Chuyên đề Thể tích khối đa diện

 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …  Chứng minh 2 đường thẳ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I QUAN HỆ SONG SONG

1 Hai đường thẳng song song

a b



    



b) Tính chất



(P) (Q) (R) (P) (Q) a a, b, c dong quy (P) (R) b a / /b / /c (Q) (R) c







(P) (Q) d

d / /a / /b (P) a, (Q) b

d a (d b)

a / /b



a c, b c

 



2 Đường thẳng và mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: d // (P)  d  (P) = 

b) Tính chất

 d (P), d ' (P) d / /(P)

d / /d '



d / /(P)

d / /a (Q) d,(Q) (P) a



 (P) (Q) d d / /a

(P) / /a,(Q) / /a





3 Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa:

(P) // (Q)  (P)  (Q) = 

b) Tính chất



(P) a, b

a / /(Q), b / /(Q)





(P) (Q) (P) / /(R) (P) / /(Q) (Q) / /(R)





(Q) / /(R) (P) (Q) a a / /b (P) (R) b







4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Trang 2

 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

 Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

 Áp dụng các định lí về giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d / /(P) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào đó nằm trong (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia

II QUAN HỆ VUƠNG GĨC

1 Hai đường thẳng vuông góc

a, b 90

b) Tính chất

 Giả sử u

là VTCP của a, v

là VTCP của b Khi đó a b u.v 0

 b / /c a b

a c

 



2 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P)

b) Tính chất

 Điều kiện để đường thẳng  mặt phẳng: a, b (P), a b O d (P)

d a, d b

  



 a / /b (P) b

(P) a

 

a / /b

a (P), b (P)

 



 (P) (Q) a (Q)

a (P)

 





 (P) (Q) (P) / / Q)



Trang 3

 a / /(P) b a

b (P)

 

a (P)

a / / P)

 



 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

 Định lí ba đường vuông góc

Cho a  (P), b(P), a là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b  a  b  a

3 Hai mặt phẳng vuông góc

(P), (Q) 90

b) Tính chất

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P) a (P) (Q)

a (Q)

 



 (P) (Q),(P) (Q) c a (Q)

a (P), a c

(P) (Q)

a A, a (Q)









(P) (Q) a

(Q) (R)







4 Chứng minh quan hệ vuông góc

a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: a

 Chứng minh góc giữa a và d bằng 900

 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau

 Chứng minh d mà b / /a b

 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vuông góc

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trang 4

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

 Chứng minh d // a và a  (P)

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh   0

(P), (Q) 90

III GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH

1 Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'   a, b a ', b '

Chú ý: 00   a, b  900

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

 Nếu d  (P) thì d,(P) = 900

 Nếu d  (P) thì d,(P) = d, d ' với d là hình chiếu của d trên (P)

Chú ý: 00  d,(P)  900

c) Góc giữa hai mặt phẳng a (P)   

(P),(Q) a, b

b (Q)

 

 



 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng a (P),a c

b (Q), b c



  (P), (Q) a, b

0  (P),(Q) 90

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  = (P), (Q) Khi đó: S = S.cos

2 Khoảng cách

Trang 5

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông

góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một

điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CƠNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH

AB BC.BH, AC BC.CH  1 2 12 12

AH  AB AC  ABBC.sin CBC.cos BAC.tan CAC.cot B

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính

đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

 Định lí hàm số cosin:

a =b c – 2bc.cosA; b c a 2ca.cos B; c a b 2ab.cos C

sin A sin Bsin C  Công thức độ dài trung tuyến:

2 Các công thức tính diện tích

a) Tam giác:

Trang 6

 S 1a.ha 1b.hb 1c.hc

 S abc

4R

  Spr  S p p a p b p  c  ABC vuông tại A: 2SAB.ACBC.AH

 ABC đều, cạnh a:

2

a 3 S

4



b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD 

S AB.AD.sinBAD AC.BD

2

f) Hình thang: S 1a b h

2

  (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S 1AC.BD

2



V THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích của khối hộp chữ nhật:

Vabc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật

2 Thể tích của khối chóp:

V 1Sđáy.h

3

 với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

3 Thể tích của khối lăng trụ:

VSđáy.h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a) Tính thể tích bằng công thức

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

 Sử dụng công thức để tính thể tích

b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính

c) Tính thể tích bằng cách bổ sung

Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích

d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích

Ta có thể vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OA ' B ' C '

V  OA ' OB' OC'

Trang 7

* Bổ sung

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với

diện tích các đáy

VI Bài tập minh họa

Bài 1:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA

vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng

Ta cĩ : AB = a 2 , AC = a 3 , SB = a 3

*  ABC vuơng tại B nên BC AC2AB2  a



2

ABC

*  SAB vuơng tại A cĩ SA SB2AB2  a

* Thể tích khối chĩp S.ABC :

Bài 2:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuơng gĩc

với mặt phẳng đáy và SB = a 3 Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải

 Tam giác ABC vuơng cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam

giác vuơng

Ta cĩ: AC = a 2 , SB = a 3

*  ABC vuơng, cân tại B nên

2 AC

2



2

ABC

*  SAB vuơng tại A cĩ SA SB2AB2  a

* Thể tích khối chĩp S.ABC:

Bài 3:

B S

Trang 8

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và SB = a 5 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác

vuông SAB

*  ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a

ABC

*  SAB vuông tại A có SA SB2AB2  a

* Thể tích khối chóp S.ABC:

3 2

Bài 4 :

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC1200,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200

*  ABC cân tại A, BAC1200, BC = 2a 3 , AB = AC = BC = 2a

Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600

 AM = BM0 a 3 a

tan 60  3 

ABC

* SA = a

3 2

S

B

C A

M S

B

C A

Trang 9

Bài 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Vẽ đáy là hình vuông (vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng

