CHUYÊN đề HÌNH KHÔNG GIAN lớp 11

1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai giao điểm đó Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối , AB CD không song song với nhau. a) Tìm giao tuyến của ( ) SAC và ( ) SBD b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD

CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11

BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối AB CD không song ,song với nhau

a) Tìm giao tuyến của (SAC và () SBD )

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB và () SCD )

A

S

(SAB) (SBD) SM

Vậy SM là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB), (SCD )

• Chú ý: Trong bài toán này ta đã dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng mà chúng không song song với nhau thì phải cắt nhau tại một điểm

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB CD lần lượt lấy các điểm , M N sao cho , MN

không song song với BC Gọi I là một điểm bên trong tam giác BCD Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNI với các mặt phẳng () BCD), (ABD), (ACD )

Giải:

Hình vẽ

• Tìm giao tuyến của (MNI và () BCD )

Ta thấy (MNI)∩(BCD)=I

Vì MN không song song với BC nên MN∩BC=J

Vậy giao tuyến của (MNI và () BCD là ) IJ

• Tìm giao tuyến của (MNI và () ABD )

F E

K

J

I N

A

D

C

B

Ta thấy (MNI)∩(ABD)=M

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNI và () ABD là MK )

• Tìm giao tuyến của (MNI và () ACD )

Ta thấy (MNI)∩(ACD)=N

Mà IJ∈(MNI IJ), ∩CD=F⇒(MNI)∩(ACD)=NF

Vậy giao tuyến của (MNI và () ACD là NF )

Trong bài toán này các em hs cần chú ý:

- Để việc hình dung điểm I được rõ ràng trong mặt phẳng ( BCD ta đã dựng một đường )

thẳng DE nằm trong ( BCD sau đó xác định một điểm I thuộc DE )

- Khi ta đã tìm được một điểm J thuộc mặt phẳng (MNI thì ta có () MNI)≡(MIJ) điều

đã này giúp ta giải quyết câu hỏi sau được dễ dàng hơn

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên cạnh SD ta lấy điểm

Mặt khác AN không song song với CD nên AN∩CD=E

Vậy iao tuyến của (AMN và () SCD là ME )

c) Giao tuyến của (AMN và () SBC )

Ta thấy (AMN)≡(AME)

THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

• Để tìm giao tuyến của đường thẳng ( )∆ và mặt phẳng ( )P ta làm như sau:

A

S

+ Giao điểm của đường thẳng ( )d và đường thẳng ∆ chính là giao điểm của đường thẳng ( )∆

và mặt phẳng ( )P

• Để xác định thiết diện của một khối chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( )P ta tìm giao

tuyến của mặt phẳng ( )P với các mặt của hình chóp ( nếu có) Khi đó các đoạn thẳng có được từ

giao của ( )P với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình

chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( ).P

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD Gọi M là trung

điểm của SA, N là một điểm thuộc cạnh bên SC( N không phải là trung điểm của SC) a) Tìm giao tuyến của (ABN và () CDM )

b) Xác định giao điểm của MN với (SBD )

c) P là một điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

A

S

A

D N

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của AC BC Ttên cạnh BD ta lấy ,

điểm K sao cho BK =2KD

a) Tìm giao điểm E của CD và (IJK Chứng minh ) DE=DC

b) Tìm giao điểm F của AD và ( IJK Chứng minh ) FA=2FD

c) Gọi M N là hai điểm bất kỳ thuộc , AB CD Tìm giao điểm của , MN và (IJK )

Giải:

a) Tìm giao điểm E của CD và (IJK Chứng minh ) DE=DC

Ta thấy CD∈(BCD) mà (BCD)∩(IJK)=JK

Kéo dài JK cắt CD tại E thì CD∩(IJK)=E

Ta có K là trọng tâm của tam giác BCE nên BD chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh

B , do đó D là trung điểm của EC hay DE=DC

b) Ta thấy rằng (IJK)≡(IJE)

Vì AD∈(ACD) mà (ACD)∩(IJK)=IE

Ta có I E∩AD=F ⇒ AD∩(IJK)=F

V

T

U P

Dễ thấy F là trọng tâm tam giác ACE nên FA=2FD

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (AMN )

b) P là một điểm thuộc mặt phẳng (SAD Xác định giao tuyến của () AMN và () PBD )c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP )

Giải:

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (AMN )

Xét CD∈(ABCD) Ta có MN∩BC=H ⇒(AMN)∩(ABCD)=AH AH; ∩CD=K

Suy ra giao điểm của CD với mặt phẳng (AMN là điểm K )

b) P là một điểm thuộc mặt phẳng (SAD Xác định giao tuyến của () AMN và () PBD )

P

T U

I

D

C B

A

Kẻ một đường thẳng DL thuộc mặt phẳng ( SAD Trên DL ta lấy một điểm P )

