CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

- Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên chung của 2 mặt đó.. Thí dụ 2 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Dạng 1 : Tính thể thích bằng cách áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích

A Lý thuyết

- Thể tích của hình lăng trụ V= B.H với B là diện tích đáy và h là chiều cao

- Thể tích hình chóp V= 1/3 B.h với B là diện tích đáy và h là chiều cao

- Thể tích của hình hộp chữ nhật V = a.b.c với a , b , c là ba kích thước

- Thể tích của hình lập phương V = a3 với a là độ dài cạnh

Thông thường trong các đề thi đại học chỉ tính thể tích của hình lăng trụ và hình chóp

Để tính được thể tích của chúng ta phải xác định được đường cao và thể tích đáy

Chú ý :

- Xác định đường cao của hình chóp

- Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao

- Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của đáy với mặt bên đó ( Nói đơn giản là đường cao của mặt bên )

- Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên chung của 2 mặt đó

- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

- Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Ngoài ra trong một số trường hợp khác chúng ta có thể khai thác các tính chất khác của

đa diện để xác định đường cao

Để tính được độ dài đường cao thông thường chúng ta gắn vào các tam giác vuông và chú

ý

Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ΔABC vuông ở A ta có :

Định lý Pitago :

AB.AC =BC.AH

BC = 2AM

SinB = , cosB = , tanB = , cotB =

b = a.sinB = a.cosC , c = a.sinC = a.cosB , a =

Xác định diện tích đáy ( quan trọng xác định rõ đáy là hình gì )

- Công thức tính diện tích tam giác :

- Diện tích hình thoi = AC.BD

- Diện tích hình thang : S = (AB+CD).h

- Diện tích hình bình hành : S = CD.h

- Diện tích hình tròn : S = π

- Diện tích tứ giác bất kỳ : S = AC.BD.sin( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

B THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB =

AD = 2a , CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải :

 ΔBIC là tam giác vuông cân vì

Kẻ IK ⏊ CB Gọi J là trung điểm của IC => IJ = √

√

Ta có : BJ.IC = IK.BC => IK =

√ √ √

√ √ √ √ √

á

(SIB) ⏊ (ABCD) và (SIC) ⏊ (ABCD) nên ta có SI ⏊ (ABCD)

Vậy SI là đường cao của hình chóp S.ABCD

Ta tính SI :

Có diện tích hình thang ABCD là : dt(ABCD) = 3

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là : V = √ (đvtt)

Thí dụ 2 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng BB’ và

mặt phẳng (ABC) bằng , tam giác ABC vuông tại C và

̂ Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Giải :

Gọi G là trọng tâm ΔABC => B’G ⏊ (ABC)

B’G = √ , BG = , BM =

Đặt AB = 2x suy ra AC = x

Gọi M là trung điểm của AC

 √

Tính thể tích khối tứ diện A’ABC là V = √ √

Ví dụ 3 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a ,

AA’ = 2a , A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ , I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

√ √

√

Thí dụ 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng

(A’BC) và (ABC) bằng Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Giải :

Gọi H là trung điểm của BC , theo giả thuyết ta có : ̂

Ta có : AH = √ , A’H = 2AH = a√ và AA’ = √ √

Vậy thể tích khối lăng trụ :

V = √ √

Kẻ đường trung trực của GA tại trung điểm M của GA trong mặt phẳng (A’AH) cắt GI tại J thì

GJ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

Ta có : GM.GA = GJ.GI

 R = GJ =

Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH = Gọi

CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối

tứ diện SMBC theo a

Giải :

Ta có SH = √ ( √ ) √

SC = √ ( √ ) =√ = a√

Vậy ΔSCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống ΔSAC chính là trung điểm SA

Từ M ta hạ K vuông góc với AC , nên MK = SH

Ta có ( ) √ √

Thí dụ 6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a , BC = 2a ,

̂ và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B , CC’ theo a

 CH = Δ

√ Xét tam giác vuông A’HC ta có :

Suy ra : d(A’B , CC’) = d(CC’ , (ABB’A’)) = d(C,(ABB’A’)) = CH = √

Thí dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ̂ , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA ,

CD theo a

Giải :

Gọi O = AC BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm AM

Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên :

Suy ra : IJ = 2OI = √ và JH ⏊ (SAB)

Do CD // AB => CD // (SAB)

Suy ra : d(SA,CD) = d[CD,(SAB)] = d[J,(SAB)] = JH

Xét tam giác vuông IJH ta được : JH = IJ.sin = √ √

Vậy d(SA,CD) = √

Thí dụ 8 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB = 2 , tam giác ACB

vuông tại C , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng √ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD

Giải :

Vì tam giác SAC và SBD đều cạnh √ nên AC = BD hay tứ giác ABCD là hình thang cân Lại có góc ̂ = (giả thiết ) => ̂ nên 4 điểm A , B , C , D ( hay hình thang ABCD ) nội tiếp đường tròn đường kính AB

