chuyên đề hình học giải tích trong không gian

Véc tơ chỉ phương VTCP của đường thẳng: a  là VTCP của đường thẳng  đn 0 a có giá song song hoặc trùng với  Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau..

Chuyên đề : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

 x'Ox : trục hoành

 y'Oy : trục tung

 z'Oz : trục cao

 O : gốc toạ độ

   i j k, , : véc tơ đơn vị

(hay   i; j;k: véc tơ đơn vị )

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là

không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M kg Oxyz ( ) Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo   i j k, , bởi hệ thức có dạng : OM x i y j  + y với x,y,z k 

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

2 Định nghĩa 2: Cho a kg Oxyz ( ) Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo

  i j k, , bởi hệ thức có dạng : a a i a j 1. 2 + a với a ,a 3 k 1 2

Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a

Ký hiệu: a( ; )a a1 2

a=(a ;a ;a ) 1 2 3 đ n/ a a i a j a k 1. 2. 3.

II Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

Định lý 1: Nếu A x y z( ; ; ) và B(x ; ; )A A A B y z thì B B

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b  0

cùng phương a b    !k  sao cho a k b  

Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi a cùng hướng b

k < 0 khi a ngược hướng b

Định lý 4 : A B C, , thẳng hàng  AB cùng phương AC

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : MA k MB 

  

Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z B B và MA k MB  ( k 1 ) thì

.1.1.1

k

y k y y

k

z k z z

A B M

A B M

A B M

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )A A A B y z B B C y z C C

G là trọng tâm tam giác ABC 

333

A B C G

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI Tích có hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ a ( ; ; ) và a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 là một véc tơ được ký hiệu : ;a b  có tọa độ là :

 A, B, C, D đồng phẳng AB,AC,AD   đồng phẳng AB,AC AD 0   

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

a Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

b Tính diện tích tam giác ABC

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1)     Chứng minh tam giác ABC vuơng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

A

B C

B C D

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Các định nghĩa:

1 Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

a



là VTCP của đường thẳng (  ) đn 0

a có giá song song hoặc trùng với ( )

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một đường thẳng (  ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó

2 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

n là VTPT của mặt phẳng  đn 0

n có giá vuông góc với mp

 Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có một

n  

)

;

;( 0 0 0

0 x y z M

Các trường hợp đặc biệt:

1 Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

 (Oxy):z = 0

 (Oyz):x = 0

 (Oxz):y = 0

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0)(0; ;0) (a,b,c 0)(0;0; )

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho A 1;3; 2 , B 1; 2;3 ,C 2;0;1      Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho A 1;3; 2 , B 1; 2;3 ,C 2;0;1      Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC cĩ giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 0;0; 3 ; B 2;0; 1      và mặt phẳng (P) cĩ phương trình 3x 8y 7z 1 0    Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

n n

a

b  b  b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,  xác định bởi phương trình :

c O

( ) // ( )

AA( ) ( )

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0 và nhận a ( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng (d)

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) đi qua điểmM x y z 0( ; ; )0 0 0 và nhận a ( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

)(

0

M M(x,y,z)

a

Ví dụ: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :x z z

1  1 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm

M và đường thẳng (d)

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0    Tìm tọa độ hình

chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P)

Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz cho A 1;1;0 , B 1; 2;1    và đường thẳng (d) cĩ phương trình

 .Tìm tọa độ điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh C

Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho A 1; 1;0 , B 3;3; 2     và đường thẳng (d) cĩ phương trình

Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz cho A 2;0;0 , B 2;3;0    và mặt phẳng (P) cĩ phương trình

x y z 7 0    Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (d) :x 1 y 2 z 2

điểm M thuộc  d1 và N thuộc  d2 sao cho MN song song với mặt phẳng  P : x y z 0   và MN 2

Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz mặt phẳng  P : x y 2z 3 0    , điểm A 1;1; 2   và đường thẳng

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

pt pt





 tìm x,y,z Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ: Cho hai đường thẳng  1

1) Chứng minh rằng  d1 và  d2 chéo nhau

2) Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng  d1 và  d2

III Góc trong không gian:

1 Góc giữa hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,  xác định bởi phương trình :

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) : x x 0  y y 0  z z 0

và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )  ta có công thức:

n 

)(

)

;

;(a b c

a 

0

0  

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

IV Khoảng cách:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 và điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0 Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:

Ví duï : Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (  ) đi qua điểm M x y z và có VTCP 0( ; ; )0 0 0

u ( ; ; )a b c Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ( ) được tính bởi công thức:

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

1 a b c

a 1

2



)'

;'

;'(

a 0

0 x y z M

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình mặt cầu:

Phương trình (1) được gọi là phương trình

chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi I  O thì ( ) :C x2y2z2 R 2

2 Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình :

x2y2z2 2 ax2by2cz d 0

với a2b2c2 d 0 là phương trình của mặt cầu (S) có

tâm I(a;b;c), bán kính R a2b2c2d

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) có phương trình :     