Như vậy (BPD)≡(BDL), theo câu a ta có (AMN)≡(AMH)

Ta có hai trường hơp sau:

Trường hợp 1: Trong mặt phẳng (SCD , NG) ∩SD=Q ( điểm Q có thể trùng vào D )

Khi đó trong mặt phẳng (SAD có QP) ∩SA=R ( QP không thể cắt AD ở giao điểm bên trong đoạn AD vì nếu QP cắt AD ở giao điểm O bên trong thì HO∩CD⇒(MNP)∩CD tại một điểm bên trong Điều này vô lý vì (MNP đã cắt ) SB SC tại , N Q , )

A

S

M

Thiết diện là tứ giác MNQR

F E

G N M

P

F

E

H C

D

B A

S

Ta có T∈NG⊂(MNP)⇒T =CD∩(MNP U), ∈HT ⊂(MNP)⇒U = AD∩(MNP)

Vậy thiết diện chính là ngũ giác MNTUV

Chú ý: Đây là bài toán khó

1) Điểm mấu chốt trong bài toán là sự cố định của các điểm M N H và như vậy hình dạng , ,

thiết diện phụ thuộc vào giao điểm G của HP và mặt bên ( SCD Rõ ràng việc biện )

luận theo NG là tự nhiên nhất vì điểm G là giao điểm dễ phát hiện nhất

2) Khi xác định một điểm P∈(SAD) ta phải dựng một đường thẳng SE∈(SAD)sau đó

chọn điểm P∈SE điều này giúp ta dễ hình dung điểm P và phát hiện ra các giao điểm

khác

V ẤN ĐỀ 3

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, HOẶC 3

ĐƯỜNG THẲNG ĐÔI MỘT SONG SONG

Kiến thức cần nhớ:

1) Điều kiện để 3 điểm , ,A B C thẳng hàng là tồn tại số k≠0 sao cho


AB=k AC




Hoặc tồn tại hai số ,m n thỏa mãn OA


=mOB nOC


+




sao cho m+ =n 1,O là điểm bất kỳ 2) Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k (k≠1) nếu MA


=k MB




• Khi đó với mọi điểm O bất kỳ ta có:

1

OA kOB OM

a) M N P thẳng hàng khi và chỉ khi , , m n p=1 ( Định lý Menelauyt)

b) AN CM BP đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi , , m n p= −1 (Định lý Ceva)

3) Nếu ba mặt phẳng ( ), ( ), ( )P Q R đôi một cắt nhau theo giao tuyến là 3 đường thẳng , , a b c

thì , ,a b c hoặc đôi một song song hoặc cắt nhau tại một điểm ( đồng quy)

4) Nếu các điểm A A1; 2; ,A thuộc đồng thời hai mặt phẳng ( ), ( ) n P Q thì A A1; 2; ,A n

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng Tức là A A1; 2; ,A thẳng hàng n

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC Một mặt phẳng ( )α cắt SA SB SC lần lượt tại , , A B C Giả ', ', '

b) Gọi , ,E F E F lần lượt là trung điểm của các cạnh ', ' AB BC A B B C , , ' ', ' '

Dễ thấy các điểm , ,S E E và , ,' S F F thẳng hàng và (' SAF)∩(SEC)=SG

Mặt khác G'∈A F G' ', '∈C E' '⇒G'∈(SAF G), '∈(SEN) Suy ra G'∈SG Hay , ,S G G thẳng 'hàng

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Hai điểm M N lần lượt thuộc , BC CD sao cho , MN không song

song với BD Mặt phẳng ( )α thay đổi qua M N cắt , AB CD lần lượt tại ,, P Q Giả sử

,

a) Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định

b) Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định

S

P

NM

S

c) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định

b) Vì I =MQ∩NP mà MQ∈(MAD NP), ∈(NAB)⇒ I∈ =d (MAD)∩(NAB)

c) Giả sử MN∩BD=K Khi đó K P Q cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( ), (, , α ABD)Nên K P Q thẳng hàng Hay PQ đi qua điểm K cố định , ,

Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của AB N, ∈AC sao cho NA=2NC Mặt phẳng ( )α thay đổi đi qua M N cắt các cạnh , BD CD ở ,, P Q

a) Chứng minh MN PQ BC đồng quy , ,

b) Gọi K là giao điểm của MQ NP Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định ,

K

I J

Q N

M

P

A

D C

B

c) Gọi I là giao điểm của MP NQ Biết ID, =AD Tính các tỷ số PB QC;

PD QD

Giải:

a) Kéo dài MN∩BC=H Nối HQ∩BD=P

Ta thấy ba mặt phẳng (ABC), (BCD), (MNQP đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là )