Gọi H là trung điểm AB khi đó SH vuông góc (ABCD) ( hay SH là trục đường tròn ngoại tiếp ) Hay SH là đường cao của hình chóp

Trong tam giác vuông ACB tại C ta có :

BC = √ √

Lại có √ ( Do ABCD là nửa lục giác đều )

Vậy thể tích khối chóp là √ √ √ ( đvtt )

Thí dụ 9 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt

bên tạo với đáy một góc Mặt phẳng (P) chứa cạnh CD và tạo với mặt phẳng đáy một góc

và cắt SA , SB lần lượt tại M và N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a

Giải :

Gọi I và K là trung điểm của CD và AB và H là giao điểm của SK và MN

 ̂ ̂ và tam giác SIK là tam giác đều cạnh a

IH là phân giác đồng thời là đường cao

SH là đường cao nên SH =

Tứ giác CDMN là hình thang cân có HI là đường cao

  x =

 AH = √ = √

Vậy thể tích hình chóp là √

Thí dụ 11 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,

BC = 2a Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC , mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một góc Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a , với I là trung điểm SB

Gọi E là hình chiếu của H lên SJ , khi đó ta có : ⏊

⏊ } ⏊ ( ) Mặt khác , do IH // SC => IH // (SAC)

Suy ra d(I,(SAC)) = d(H,(SAC)) = HE = HJ.sin = √

Thí dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và

AB = BC = CD = a Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng √

Giải :

Gọi H là giao điểm của AC và BD

Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng SD

Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD , kết hợp với AB vuông góc với SH suy ra AB ⏊ (SBD) => AB ⏊ BK => BK là đoạn vuông góc chung của AB và SD

Do BC // AD suy ra AC = BD = √

Mặt khác ta có :

2 √ √ √

 2SH = √ => 4 + => SH =

Ta có : √

Vậy thể tích hình chóp là √ √

Thí dụ 13 : Cho hình lăng trụ có M là trung điểm cạnh AB , BC = 2a , ̂

và ̂ , cạnh bên tạo với mặt phẳng (ABC) một góc , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và ( )

Giải :

Gọi H là trung điểm CM

Từ giả thiết => ⏊ (ABC)

Thí dụ 14 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ là tam giác vuông tại B’ Gọi

K là hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên đường thẳng AC’ Biết góc giữa đường thẳng A’K với mặt phẳng (C’AB’) bằng và A’B’ = a , A’C’ = a√ Tính thể tích khối tứ diện KA’BC

Nên BI là đường cao của khối chóp BA’CK và BI =

√

Vậy thể tích khối tứ diện KA’BC là : Δ √

Thí dụ 15 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giá vuông tại A , AB = a ,

AC = a√ , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC)

Thí dụ 16 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

AB = BC = a√ , khoảng cách từ A đến mặt phảng (SBC) bằng a√ và

̂ ̂ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC)

Giải :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC)

Ta có :

+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc ̂ ( do tam giác SHB vuông cân )

Thí dụ 17 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác đều , hình

chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ΔA’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Giải :

Gọi M , M’ lần lượt là trung điểm BC , B’C’ => A’, G , M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành

Thí dụ 18 : Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a , góc giữa

AD và mặt phẳng (ABC) bằng Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ABC)

Giải :

Gọi H là trung điểm của BC

Do ΔABC và ΔBCD đều cạnh a nên :

AH = DH = √ và BC ⏊ (AHD) => (ABC) ⏊ (AHD)

Kẻ DK ⏊ AH => DK ⏊ (ABC)

 Góc ̂ , ̂

 ΔDAK vuông cân tại K

ΔDAH vuông cân tại H

Kẻ HE ⏊ AB => DE ⏊ AB

Vậy góc giữa 2 mp(ABD) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng DE và HE và bằng góc ̂Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có :

CF = √ , HE = CF = √ nên tan ̂ = => ̂

Vậy góc giữa hai mp(DAB) và (ABC) là góc ̂

Thí dụ 19 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích V Các mặt phẳng (ABC’) , (AB’C) ,

(A’BC) cắt nhau tại O Tính thể tích khối tứ diện OABC theo V

Ta có O là trọng tâm tam giác BA’C

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC)

Do ΔABC là hình chiếu vuông góc của ΔBA’C trên (ABC) nên H là trọng tâm ΔABC

Gọi M là trung điểm BC

 VOABC 13OH SΔABC 1AA SΔABC 1V

Thí dụ 20 : Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông

góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ

ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa cạnh AA’ và cạnh BC theo a , biết góc giữa mặt phẳng

(A’BC) và (ABC) bằng

Giải :

Gọi M là trung điểm BC ta có AM ⏊ BC (1)

Mà A’H ⏊ BC suy ra A’M ⏊ BC (2)

Từ (1) và (2) ta có ((ABC) (ABC))̂ (AM AM)̂ Â MA

Vậy thể tích của lăng trụ là :

Vlt AH dt(ABC) a

2

a2√3 4

a3√3 (đvtt) (AA’M) kẻ MK ⏊ A’A