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

R I

O

R

)

; (x y z M

)

(S

I

11

11

y

x

z y

33

4:

0232

3

3

22

33

4

C z

y x

z y

a) Ta có d1 lμ giao tuyến của (P) vμ (Q), trong đó (Q) lμ mặt phẳng chứa (d) vμ vuông góc với (P)

d có vtcp u(2;1; 2) vμ đi qua M0(1;3;0), vtpt của (P) n(3; 1;1)

0134

:

1

z y x

z y x

11

mặt phẳng  P :3x2y3z20 Gọi B lμ điểm đối xứng của A qua d Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng  P sao cho đoạn thẳng BC có độ dμi nhỏ nhất

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

t y

t x

d

23

21: vμ mặt phẳng

+) Gọi C lμ giao điểm của () vμ d thì toạ độ C thoả mãn hệ:

23

21

z y x

t z

t y

t x

t y

t x

32

21

+) Ta có B lμ giao điểm của AC vμ (P), nên toạ độ B thoả mãn hệ:

32

21

z y x

t z

t y

t x

PN MN

1()3()2)(

5(

)4()3()2()1()3()5(

0 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

z z y

x x

z y

x z

y x

)4)(

1()3()2)(

5(

)2(0

1

0 0

2 0 0

0

0 0

z z y

x x

z x

0 0

0 0

x z

x y

1,3

1,

3,

2

0 0 0

0 0

0

z y x

z y

;1

;3(

)1

;3

;2(

;2

Bài giải:

Giả sử M(x0;y0;z0) Khi đó từ giả thiết suy ra

5

22)

2()3()

1()

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

)22()

1

(

)2()

2()3()

1(

)1()

1()

1

(

2 0 0 2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

y x z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

0 0

3 x

z

x y

Thay vμo (3) ta đ−ợc 5(3x02 8x010)(3x0 2)2

23

;3

23(

)2

;1

;1(

M M

t y

t x

CD

13

21:

CD t t

8

;35

)0

;2

;3(3

11

014

3 2

D

D t

t

t t

Để ABCD là hỡnh thang cõn thỡ BD = AC Do đú D(3, 2, 0) khụng thỏa món vỡ khi đú ABCD là hỡnh bỡnh

Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho cỏc điểm ), A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;3;2 và mặt phẳng

.022:

;3

;1(),0

;2

;1(),

1,

,[)

31

2:

2

;2

;2(),

A  Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P):2xy2z40, đường thẳng

1

11

12

d và đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng x1, yz40 Viết

phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với  và (P).

905391263

t

t t

t t

t t

* Với t0 Ta cú I(2;1;1),R3 Suy ra phương trỡnh mặt cầu

.9)1()1()2(x 2 y 2 z 2 

53

143

;53

37

;53

2 2

53

12953

14353

3753

7,2

2

2t2 t2 t2M

14

72

52

22

2 2

2 2

*) Dễ thấy CH ABC nên ABC thoả mãn bμi toán

*) Chu vi ABC ABBCCA2 22 22 2 6 2 (ABC đều)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có B(1;4;3), phương trình các đường

thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A vμ đường cao kẻ từ C lần lượt lμ

2

71

11

41

32

d Tính chu vi tam giác ABC

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có

A(0,3,3).

(0,3,0), A'

(3,0,0), C'

(0,0,0),

0120 '

Tõ tÝnh chÊt cña h×nh vu«ng hoÆc sö dông phÐp chiÕu lªn 3 trôc ta cã

t y

t x DB

3:'

3.33

33

3

2 2

2 2

2 2

t t

t t t t t

  

13

2

33

1

2

2:'

t z

t y

t x

AC E2t1,2t1,t1AC'

Ta cã B'6,0,3 ,D' 0,6,3, ta chän ' '  1,1,0

6

1' '  B D  

E

C

) 3 , 0 , 0 ( '

A

) 0 , 0 , 6 (

vμ B ' D' sao cho EF  3 vμ EF song song víi mÆt ph¼ng A' BD

6:'

2

z

D B t

t F t y

t x D

A

.06

2 2

 Gọi (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P) thì (d)   P  Q

VTCP của (d') là ad ' n ; n P Q4;1; 5 , phương trình tham số của (d') là:

MA2MB2MC2 đạt GTNN MGđạt GTNN  M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)

 Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:

   d , d1 2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R    1 b 2 4 b25

 Do (S) tiếp xúc với (P) nên:

 Vậy có hai mặt cầu là:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 2 , B 1;1;1 ,C 2; 2;3       và mặt phẳng (P):

x y z 3 0    Tìm điểm M trên (P) sao cho MA MB MC    đạt giá trị nhỏ nhất

1,

31

2:

2

;2

;2(),

CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN TƯ DUY TÌM TÒI CHƯƠNG TRÌNH GIẢI CỦA BÀI TOÁN