MN PQ BC Suy ra MN PQ BC đồng quy tại H , ,

b) Ta có điểm K∈MQ∈(MCD); K∈NP∈(NBD) suy ra điểm K thuộc giao tuyến của 2

A

Vì M N H thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt ta có: , , ( ) 1

PHẦN II: QUAN HỆ SONG SONG

THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

• Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể dùng các cách:

* Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3

* Hai đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ 3

* Tìm mặt phẳng ( ) Q chứa (d) Tìm giao tuyến ∆ của ( ), ( ) P Q Chứng minh đường thẳng ( )d

song song với giao tuyến ∆ của ( ), ( ) P Q

• Chứng minh hai mặt phẳng song song

* Tìm trong mặt phẳng ( ) P hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với ( ) Q

* Tìm trong mặt phẳng ( ) P hai đường thẳng cắt nhau a b , tìm trong ( ) Q hai đường thẳng cắt nhau c d , sao cho a / / ; / / c b d

* Dựa vào tính chất bắc cầu: ( ) / /( );( ) / /( ) P R Q R ⇒ ( ) / /( ) P Q

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang (AD/ /BC Gọi M là trọng tâm )tam giác SAD N là điểm thuộc AC sao cho 1

a) Gọi I là trung điểm của AD thì MN∈(SIN)

Kéo dài IN cắt BC tại K thì ( SIN)∩(SBC)=SK

A

S

b) Ta có NC PC 2 NP/ /AD/ /BC

NA = PD= ⇒ Kết hợp với câu a) ta có (MNP) / /(SBC )

Ví dụ 2) Cho hình hộp ABCDA B C D' ' ' ' Gọi I là trung điểm của AB '

a) Chứng minh C I' / /(ACD ')

b) M là một điểm thuộc cạnh DD Xác định giao tuyến các mặt phẳng ' ( 'C IM), (ACD ')

Tìm vị trí của điểm M để giao tuyến này đi qua trung điểm của AD '

c) N là một điểm thuộc C D' ' Xác định giao điểm của AB AD với mặt phẳng (, IMN )

Giải:

a) Ta có C I' ∈(ADC B' ') Gọi J là giao điểm của DC D C ', '

Ta có (ADC B' ')∩(ACD')= AJ Vì AJ / /C I' ⇒C J' / /(ACD')

b) Vì hai mặt phẳng ( 'C MI và () ACD chứa hai đường thẳng ') C I' / /AJ nên giao tuyến của nó là đường thẳng song song với AJ Giả sử C M' ∩CD'=H Trong mặt phẳng (ACD ')

qua H kẻ đường thẳng HK/ /AJ thì HK chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ' C MI và )(ACD ')

Do KD' HD'

KA = HJ nên K là trung điểm của AD khi H là trung điểm của ' D J'

E R

C' D'

Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt AB AA tại ,, ' P R thì PR là giao tuyến của

(IMN với () ABB A , P là giao điểm của AB và (' ') IMN )

Trong mặt phẳng (ADD A đường thẳng ' ') RM ∩AD=Q⇒ AD∩(IMN)=Q

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng SB AC sao cho , BM NC x(0 x 1)

N

Q

G M

D

C

A

B S

Do đó MN/ /SP Vậy MN song song với mặt phẳng (SAD) cố định

b) Do MN/ /SP nên hai mặt phẳng (GMN) và (SAD) song song với nhau khi và chỉ khi

/ /

NG SAD Gọi Q là trung điểm của DC Suy ra ba điểm , ,S G Q thẳng hàng

Đường thẳng NQ lần lượt cắt AD và AB tại T và H

K

I H

C'

B' A'

C

B A

a) Gọi M N L lần lượt là trung điểm của , , CC B C BC ', ' ',

Mặt phẳng ( 'A MN có ) KG/ /MN mà MN∈(BCC B' ')⇒ KG/ /(BCC B' ')

Trong mặt phẳng (AA NL có ' ) KI/ /NL mà NL∈(BCC B' ')⇒ IK/ /(BCC B' ')

Mặt phẳng (IKG chứa hai đường thẳng ) KG IK cùng song song với ,

(BCC B' ')⇒(IKG) / /(BCC B' ')

b) Ta thấy (AIH)≡(AIL)

Nhưng ta có AL/ / 'A K HL, / /NM ⇒(AHL) / /( 'A KM)⇔(AHI) / /( 'A KG)