đứng

 ABCD là hình vuông; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = a 5

* Diện tích ABCD   2

2 ABCD

* Ta có : AC = AB 2 = a 2 22a

 SAC vuông tại A  2 2

SA SC AC  a

* Thể tích khối chóp S.ABCD:

3 2

S.ABCD ABCD

Bài 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và SA = AC = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Vẽ đáy là hình vuông (vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng

đứng

 Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )

Ta có : SA = AC = a 2

ABCD là hình vuông suy ra AC = AB 2  AB AC a

2

Diện tích ABCD: 2

ABCD

* SA = a 2

3 2

S.ABCD ABCD

D

C S

D

C S

Trang 10

Bài 7:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC

+ O là trọng tâm của tam ABC + AM là đường cao trong  ABC

 Đường cao của hình chóp là SO (SO  (ABC))

* S.ABC là hình chóp tam giác đều

Gọi M là trung điểm BC

 ABC đều cạnh a 3 , tâm O: SO  (ABC), SA=SB=SC = 2a

*  ABC đều cạnh a 3  AM = a 3 3 3a

2  2  AO= AM2 2 3a a

ABC

*  SAO vuông tại A có SO SA2AO2 a 3

* Thể tích khối chóp S.ABC

Bài 8:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Hình chóp tứ giác đều có

+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O

+ SO  (ABCD) + tất cả các cạnh bên bằng nhau

 Đường cao của hình chóp là SO (SO  (ABCD))

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O, SO  (ABCD),

SA=SB=SC =SD = a 3

* ABCD là hình vuông:  2 2

ABCD

A

C

B

S

M O

O

C D

B A

S

Trang 11

AC = 2a 2

*  SAO vuông tại O có SO SA2AO2  a

3 2

S.ABCD ABCD

Bài 9: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Giải

 Tứ diện đều ABCD có các tính chất

+ tất cả các cạnh đều bằng nhau + tất cả các mặt là các tam giác đều

+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy

 Đường cao của hình chóp là AO (AO  (BCD))

* ABCD là tứ diện đều cạnh a

Gọi M là trung điểm CD :

Ta có: AB=AC=AD = AC=CD=BD = a

 BCD đều cạnh a, tâm O AO  (BCD)

*  BCD đều cạnh a  BM = a 3

2

 BO= BM2 2 a 3 a 3

2

BCD

a 3 S

4

2 2

 



 

Bài 10:

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh A/B

= 2a Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

* Tam giác ABC vuông tại B BC = 2 2

AC AB a 2



2

ABC

* Tam giác A/AB vuông tại A / / 2 2

A A A B AB a 3

* / / /

3 /

ABC ABC.A B C

a 6

2

A

C

D B

M O

2a

a 3

a

B /

C/

A /

B

Trang 12

Bài 11:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

* Ta có : AB = a 3 ,

(SBC)  (ABC) = BC

AB  BC (vì  ABC vuông tại B)

SB  BC (vì AB là hình chiếu của SB lên ABC)

((SBC),(ABC))(SB, AB)SBA60

*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a



2

ABC

*  SAB vuông tại A có AB= a, B600 o

SAAB.tan 60 3a

Bài 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

* Ta có : AB = a 3 , (SBC)  (ABC) = BC

Gọi M là trung điểm BC

AM  BC (vì  ABC cân tại A)

SM  BC (vì AM là hình chiếu của SM lên (ABC))

((SBC), (ABC))(SM, AM)SMA45

*  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2

 AB = BC = a và AM = a 2

2



2

ABC

*  SAM vuông tại A có AM= a 2

2 , 

0

M45

SA AB.tan 45

2

60 S

B

C A

45 M S

B

C A

Trang 13

Bài 13:

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

* Ta có A/A  (ABC)

/

(A BC)(ABC)BC

AB  BC

Mà AB là hình chiếu của A’B lên (ABC) nên A/B  BC

(A BC),(ABC) A BA30

* Tam giác ABC vuông tại B

2

ABC

* Tam giác A/AB vuông tại A  / 0 a 3

A A AB.tan 30

3

* / / /

3 /

ABC ABC.A B C

a 6

6

Bài 14:

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

* Gọi M là trung điểm BC

G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có A/G  (ABC)

GA là hình chiếu của AA’ lên (ABC)

A A, (ABC) A AG30

* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3  2

2 ABC

3

4

* Tam giác A/AG vuông tại G có A 30 , AG0 2AM 2.2a 3 3 2a

A G AG.tan 30

3

ABC ABC.A B C

Bài 15:

300

B /

a

a 2 2a

B

C A

30 0

2a 3

C/

A/

B /

M

B G

Trang 14

và SA = a 3 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN

Giải

Cách 1: (dùng công thức thể tích V 1.S.h

3

* Khối chóp S.AMN có:

- Đáy là tam giác AMN

- Đường cao là SA

*  AMN có Â = 600, AM=AN = a



2 0

AMN

* SA = a 3

Cách 2: (Dùng công thức tỷ số thể tích)

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A

Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có

A.SMN

A.SBC

S.AMN A.SMN A.SBC

V 1

Ta có :

2

3

Vậy

3 S.ABC S.AMN

V

Bài 16:

và SA = a 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN

và A.BCNM

Giải

(Dùng công thức tỷ số thể tích)

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S

Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:

S.AMN

S.ABC

V SA SB SC  2 2 4



2

3 S.ABC

S.AMN

1 a 3.a 3

V

3

A.BCNM S.ABC

N

M A

C

B S

N

M S

B C A

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	0,97 MB