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, c nh a, hai

m*t ph8ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m*t áy SA = a G i H và K l n l 4t

là chân ng vuông góc h t- A $n các c nh SB, SD

a) Tính kho#ng cách t- H $n m*t ph8ng (SCD)

b) ChBng minh SC⊥(AHK)

c) Tính th tích c7a hình chóp O.AHK

a d

2 2

3

a V 24

=

Bài 8 (D – 08 ) Cho l ng tr/ Bng ABC.A’B’C’có áy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, c nh bên AA’=a 2 G i M là trung i m c nh BC.Tính theo a th tích c7a kh i l ng tr/ ABC.A’B’C’ và kho#ng cách gi a hai ng th8ng AM, B’C

3

' ' '

2 2 ABC A B C

a

7

a

d AM B C =

Bài 9 (B - 06) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh(t v i AB = a; AD

= a 2 ; SA = a và SA vuông góc v i mp(ABCD) G i M và N l n l 4t là trung i m c7a AD và SC; I là giao i m c7a BM và AC ChBng minh (SAC)⊥ (SMB) và tính

VANIB

3

V 36

=

Bài 10 (B – 08 ) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh 2a;SA = a;

SB = a 3 ; (SAB) ⊥ (ABCD) Go= M và N l n l +t là trung i m c7a các c nh AB và

BC Tính th tích kh i chóp S.BMDN

3

3a V

3

=

Bài 11 ( D - 06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác u c nh a,

SA = 2a và SA vuông góc v i (ABC) G i M và N l n l 4t là hình chi$u vuông góc c7a A trên các ng th8ng SB và SC Tính th tích kh i chóp A.BCNM

3

3 3a V

50

=

Bài 12 (A – 07) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, m*t bên SAD là tam giác u và nAm trong m*t ph8ng vuông góc v i áy G i M, N ,P l n l 4t

là trung di m c7a SB, BC, CD ChBng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích

kh i tB di n CMNP

3

3a V

96

=

Bài 13 (A – 08 ) Cho hình l ng tr/ ABC.A’B’C’ có c nh bên bAng 2a, áy ABC

là tam giác vuông t i A; AB = a, AC = a 3 và hình chi$u vuông góc c7a Dnh A’ trên (ABC) là trung i m c7a c nh BC.Tính theo a th tích kh i chóp A’.ABC

3

a V 2

=

Bài 14 (B – 09 ) Cho hình l ng tr/ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gi a

ng th8ng BB’ và mp(ABC) bAng 600; tam giác ABC vuông t i C và ·BAC=600 Hình chi$u vuông góc c7a i m B’ trên mp(ABC) trùng v i tr ng tâm c7a tam giác ABC Tính th tích kh i tB di n A’ABC theo a

9a V 208

=

i 15 (D – 09 ) Cho hình l ng tr/ Bng ABC.A’B’C’ có áy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, A’C = 3a, AA’ = 2a G i M là trung i m c7a A’C’, I là giao

i m c7a AM và A’C Tính theo a th tích kh i tB di n IABC và kho#ng cách t- A $n mp(IBC)

3

C K t lu n

i t(p t +ng t' cho m.i ) ng n c sinh t' luy n nhAm kh0c sâu ph +ng , p

m i K i ra, tôi Lng & a ra h th ng c i t(p tMng h4p ; n$u c sinh &

t(p % y m t ch t +ng i +n !#n

Qua th'c t$ !#ng ) y ph n th ch kh i a di n theo h th ng c i t(p 3 trên, tôi th y c sinh khi b0t u m c i t(p v nh c không gian & =nh h ng không ?n kh n Trong c n m ti$p theo, trong qu 2 nh !#ng ) y trau d1i

Dnh sPa ti$p

Do th i gian n, i không 2 nh i thi$u N t, r t mong nh(n 4c s'

H TH NG I T P V TH CH KH I A DI N

ThS NGUY N TH M

NhAm !"p c sinh !#i quy$t i n v th ch kh i a di n, tôi & xây d'ng “

H th ng ! i t p v th "#ch kh i a di n ” v i vi c phân ) ng c i n th ng g*p theo c mô nh a di n theo ph +ng , p !#i Th'c t$ cho th y, sau khi c sinh 4c c theo h th ng i t(p % y, c em & !#i quy$t c i t(p v th ch