PHẲNG CHO TRƯỚC

Khi xác định thiết diện ta cần nắm chắc các tính chất

- Hai đường thẳng song song thì luôn xác định một mặt phẳng

- Nếu mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ( ) d thì mặt phẳng ( ) P sẽ cắt các mặt

phẳng chứa ( )d (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( ) d

- Hai mặt phẳng ( ), ( )P Q song song với nhau khi mặt phẳng ( ) P chứa hai đường thẳng cắt

nhau cùng song song với ( )Q

Để tính diện tích thiết diện ta cần nhớ:

a) Gọi J là trung điểm của SD Ta có IJ / /MN nên , ,I J M N cùng thuộc một mặt ,

phẳng Mặt khác SC/ /JN suy ra , SC/ /(IMN) hoặc có thể thấy (SBC) (/ / IMN) nên

D

C B

A S

b) Trong mặt phẳng (SAB IM), cắt AP tại K Vì hai mặt phẳng (CIM) và (APN) Chứa hai đường thẳng CM / /AN nên giao tuyến của nó là đường thẳng song song với CM Trong mặt phẳng (CIM) kẻ đường thẳng đi qua K và song song với CM cắt CI tại H thì đường thẳng HK là giao tuyến cần tìm

c) Dựa vào tính chất

+ Nếu mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ( ) d thì ( ) P cắt tất cả các mặt phẳng chứa ( ) d

theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( )d

+ Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến sẽ song song hoặc đồng quy với nhau

• Ta thấy rằng hai mặt phẳng (SBC), (SAD cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua ) S song song với BC

• Kéo dài CP cắt giao tuyến nói trên tại điểm T

+ Trong mp(SAD TQ), cắt các cạnh SA SD tại , U V Thiết diện là tứ giác , CPUV

Ví dụ 2) Cho lăng trụ ABCA B C' ' ' Gọi I là trung điểm cạnh AB và ( ) α là mặt phẳng đi qua

I và song song với AB BC ', '

a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( ) α Chứng minh ( ) α là trung điểm của AC'

R

U

Q P

T

D

C B

A S

Q

R U

A

D N P

b) J là điểm trên đoạn AC sao cho ' 4

Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( ) α Chứng minh ( ) α là trung điểm của AC'

Do AB'/ /( ) α nên trong mp(ABB A' '), đường thẳng qua I và song song với AB và ' AA BB ', 'tại M K thì , M K là giao điểm của , AA BB với ', ' ( ) α

Do BC'/ /( ) α nên trong mp(BB CC' '), đường thẳng qua K và song song với BC' cắt CC' tại

N thì đường thẳng qua KN là giao tuyến của ( ) α và (BB CC' ')

C

B A

Để ý ,I K là trung điểm AB BB nên , ' ' '

2

BB

AM =BK =C N = , do đó tứ giác AMC N' là hình bình hành; mà MN lại là giao tuyến của ( ) α và (AA C C' ' ) suy ra ( ) α đi qua trung điểm của

'

AC

b) Hình vẽ

Trong mp (ABC'), qua J kẻ đường thẳng song song với BC' cắt AB tại P thì P

là giao điểm của AB với ( ) β

Trong mp (ABB A' '), qua P kẻ đường thẳng song song với A I cắt ' A B tại ' ' Q ,cắt AA BB ', 'tại ,R S

Trong mặt phẳng (ACC A ta có ' ') RJ cắt A C CC tại ,' ', ' T U

Trong mp(BB C C' ' ),SU cắt BC tại V

Ta có ngũ giác PQTUV là thiết diện cần tìm

Chú ý: Nếu gọi O là trung điểm AC' thì IO/ /BC' và ( ) α có thể xem là mặt phẳng đi qua J

và song song với (A IC' ) và yêu cầu trở thành xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( ) β đi qua

J và song song với (A IC' )

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA=SB=a SC, =SD=a 3 Gọi ,

E F lần lượt là trung điểm SA SB Điểm M bất kỳ thuộc cạnh , BC, đặt BM =x(0≤ ≤x a)a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MEF Thiết diện là hình gì? )

b) Tính FM và diện tích thiết diện theo a và x

EFMN là hình thang cân

b) Áp dụng định lý hàm số coossin trong tam giác SBC ta có:

D S

song song với SBvà OA, cắt BC SC SA lần lượt tại , , N P Q Đặt , , x=BM(0< <x a)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông

b) Tính theo ,a x diện tích hình thang này Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất

Giải:

a) Do ( )β song song với OA và SB nên giao tuyến của ( )β với (ABC song song với )

OA Giao tuyến của ( )β với (SAB), (SBC song song với ) SB

Suy ra cách xác định thiết diện:

a

a

x O

N

M Q

P

A S

Qua M kẻ MN/ /OA N, ∈[ ]BC ; qua M kẻ MQ/ /SB Q, ∈[ ]SA ; qua N kẻNP/ /SB P, ∈[ ]SC

Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ có MQ/ /NP

Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt ( ) α theo a và

3

BM

x= Tính x để diện tích thiết diện là lớn nhất

Giải:

a) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại T do AC⊥SD nên DT ⊥SD

Ta có CT =CD=a Áp dụng định lý coossin trong tam giác DTC ta có:

AB AC lần lượt tại E và F Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt SB tại G

Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác EGF GM( ⊥EF) do đó 1

Q K

J G

A

S